Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulc1cncfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncfg 44877
Description: A version of mulc1cncf 24780 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulc1cncfg.1 β„²π‘₯𝐹
mulc1cncfg.2 β„²π‘₯πœ‘
mulc1cncfg.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
mulc1cncfg.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
mulc1cncfg (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem mulc1cncfg
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulc1cncfg.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))
32mulc1cncf 24780 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
5 cncff 24768 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚)
64, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚)
7 mulc1cncfg.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
8 cncff 24768 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
97, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
10 fcompt 7127 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
116, 9, 10syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
129ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
131adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1413, 12mulcld 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
15 mulc1cncfg.1 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐹
16 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑑
1715, 16nffv 6895 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘‘)
18 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐡
19 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ Β·
2018, 19, 17nfov 7435 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘))
21 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
2217, 20, 21, 2fvmptf 7013 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
2312, 14, 22syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
2423mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘))))
25 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐡
26 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 Β·
27 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘₯)
2825, 26, 27nfov 7435 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))
29 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑑 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘₯))
3029oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑑 = π‘₯ β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
3120, 28, 30cbvmpt 5252 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
3224, 31eqtrdi 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
3311, 32eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
347, 4cncfco 24782 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
3533, 34eqeltrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   Β· cmul 11117  β€“cnβ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-cncf 24753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator