MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppreli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppreli 20567
Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppreli.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsppreli.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lsppreli.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsppreli.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsppreli.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lsppreli.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsppreli.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsppreli.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lsppreli.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lsppreli.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppreli.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppreli (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))

Proof of Theorem lsppreli
StepHypRef Expression
1 lsppreli.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsppreli.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lsppreli.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsppreli.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
53, 4lspsnsubg 20457 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
61, 2, 5syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
7 lsppreli.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
83, 4lspsnsubg 20457 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
91, 7, 8syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10 lsppreli.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 lsppreli.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 lsppreli.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
13 lsppreli.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
143, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2lspsneli 20478 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
15 lsppreli.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
163, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7lspsneli 20478 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
17 lsppreli.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
18 eqid 2737 . . . 4 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
1917, 18lsmelvali 19439 . . 3 ((((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝐴 Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
206, 9, 14, 16, 19syl22anc 838 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
213, 4, 18, 1, 2, 7lsmpr 20566 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2220, 21eleqtrrd 2841 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4591  {cpr 4593  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSpanclspn 20448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449
This theorem is referenced by:  lspexch  20606  baerlem3lem1  40199  baerlem5alem1  40200  baerlem5blem1  40201
  Copyright terms: Public domain W3C validator