MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmspsn 21100
Description: Member of subspace sum of spans of singletons. (Contributed by NM, 8-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmspsn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmspsn.a + = (+g𝑊)
lsmspsn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsmspsn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsmspsn.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsmspsn.p = (LSSum‘𝑊)
lsmspsn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmspsn.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsmspsn.x (𝜑𝑋𝑉)
lsmspsn.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmspsn (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, +   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   · ,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑌,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem lsmspsn
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmspsn.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsmspsn.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lsmspsn.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsmspsn.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
53, 4lspsnsubg 20995 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
61, 2, 5syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lsmspsn.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
83, 4lspsnsubg 20995 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
91, 7, 8syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10 lsmspsn.a . . . 4 + = (+g𝑊)
11 lsmspsn.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
1210, 11lsmelval 19681 . . 3 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
136, 9, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
14 lsmspsn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 lsmspsn.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
16 lsmspsn.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
1714, 15, 3, 16, 4ellspsn 21018 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
181, 2, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
1914, 15, 3, 16, 4ellspsn 21018 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
201, 7, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
2118, 20anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌))))
2221biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
2322biantrurd 532 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ((∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
24 r19.41v 3186 . . . . . . 7 (∃𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
2524rexbii 3091 . . . . . 6 (∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗𝐾 (∃𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
26 r19.41v 3186 . . . . . 6 (∃𝑗𝐾 (∃𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑗𝐾𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
27 reeanv 3226 . . . . . . 7 (∃𝑗𝐾𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ↔ (∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
2827anbi1i 624 . . . . . 6 ((∃𝑗𝐾𝑘𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ((∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
2925, 26, 283bitrri 298 . . . . 5 (((∃𝑗𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
3023, 29bitrdi 287 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
31302rexbidva 3217 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
32 rexrot4 3294 . . 3 (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗𝐾𝑘𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
3331, 32bitrdi 287 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
341adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
35 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑗𝐾)
362adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑋𝑉)
373, 16, 14, 15, 4, 34, 35, 36ellspsni 21016 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → (𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
38 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑘𝐾)
397adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → 𝑌𝑉)
403, 16, 14, 15, 4, 34, 38, 39ellspsni 21016 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
41 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑣 + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤))
4241eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤)))
43 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌)))
4443eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → (𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
4542, 44ceqsrex2v 3657 . . . 4 (((𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
4637, 40, 45syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐾𝑘𝐾)) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
47462rexbidva 3217 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝐾𝑘𝐾𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
4813, 33, 473bitrd 305 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗𝐾𝑘𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  SubGrpcsubg 19150  LSSumclsm 19666  LModclmod 20874  LSpanclspn 20986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-lsm 19668  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987
This theorem is referenced by:  lsppr  21109  baerlem3lem2  41692  baerlem5alem2  41693  baerlem5blem2  41694
  Copyright terms: Public domain W3C validator