Theorem modxp1i 17038

Description: Add one to an exponent in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modxp1i.9	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modxp1i.7	⊢ (𝐵 + 1) = 𝐸
modxp1i.8	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
modxp1i	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modxp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.1	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		modxai.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		modxai.3	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		modxai.4	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
5		modxai.5	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		modxai.6	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7		1nn0 12518	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	2	nnnn0i 12510	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9		modxp1i.9	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
10	2	nncni 12252	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
11		exp1 14064	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴↑1) = 𝐴
13	12	oveq1i 7430	. 2 ⊢ ((𝐴↑1) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)
14		modxp1i.7	. 2 ⊢ (𝐵 + 1) = 𝐸
15		modxp1i.8	. 2 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐴)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15	modxai 17036	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℂcc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588   mod cmo 13866  ↑cexp 14058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059

This theorem is referenced by:  1259lem1  17099  1259lem4  17102  2503lem2  17106  4001lem1  17109  2exp340mod341  47073  nfermltl8rev  47082