MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnpi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnpi2 24453
Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with swapped distance function arguments as in metcnp2 24450. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcnpi2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ))
2 simpll 766 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 simplr 768 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4 eqid 2728 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
54cnprcl 23148 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
65adantl 481 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
7 metcn.2 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
87mopnuni 24346 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
98ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
106, 9eleqtrrd 2832 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
11 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
127, 11metcnp2 24450 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑧))))
132, 3, 10, 12syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑧))))
141, 13mpbid 231 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑧)))
15 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑧 ↔ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))
1615imbi2d 340 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 β†’ (((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑧) ↔ ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴)))
1716rexralbidv 3217 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴)))
1817rspccv 3606 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝑧) β†’ (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴)))
1914, 18simpl2im 503 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴)))
2019impr 454 1 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑦𝐢𝑃) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘ƒ)) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   < clt 11278  β„+crp 13006  βˆžMetcxmet 21263  MetOpencmopn 21268   CnP ccnp 23128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-topgen 17424  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22795  df-topon 22812  df-bases 22848  df-cnp 23131
This theorem is referenced by:  metcnpi3  24454  ftc1lem6  25975  ftc1cnnc  37165
  Copyright terms: Public domain W3C validator