Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulc1cncfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncfg 40617
Description: A version of mulc1cncf 23079 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulc1cncfg.1 𝑥𝐹
mulc1cncfg.2 𝑥𝜑
mulc1cncfg.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
mulc1cncfg.4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulc1cncfg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncfg
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulc1cncfg.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 eqid 2826 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))
32mulc1cncf 23079 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5 cncff 23067 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
7 mulc1cncfg.3 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
8 cncff 23067 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
10 fcompt 6651 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))))
116, 9, 10syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))))
129ffvelrnda 6609 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
131adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413, 12mulcld 10378 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐵 · (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
15 mulc1cncfg.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
16 nfcv 2970 . . . . . . . 8 𝑥𝑡
1715, 16nffv 6444 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑡)
18 nfcv 2970 . . . . . . . 8 𝑥𝐵
19 nfcv 2970 . . . . . . . 8 𝑥 ·
2018, 19, 17nfov 6936 . . . . . . 7 𝑥(𝐵 · (𝐹𝑡))
21 oveq2 6914 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2217, 20, 21, 2fvmptf 6549 . . . . . 6 (((𝐹𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2312, 14, 22syl2anc 581 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2423mpteq2dva 4968 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))) = (𝑡𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑡))))
25 nfcv 2970 . . . . . 6 𝑡𝐵
26 nfcv 2970 . . . . . 6 𝑡 ·
27 nfcv 2970 . . . . . 6 𝑡(𝐹𝑥)
2825, 26, 27nfov 6936 . . . . 5 𝑡(𝐵 · (𝐹𝑥))
29 fveq2 6434 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑥 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
3029oveq2d 6922 . . . . 5 (𝑡 = 𝑥 → (𝐵 · (𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑥)))
3120, 28, 30cbvmpt 4973 . . . 4 (𝑡𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑡))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥)))
3224, 31syl6eq 2878 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
3311, 32eqtrd 2862 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
347, 4cncfco 23081 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
3533, 34eqeltrrd 2908 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wnf 1884  wcel 2166  wnfc 2957  cmpt 4953  ccom 5347  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251   · cmul 10258  cnccncf 23050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-cncf 23052
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator