Theorem mod2xi 17252

Description: Double exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xi.9	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
mod2xi.7	⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xi.8	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2xi	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.1	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		modxai.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		modxai.3	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		modxai.4	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
5		modxai.5	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		modxai.6	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7		mod2xi.9	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
8	3	nn0cni 12621	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
9	8	2timesi 12483	. . 3 ⊢ (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵)
10		mod2xi.7	. . 3 ⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
11	9, 10	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐵) = 𝐸
12		mod2xi.8	. 2 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 5, 7, 7, 11, 12	modxai 17251	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420   + caddc 11206   · cmul 11208  ℕcn 12338  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696   mod cmo 14012  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  mod2xnegi  17254  1259lem1  17314  1259lem2  17315  1259lem3  17316  1259lem4  17317  2503lem1  17320  2503lem2  17321  4001lem1  17324  4001lem2  17325  4001lem3  17326  2exp340mod341  48924  8exp8mod9  48927