Theorem lsmspsn 20545

Description: Member of subspace sum of spans of singletons. (Contributed by NM, 8-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmspsn.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsmspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsmspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsmspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsmspsn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmspsn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmspsn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmspsn	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, +   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   · ,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑌,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem lsmspsn

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmspsn.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmspsn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lsmspsn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lsmspsn.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	3, 4	lspsnsubg 20441	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lsmspsn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8	3, 4	lspsnsubg 20441	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10		lsmspsn.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
11		lsmspsn.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
12	10, 11	lsmelval 19431	. . 3 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
13	6, 9, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
14		lsmspsn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		lsmspsn.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
16		lsmspsn.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17	14, 15, 3, 16, 4	lspsnel 20464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
18	1, 2, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
19	14, 15, 3, 16, 4	lspsnel 20464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
20	1, 7, 19	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
21	18, 20	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌))))
22	21	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
23	22	biantrurd 533	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
24		r19.41v 3185	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
25	24	rexbii 3097	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
26		r19.41v 3185	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
27		reeanv 3217	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
28	27	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
29	25, 26, 28	3bitrri 297	. . . . 5 ⊢ (((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
30	23, 29	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
31	30	2rexbidva 3211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
32		rexrot4 3280	. . 3 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
33	31, 32	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
34	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
35		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐾)
36	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
37	3, 16, 14, 15, 4, 34, 35, 36	lspsneli 20462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
38		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑘 ∈ 𝐾)
39	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
40	3, 16, 14, 15, 4, 34, 38, 39	lspsneli 20462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
41		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑣 + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤))
42	41	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤)))
43		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌)))
44	43	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → (𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
45	42, 44	ceqsrex2v 3608	. . . 4 ⊢ (((𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
46	37, 40, 45	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
47	46	2rexbidva 3211	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
48	13, 33, 47	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  {csn 4586  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  SubGrpcsubg 18922  LSSumclsm 19416  LModclmod 20322  LSpanclspn 20432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-lsm 19418  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433

This theorem is referenced by:  lsppr  20554  baerlem3lem2  40173  baerlem5alem2  40174  baerlem5blem2  40175