Theorem lsmspsn 21042

Description: Member of subspace sum of spans of singletons. (Contributed by NM, 8-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmspsn.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsmspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsmspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsmspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsmspsn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmspsn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmspsn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmspsn	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, +   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   · ,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑌,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem lsmspsn

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmspsn.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmspsn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lsmspsn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lsmspsn.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	3, 4	lspsnsubg 20937	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lsmspsn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8	3, 4	lspsnsubg 20937	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10		lsmspsn.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
11		lsmspsn.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
12	10, 11	lsmelval 19630	. . 3 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
13	6, 9, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
14		lsmspsn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		lsmspsn.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
16		lsmspsn.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17	14, 15, 3, 16, 4	ellspsn 20960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
18	1, 2, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
19	14, 15, 3, 16, 4	ellspsn 20960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
20	1, 7, 19	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
21	18, 20	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌))))
22	21	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
23	22	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
24		r19.41v 3174	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
25	24	rexbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
26		r19.41v 3174	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
27		reeanv 3213	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
28	27	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
29	25, 26, 28	3bitrri 298	. . . . 5 ⊢ (((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
30	23, 29	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
31	30	2rexbidva 3204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
32		rexrot4 3278	. . 3 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
33	31, 32	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
34	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
35		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐾)
36	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
37	3, 16, 14, 15, 4, 34, 35, 36	ellspsni 20958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
38		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑘 ∈ 𝐾)
39	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
40	3, 16, 14, 15, 4, 34, 38, 39	ellspsni 20958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
41		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑣 + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤))
42	41	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤)))
43		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌)))
44	43	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → (𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
45	42, 44	ceqsrex2v 3637	. . . 4 ⊢ (((𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
46	37, 40, 45	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
47	46	2rexbidva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
48	13, 33, 47	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  SubGrpcsubg 19103  LSSumclsm 19615  LModclmod 20817  LSpanclspn 20928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-lsm 19617  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929

This theorem is referenced by:  lsppr  21051  baerlem3lem2  41729  baerlem5alem2  41730  baerlem5blem2  41731