Theorem lsppreli 21274

Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppreli.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppreli.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsppreli.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsppreli.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppreli.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppreli.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppreli.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsppreli.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lsppreli.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lsppreli.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppreli.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsppreli	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lsppreli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsppreli.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsppreli.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lsppreli.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lsppreli.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	3, 4	lspsnsubg 21164	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lsppreli.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8	3, 4	lspsnsubg 21164	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10		lsppreli.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		lsppreli.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		lsppreli.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		lsppreli.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
14	3, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2	ellspsni 21185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
15		lsppreli.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
16	3, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7	ellspsni 21185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17		lsppreli.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
18		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
19	17, 18	lsmelvali 19777	. . 3 ⊢ ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
20	6, 9, 14, 16, 19	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
21	3, 4, 18, 1, 2, 7	lsmpr 21273	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
22	20, 21	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  SubGrpcsubg 19243  LSSumclsm 19761  LModclmod 21044  LSpanclspn 21155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-lsm 19763  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156

This theorem is used by:  lspexch  21316  baerlem3lem1  42580  baerlem5alem1  42581  baerlem5blem1  42582