MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppreli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppreli 19485
Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppreli.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppreli.p + = (+g𝑊)
lsppreli.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppreli.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppreli.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppreli.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppreli.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppreli.a (𝜑𝐴𝐾)
lsppreli.b (𝜑𝐵𝐾)
lsppreli.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppreli.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppreli (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lsppreli
StepHypRef Expression
1 lsppreli.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsppreli.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lsppreli.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsppreli.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
53, 4lspsnsubg 19375 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
61, 2, 5syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lsppreli.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
83, 4lspsnsubg 19375 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
91, 7, 8syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10 lsppreli.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
11 lsppreli.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 lsppreli.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
13 lsppreli.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
143, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2lspsneli 19396 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
15 lsppreli.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
163, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7lspsneli 19396 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17 lsppreli.p . . . 4 + = (+g𝑊)
18 eqid 2778 . . . 4 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1917, 18lsmelvali 18449 . . 3 ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
206, 9, 14, 16, 19syl22anc 829 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
213, 4, 18, 1, 2, 7lsmpr 19484 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2220, 21eleqtrrd 2862 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  {csn 4398  {cpr 4400  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  SubGrpcsubg 17972  LSSumclsm 18433  LModclmod 19255  LSpanclspn 19366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367
This theorem is referenced by:  lspexch  19525  baerlem3lem1  37861  baerlem5alem1  37862  baerlem5blem1  37863
  Copyright terms: Public domain W3C validator