Theorem lsmspsn 20688

Description: Member of subspace sum of spans of singletons. (Contributed by NM, 8-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmspsn.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsmspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsmspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsmspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsmspsn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmspsn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmspsn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmspsn	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, +   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   · ,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑌,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem lsmspsn

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmspsn.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmspsn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lsmspsn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lsmspsn.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	3, 4	lspsnsubg 20584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	1, 2, 5	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lsmspsn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8	3, 4	lspsnsubg 20584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
9	1, 7, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10		lsmspsn.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
11		lsmspsn.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
12	10, 11	lsmelval 19512	. . 3 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
13	6, 9, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
14		lsmspsn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		lsmspsn.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
16		lsmspsn.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17	14, 15, 3, 16, 4	lspsnel 20607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
18	1, 2, 17	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
19	14, 15, 3, 16, 4	lspsnel 20607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
20	1, 7, 19	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
21	18, 20	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌))))
22	21	biimpa 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
23	22	biantrurd 534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
24		r19.41v 3189	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
25	24	rexbii 3095	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
26		r19.41v 3189	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
27		reeanv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
28	27	anbi1i 625	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
29	25, 26, 28	3bitrri 298	. . . . 5 ⊢ (((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
30	23, 29	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
31	30	2rexbidva 3218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
32		rexrot4 3295	. . 3 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
33	31, 32	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
34	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
35		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐾)
36	2	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
37	3, 16, 14, 15, 4, 34, 35, 36	lspsneli 20605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
38		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑘 ∈ 𝐾)
39	7	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
40	3, 16, 14, 15, 4, 34, 38, 39	lspsneli 20605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
41		oveq1 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑣 + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤))
42	41	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤)))
43		oveq2 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌)))
44	43	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → (𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
45	42, 44	ceqsrex2v 3646	. . . 4 ⊢ (((𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
46	37, 40, 45	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
47	46	2rexbidva 3218	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
48	13, 33, 47	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  {csn 4628  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  +_gcplusg 17194  Scalarcsca 17197   ·_𝑠 cvsca 17198  SubGrpcsubg 18995  LSSumclsm 19497  LModclmod 20464  LSpanclspn 20575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-lsm 19499  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576

This theorem is referenced by:  lsppr  20697  baerlem3lem2  40570  baerlem5alem2  40571  baerlem5blem2  40572