Theorem islbs5 33336

Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space, using a function 𝐹 for generating the base. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islbs5.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
islbs5.r	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islbs5.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islbs5.z	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
islbs5.y	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
islbs5.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islbs5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
islbs5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
islbs5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
islbs5.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
islbs5	⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐼,𝑎   𝑂,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎   𝑊,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem islbs5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs5.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		islbs5.r	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
4		islbs5.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		islbs5.z	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑊)
6		islbs5.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		islbs5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8		islbs5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		islbs5.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
10		islbs5.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		islbs5.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼–1-1→𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lindflbs 33335	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
13		f1f 6724	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
16	1, 3, 4, 5, 6, 15	islindf4 21764	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
17	8, 10, 14, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
18	9	elexd 3462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
19		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
20		islbs5.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
21	19, 20, 6, 15	frlmelbas 21682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
22	18, 10, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 )))
23	22	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
24		impexp 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
25		impexp 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
27	26	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
28	27	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (𝑎 finSupp 0 → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
29	24, 28	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
30	23, 29	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) → ((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })))))
31	30	ralbidv2 3148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))((𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂 → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
32	17, 31	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 }))))
33	32	anbi1d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 LIndF 𝑊 ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))
34	12, 33	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∈ (LBasis‘𝑊) ↔ (∀𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((𝑎 finSupp 0 ∧ (𝑊 Σg (𝑎 ∘f · 𝐹)) = 𝑂) → 𝑎 = (𝐼 × { 0 })) ∧ (𝑁‘ran 𝐹) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438  {csn 4579   class class class wbr 5095   × cxp 5621  ran crn 5624  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ↑_m cmap 8760   finSupp cfsupp 9270  Basecbs 17139  Scalarcsca 17183   ·_𝑠 cvsca 17184  0_gc0g 17362   Σ_g cgsu 17363  NzRingcnzr 20416  LModclmod 20782  LSpanclspn 20893  LBasisclbs 20997   freeLMod cfrlm 21672   LIndF clindf 21730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-seq 13928  df-hash 14257  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-hom 17204  df-cco 17205  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-prds 17370  df-pws 17372  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18676  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mulg 18966  df-subg 19021  df-ghm 19111  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-nzr 20417  df-subrg 20474  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lmhm 20945  df-lbs 20998  df-sra 21096  df-rgmod 21097  df-dsmm 21658  df-frlm 21673  df-uvc 21709  df-lindf 21732  df-linds 21733

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33608