Theorem modxp1i 17047

Description: Add one to an exponent in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modxp1i.9	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxp1i.7	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐸
modxp1i.8	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
modxp1i	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.1	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		modxai.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		modxai.3	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		modxai.4	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
5		modxai.5	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		modxai.6	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7		1nn0 12474	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	2	nnnn0i 12466	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9		modxp1i.9	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
10	2	nncni 12207	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11		exp1 14042	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴↑1) = 𝐴
13	12	oveq1i 7404	. 2 ⊢ ((𝐴↑1) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)
14		modxp1i.7	. 2 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐸
15		modxp1i.8	. 2 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐴)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15	modxai 17045	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7394  ℂcc 11084  1c1 11087   + caddc 11089   · cmul 11091  ℕcn 12197  ℕ₀cn0 12458  ℤcz 12545   mod cmo 13843  ↑cexp 14036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9411  df-inf 9412  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12966  df-fl 13766  df-mod 13844  df-seq 13977  df-exp 14037

This theorem is referenced by:  1259lem1  17107  1259lem4  17110  2503lem2  17114  4001lem1  17117  2exp340mod341  47689  nfermltl8rev  47698