Theorem mulc1cncfg 46129

Description: A version of mulc1cncf 24947 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulc1cncfg.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
mulc1cncfg.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
mulc1cncfg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
mulc1cncfg.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncfg

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulc1cncfg.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))
3	2	mulc1cncf 24947	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		cncff 24935	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
7		mulc1cncfg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
8		cncff 24935	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
10		fcompt 7111	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))))
11	6, 9, 10	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))))
12	9	ffvelcdmda 7061	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
13	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 12	mulcld 11199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
15		mulc1cncfg.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑡
17	15, 16	nffv 6873	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑡)
18		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
19		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
20	18, 19, 17	nfov 7422	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 · (𝐹‘𝑡))
21		oveq2 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
22	17, 20, 21, 2	fvmptf 6993	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
23	12, 14, 22	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
24	23	mpteq2dva 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑡))))
25		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
26		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 ·
27		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑥)
28	25, 26, 27	nfov 7422	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐵 · (𝐹‘𝑥))
29		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑥))
30	29	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑥)))
31	20, 28, 30	cbvmpt 5201	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑡))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥)))
32	24, 31	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
33	11, 32	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
34	7, 4	cncfco 24949	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
35	33, 34	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  Ⅎwnf 1802   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908   ↦ cmpt 5180   ∘ ccom 5649  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   · cmul 11075  –cn→ccncf 24918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-cncf 24920

This theorem is referenced by: (None)