Theorem islbs5 33120

Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space, using a function 𝐹 for generating the base. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islbs5.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
islbs5.r	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islbs5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islbs5.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
islbs5.y	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
islbs5.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islbs5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
islbs5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
islbs5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
islbs5.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
islbs5	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐼,𝑎   𝑂,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎   𝑊,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem islbs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs5.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		islbs5.r	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4		islbs5.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		islbs5.z	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
6		islbs5.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		islbs5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8		islbs5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		islbs5.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
10		islbs5.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		islbs5.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lindflbs 33119	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
13		f1f 6798	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
15		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
16	1, 3, 4, 5, 6, 15	islindf4 21779	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
17	8, 10, 14, 16	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
18	9	elexd 3494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
19		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
20		islbs5.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
21	19, 20, 6, 15	frlmelbas 21697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
22	18, 10, 21	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
23	22	imbi1d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
24		impexp 449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
25		impexp 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
27	26	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
28	27	imbi2d 339	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
29	24, 28	bitrid 282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
30	23, 29	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
31	30	ralbidv2 3171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
32	17, 31	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
33	32	anbi1d 629	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
34	12, 33	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  Vcvv 3473  {csn 4632   class class class wbr 5152   × cxp 5680  ran crn 5683  ⟶wf 6549  –1-1→wf1 6550  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7689   ↑_m cmap 8851   finSupp cfsupp 9393  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  0_gc0g 17428   Σ_g cgsu 17429  NzRingcnzr 20458  LModclmod 20750  LSpanclspn 20862  LBasisclbs 20966   freeLMod cfrlm 21687   LIndF clindf 21745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20459  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lmhm 20914  df-lbs 20967  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-uvc 21724  df-lindf 21747  df-linds 21748

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33353