Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunitlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunitlem2 48322
Description: Lemma for properties of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunitlem2 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑌)) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem lincresunitlem2
StepHypRef Expression
1 lincresunit.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
21lmodring 20883 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
323ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
43adantr 480 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
54adantr 480 . 2 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
6 lincresunit.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
7 lincresunit.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑅)
8 lincresunit.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
9 lincresunit.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
10 lincresunit.z . . . 4 𝑍 = (0g𝑀)
11 lincresunit.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑅)
12 lincresunit.i . . . 4 𝐼 = (invr𝑅)
13 lincresunit.t . . . 4 · = (.r𝑅)
14 lincresunit.g . . . 4 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
156, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lincresunitlem1 48321 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
1615adantr 480 . 2 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
17 elmapi 8888 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) → 𝐹:𝑆𝐸)
18 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝐹:𝑆𝐸𝑌𝑆) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸)
1918ex 412 . . . . 5 (𝐹:𝑆𝐸 → (𝑌𝑆 → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸))
2017, 19syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) → (𝑌𝑆 → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸))
2120ad2antrl 728 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝑌𝑆 → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸))
2221imp 406 . 2 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐸)
237, 13ringcl 20268 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹𝑌) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑌)) ∈ 𝐸)
245, 16, 22, 23syl3anc 1370 1 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑌)) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486  invgcminusg 18965  Ringcrg 20251  Unitcui 20372  invrcinvr 20404  LModclmod 20875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-lmod 20877
This theorem is referenced by:  lincresunit1  48323  lincresunit2  48324  lincresunit3lem1  48325  lincresunit3  48327
  Copyright terms: Public domain W3C validator