Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islbs5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islbs5 33095
Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space, using a function 𝐹 for generating the base. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs5.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islbs5.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
islbs5.r 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islbs5.t · = ( ·𝑠𝑊)
islbs5.z 𝑂 = (0g𝑊)
islbs5.y 0 = (0g𝑆)
islbs5.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islbs5.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
islbs5.s (𝜑𝑆 ∈ NzRing)
islbs5.i (𝜑𝐼𝑉)
islbs5.f (𝜑𝐹:𝐼1-1𝐵)
Assertion
Ref Expression
islbs5 (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐼,𝑎   𝑂,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎   𝑊,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem islbs5
StepHypRef Expression
1 islbs5.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2728 . . 3 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3 islbs5.r . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4 islbs5.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
5 islbs5.z . . 3 𝑂 = (0g𝑊)
6 islbs5.y . . 3 0 = (0g𝑆)
7 islbs5.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8 islbs5.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 islbs5.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ NzRing)
10 islbs5.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
11 islbs5.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐼1-1𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11lindflbs 33094 . 2 (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
13 f1f 6793 . . . . . 6 (𝐹:𝐼1-1𝐵𝐹:𝐼𝐵)
1411, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
161, 3, 4, 5, 6, 15islindf4 21771 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
178, 10, 14, 16syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
189elexd 3492 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
19 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
20 islbs5.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑆)
2119, 20, 6, 15frlmelbas 21689 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
2218, 10, 21syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
2322imbi1d 341 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
24 impexp 450 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
25 impexp 450 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
2726bicomd 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
2827imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 })))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
2924, 28bitrid 283 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
3023, 29bitrd 279 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
3130ralbidv2 3170 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
3217, 31bitrd 279 . . 3 (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
3332anbi1d 630 . 2 (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
3412, 33bitrd 279 1 (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  Vcvv 3471  {csn 4629   class class class wbr 5148   × cxp 5676  ran crn 5679  wf 6544  1-1wf1 6545  cfv 6548  (class class class)co 7420  f cof 7683  m cmap 8844   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420   Σg cgsu 17421  NzRingcnzr 20450  LModclmod 20742  LSpanclspn 20854  LBasisclbs 20958   freeLMod cfrlm 21679   LIndF clindf 21737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-nzr 20451  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lmhm 20906  df-lbs 20959  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-uvc 21716  df-lindf 21739  df-linds 21740
This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33316
  Copyright terms: Public domain W3C validator