Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulc1cncfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncfg 45040
Description: A version of mulc1cncf 24843 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulc1cncfg.1 β„²π‘₯𝐹
mulc1cncfg.2 β„²π‘₯πœ‘
mulc1cncfg.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
mulc1cncfg.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
mulc1cncfg (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem mulc1cncfg
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulc1cncfg.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2 eqid 2725 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))
32mulc1cncf 24843 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
41, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
5 cncff 24831 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚)
64, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚)
7 mulc1cncfg.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
8 cncff 24831 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
97, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
10 fcompt 7138 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
116, 9, 10syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
129ffvelcdmda 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
131adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1413, 12mulcld 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
15 mulc1cncfg.1 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐹
16 nfcv 2892 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑑
1715, 16nffv 6902 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘‘)
18 nfcv 2892 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐡
19 nfcv 2892 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ Β·
2018, 19, 17nfov 7446 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘))
21 oveq2 7424 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (𝐡 Β· π‘₯) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
2217, 20, 21, 2fvmptf 7021 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
2312, 14, 22syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
2423mpteq2dva 5243 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘))))
25 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐡
26 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 Β·
27 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘₯)
2825, 26, 27nfov 7446 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))
29 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑑 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘₯))
3029oveq2d 7432 . . . . 5 (𝑑 = π‘₯ β†’ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
3120, 28, 30cbvmpt 5254 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘‘))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
3224, 31eqtrdi 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯))β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
3311, 32eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
347, 4cncfco 24845 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐡 Β· π‘₯)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
3533, 34eqeltrrd 2826 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136   Β· cmul 11143  β€“cnβ†’ccncf 24814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-cncf 24816
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator