MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppreli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppreli 20987
Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppreli.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppreli.p + = (+g𝑊)
lsppreli.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppreli.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppreli.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppreli.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppreli.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppreli.a (𝜑𝐴𝐾)
lsppreli.b (𝜑𝐵𝐾)
lsppreli.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppreli.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppreli (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lsppreli
StepHypRef Expression
1 lsppreli.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsppreli.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lsppreli.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsppreli.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
53, 4lspsnsubg 20876 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
61, 2, 5syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lsppreli.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
83, 4lspsnsubg 20876 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
91, 7, 8syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10 lsppreli.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
11 lsppreli.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 lsppreli.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
13 lsppreli.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
143, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2lspsneli 20897 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
15 lsppreli.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
163, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7lspsneli 20897 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17 lsppreli.p . . . 4 + = (+g𝑊)
18 eqid 2725 . . . 4 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1917, 18lsmelvali 19617 . . 3 ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
206, 9, 14, 16, 19syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
213, 4, 18, 1, 2, 7lsmpr 20986 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2220, 21eleqtrrd 2828 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4630  {cpr 4632  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  SubGrpcsubg 19083  LSSumclsm 19601  LModclmod 20755  LSpanclspn 20867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868
This theorem is referenced by:  lspexch  21029  baerlem3lem1  41310  baerlem5alem1  41311  baerlem5blem1  41312
  Copyright terms: Public domain W3C validator