MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxp1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modxp1i 16947
Description: Add one to an exponent in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1 ๐‘ โˆˆ โ„•
modxai.2 ๐ด โˆˆ โ„•
modxai.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
modxai.4 ๐ท โˆˆ โ„ค
modxai.5 ๐พ โˆˆ โ„•0
modxai.6 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
modxp1i.9 ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐พ mod ๐‘)
modxp1i.7 (๐ต + 1) = ๐ธ
modxp1i.8 ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐พ ยท ๐ด)
Assertion
Ref Expression
modxp1i ((๐ดโ†‘๐ธ) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)

Proof of Theorem modxp1i
StepHypRef Expression
1 modxai.1 . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•
2 modxai.2 . 2 ๐ด โˆˆ โ„•
3 modxai.3 . 2 ๐ต โˆˆ โ„•0
4 modxai.4 . 2 ๐ท โˆˆ โ„ค
5 modxai.5 . 2 ๐พ โˆˆ โ„•0
6 modxai.6 . 2 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
7 1nn0 12434 . 2 1 โˆˆ โ„•0
82nnnn0i 12426 . 2 ๐ด โˆˆ โ„•0
9 modxp1i.9 . 2 ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐พ mod ๐‘)
102nncni 12168 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‚
11 exp1 13979 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (๐ดโ†‘1) = ๐ด
1312oveq1i 7368 . 2 ((๐ดโ†‘1) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘)
14 modxp1i.7 . 2 (๐ต + 1) = ๐ธ
15 modxp1i.8 . 2 ((๐ท ยท ๐‘) + ๐‘€) = (๐พ ยท ๐ด)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15modxai 16945 1 ((๐ดโ†‘๐ธ) mod ๐‘) = (๐‘€ mod ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504   mod cmo 13780  โ†‘cexp 13973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974
This theorem is referenced by:  1259lem1  17008  1259lem4  17011  2503lem2  17015  4001lem1  17018  2exp340mod341  46011  nfermltl8rev  46020
  Copyright terms: Public domain W3C validator