Theorem mod2xi 17154

Description: Double exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xi.9	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
mod2xi.7	⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xi.8	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2xi	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.1	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		modxai.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		modxai.3	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		modxai.4	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
5		modxai.5	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		modxai.6	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7		mod2xi.9	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
8	3	nn0cni 12534	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
9	8	2timesi 12396	. . 3 ⊢ (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵)
10		mod2xi.7	. . 3 ⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
11	9, 10	eqtr3i 2791	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐵) = 𝐸
12		mod2xi.8	. 2 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 5, 7, 7, 11, 12	modxai 17153	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609   mod cmo 13922  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  mod2xnegi  17156  1259lem1  17216  1259lem2  17217  1259lem3  17218  1259lem4  17219  2503lem1  17222  2503lem2  17223  4001lem1  17226  4001lem2  17227  4001lem3  17228  2exp340mod341  48539  8exp8mod9  48542