Theorem islbs5 33095

Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space, using a function 𝐹 for generating the base. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islbs5.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
islbs5.r	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islbs5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islbs5.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
islbs5.y	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
islbs5.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islbs5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
islbs5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
islbs5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
islbs5.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
islbs5	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐼,𝑎   𝑂,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎   𝑊,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem islbs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs5.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		islbs5.r	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4		islbs5.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		islbs5.z	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
6		islbs5.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		islbs5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8		islbs5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		islbs5.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
10		islbs5.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		islbs5.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lindflbs 33094	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
13		f1f 6793	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
15		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
16	1, 3, 4, 5, 6, 15	islindf4 21771	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
17	8, 10, 14, 16	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
18	9	elexd 3492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
19		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
20		islbs5.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
21	19, 20, 6, 15	frlmelbas 21689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
22	18, 10, 21	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
23	22	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
24		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
25		impexp 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
27	26	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
28	27	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
29	24, 28	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
30	23, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
31	30	ralbidv2 3170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
32	17, 31	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
33	32	anbi1d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
34	12, 33	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  Vcvv 3471  {csn 4629   class class class wbr 5148   × cxp 5676  ran crn 5679  ⟶wf 6544  –1-1→wf1 6545  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7683   ↑_m cmap 8844   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  0_gc0g 17420   Σ_g cgsu 17421  NzRingcnzr 20450  LModclmod 20742  LSpanclspn 20854  LBasisclbs 20958   freeLMod cfrlm 21679   LIndF clindf 21737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-nzr 20451  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lmhm 20906  df-lbs 20959  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-uvc 21716  df-lindf 21739  df-linds 21740

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33316