Theorem mod2xi 17108

Description: Double exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modxai.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modxai.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modxai.4	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
modxai.5	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
modxai.6	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
mod2xi.9	⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
mod2xi.7	⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
mod2xi.8	⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2xi	⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem mod2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.1	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		modxai.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		modxai.3	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		modxai.4	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
5		modxai.5	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
6		modxai.6	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7		mod2xi.9	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
8	3	nn0cni 12540	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
9	8	2timesi 12405	. . 3 ⊢ (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵)
10		mod2xi.7	. . 3 ⊢ (2 · 𝐵) = 𝐸
11	9, 10	eqtr3i 2766	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐵) = 𝐸
12		mod2xi.8	. 2 ⊢ ((𝐷 · 𝑁) + 𝑀) = (𝐾 · 𝐾)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 3, 5, 7, 7, 11, 12	modxai 17107	1 ⊢ ((𝐴↑𝐸) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432   + caddc 11159   · cmul 11161  ℕcn 12267  2c2 12322  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615   mod cmo 13910  ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104

This theorem is referenced by:  mod2xnegi  17110  1259lem1  17169  1259lem2  17170  1259lem3  17171  1259lem4  17172  2503lem1  17175  2503lem2  17176  4001lem1  17179  4001lem2  17180  4001lem3  17181  2exp340mod341  47725  8exp8mod9  47728