Theorem lincresunitlem2 49504

Description: Lemma for properties of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunitlem2	⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem lincresunitlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincresunit.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
2	1	lmodring 21090	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
6		lincresunit.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		lincresunit.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
8		lincresunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
9		lincresunit.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		lincresunit.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
11		lincresunit.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
12		lincresunit.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
13		lincresunit.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14		lincresunit.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
15	6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lincresunitlem1 49503	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
16	15	adantr 486	. 2 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
17		elmapi 8848	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
18		ffvelcdm 7070	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐸)
19	18	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑆⟶𝐸 → (𝑌 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐸))
20	17, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → (𝑌 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐸))
21	20	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝑌 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐸))
22	21	imp 412	. 2 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐸)
23	7, 13	ringcl 20424	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐸)
24	5, 16, 22, 23	syl3anc 1398	1 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8826  Basecbs 17334  ._rcmulr 17376  Scalarcsca 17378  0_gc0g 17557  inv_gcminusg 19092  Ringcrg 20406  Unitcui 20532  inv_rcinvr 20564  LModclmod 21082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-lmod 21084

This theorem is used by:  lincresunit1  49505  lincresunit2  49506  lincresunit3lem1  49507  lincresunit3  49509