Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islbs5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islbs5 33002
Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space, using a function 𝐹 for generating the base. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs5.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islbs5.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
islbs5.r 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islbs5.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islbs5.z 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
islbs5.y 0 = (0gβ€˜π‘†)
islbs5.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
islbs5.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islbs5.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
islbs5.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NzRing)
islbs5.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
islbs5.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼–1-1→𝐡)
Assertion
Ref Expression
islbs5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })) ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))
Distinct variable groups:   0 ,π‘Ž   Β· ,π‘Ž   𝐡,π‘Ž   𝐹,π‘Ž   𝐼,π‘Ž   𝑂,π‘Ž   𝑆,π‘Ž   𝑉,π‘Ž   π‘Š,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐽(π‘Ž)   𝐾(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)

Proof of Theorem islbs5
StepHypRef Expression
1 islbs5.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
3 islbs5.r . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 islbs5.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
5 islbs5.z . . 3 𝑂 = (0gβ€˜π‘Š)
6 islbs5.y . . 3 0 = (0gβ€˜π‘†)
7 islbs5.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
8 islbs5.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 islbs5.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NzRing)
10 islbs5.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
11 islbs5.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼–1-1→𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11lindflbs 33001 . 2 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 LIndF π‘Š ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))
13 f1f 6780 . . . . . 6 (𝐹:𝐼–1-1→𝐡 β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
1411, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))
161, 3, 4, 5, 6, 15islindf4 21729 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))))
178, 10, 14, 16syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))))
189elexd 3489 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
19 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
20 islbs5.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
2119, 20, 6, 15frlmelbas 21647 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2218, 10, 21syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ π‘Ž finSupp 0 )))
2322imbi1d 341 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })))))
24 impexp 450 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })))))
25 impexp 450 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })) ↔ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))))
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })) ↔ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })))))
2726bicomd 222 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))) ↔ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))))
2827imbi2d 340 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })))))
2924, 28bitrid 283 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })))))
3023, 29bitrd 279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼)) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })))))
3130ralbidv2 3167 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod 𝐼))((π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂 β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))))
3217, 31bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 }))))
3332anbi1d 629 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 LIndF π‘Š ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡) ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })) ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))
3412, 33bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ↔ (βˆ€π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)((π‘Ž finSupp 0 ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘Ž ∘f Β· 𝐹)) = 𝑂) β†’ π‘Ž = (𝐼 Γ— { 0 })) ∧ (π‘β€˜ran 𝐹) = 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  {csn 4623   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  ran crn 5670  βŸΆwf 6532  β€“1-1β†’wf1 6533  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8819   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392   Ξ£g cgsu 17393  NzRingcnzr 20412  LModclmod 20704  LSpanclspn 20816  LBasisclbs 20920   freeLMod cfrlm 21637   LIndF clindf 21695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-nzr 20413  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lmhm 20868  df-lbs 20921  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-uvc 21674  df-lindf 21697  df-linds 21698
This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33225
  Copyright terms: Public domain W3C validator