Theorem lsmspsn 21006

Description: Member of subspace sum of spans of singletons. (Contributed by NM, 8-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmspsn.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsmspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsmspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsmspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsmspsn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmspsn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmspsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmspsn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmspsn	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, +   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   · ,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉,𝑘   𝑗,𝑊,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑌,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑗,𝑘)

Proof of Theorem lsmspsn

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmspsn.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmspsn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lsmspsn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lsmspsn.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	3, 4	lspsnsubg 20901	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lsmspsn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8	3, 4	lspsnsubg 20901	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10		lsmspsn.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
11		lsmspsn.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
12	10, 11	lsmelval 19546	. . 3 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
13	6, 9, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
14		lsmspsn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15		lsmspsn.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
16		lsmspsn.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17	14, 15, 3, 16, 4	ellspsn 20924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
18	1, 2, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋)))
19	14, 15, 3, 16, 4	ellspsn 20924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
20	1, 7, 19	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
21	18, 20	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌))))
22	21	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
23	22	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
24		r19.41v 3159	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
25	24	rexbii 3076	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
26		r19.41v 3159	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 (∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
27		reeanv 3201	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)))
28	27	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
29	25, 26, 28	3bitrri 298	. . . . 5 ⊢ (((∃𝑗 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
30	23, 29	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
31	30	2rexbidva 3192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
32		rexrot4 3264	. . 3 ⊢ (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)))
33	31, 32	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤))))
34	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
35		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑗 ∈ 𝐾)
36	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
37	3, 16, 14, 15, 4, 34, 35, 36	ellspsni 20922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
38		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑘 ∈ 𝐾)
39	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
40	3, 16, 14, 15, 4, 34, 38, 39	ellspsni 20922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
41		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑣 + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤))
42	41	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑗 · 𝑋) → (𝑈 = (𝑣 + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤)))
43		oveq2 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌)))
44	43	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 · 𝑌) → (𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + 𝑤) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
45	42, 44	ceqsrex2v 3615	. . . 4 ⊢ (((𝑗 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑘 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
46	37, 40, 45	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐾 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾)) → (∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
47	46	2rexbidva 3192	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})∃𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌})((𝑣 = (𝑗 · 𝑋) ∧ 𝑤 = (𝑘 · 𝑌)) ∧ 𝑈 = (𝑣 + 𝑤)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))
48	13, 33, 47	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐾 ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = ((𝑗 · 𝑋) + (𝑘 · 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  SubGrpcsubg 19017  LSSumclsm 19531  LModclmod 20781  LSpanclspn 20892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-lsm 19533  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893

This theorem is referenced by:  lsppr  21015  baerlem3lem2  41689  baerlem5alem2  41690  baerlem5blem2  41691