MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppreli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppreli 20935
Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppreli.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsppreli.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lsppreli.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsppreli.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsppreli.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lsppreli.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsppreli.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsppreli.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lsppreli.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lsppreli.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lsppreli.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppreli (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))

Proof of Theorem lsppreli
StepHypRef Expression
1 lsppreli.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsppreli.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lsppreli.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsppreli.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
53, 4lspsnsubg 20824 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
61, 2, 5syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
7 lsppreli.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
83, 4lspsnsubg 20824 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
91, 7, 8syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10 lsppreli.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 lsppreli.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 lsppreli.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
13 lsppreli.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
143, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2lspsneli 20845 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
15 lsppreli.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
163, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7lspsneli 20845 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
17 lsppreli.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
18 eqid 2726 . . . 4 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
1917, 18lsmelvali 19567 . . 3 ((((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝐴 Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
206, 9, 14, 16, 19syl22anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
213, 4, 18, 1, 2, 7lsmpr 20934 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2220, 21eleqtrrd 2830 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) + (𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  SubGrpcsubg 19044  LSSumclsm 19551  LModclmod 20703  LSpanclspn 20815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816
This theorem is referenced by:  lspexch  20977  baerlem3lem1  41090  baerlem5alem1  41091  baerlem5blem1  41092
  Copyright terms: Public domain W3C validator