Theorem islbs5 33463

Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space, using a function 𝐹 for generating the base. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islbs5.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
islbs5.r	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islbs5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islbs5.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
islbs5.y	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
islbs5.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islbs5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
islbs5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
islbs5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
islbs5.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
islbs5	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐼,𝑎   𝑂,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎   𝑊,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem islbs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs5.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		islbs5.r	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4		islbs5.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		islbs5.z	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
6		islbs5.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		islbs5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8		islbs5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		islbs5.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
10		islbs5.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		islbs5.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lindflbs 33462	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
13		f1f 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
15		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
16	1, 3, 4, 5, 6, 15	islindf4 21813	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
17	8, 10, 14, 16	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
18	9	elexd 3454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
19		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
20		islbs5.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
21	19, 20, 6, 15	frlmelbas 21731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
22	18, 10, 21	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
23	22	imbi1d 342	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
24		impexp 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
25		impexp 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
27	26	bicomd 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
28	27	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
29	24, 28	bitrid 284	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
30	23, 29	bitrd 280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
31	30	ralbidv2 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
32	17, 31	bitrd 280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
33	32	anbi1d 637	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
34	12, 33	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431  {csn 4555   class class class wbr 5072   × cxp 5616  ran crn 5619  ⟶wf 6481  –1-1→wf1 6482  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  NzRingcnzr 20484  LModclmod 20850  LSpanclspn 20961  LBasisclbs 21064   freeLMod cfrlm 21721   LIndF clindf 21779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-nzr 20485  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lmhm 21012  df-lbs 21065  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-uvc 21758  df-lindf 21781  df-linds 21782

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33806