Theorem mulc1cncfg 46695

Description: A version of mulc1cncf 25232 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulc1cncfg.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
mulc1cncfg.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
mulc1cncfg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
mulc1cncfg.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncfg

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulc1cncfg.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))
3	2	mulc1cncf 25232	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		cncff 25220	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
7		mulc1cncfg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
8		cncff 25220	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
10		fcompt 7135	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))))
11	6, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))))
12	9	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
13	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 12	mulcld 11333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
15		mulc1cncfg.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑡
17	15, 16	nffv 6896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑡)
18		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
19		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
20	18, 19, 17	nfov 7451	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 · (𝐹‘𝑡))
21		oveq2 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
22	17, 20, 21, 2	fvmptf 7016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
23	12, 14, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
24	23	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑡))))
25		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
26		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 ·
27		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑥)
28	25, 26, 27	nfov 7451	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐵 · (𝐹‘𝑥))
29		fveq2 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑥))
30	29	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑥)))
31	20, 28, 30	cbvmpt 5206	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑡))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥)))
32	24, 31	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
33	11, 32	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
34	7, 4	cncfco 25234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
35	33, 34	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   · cmul 11209  –cn→ccncf 25203

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-cncf 25205

This theorem is used by: (None)