Theorem mulc1cncfg 43820

Description: A version of mulc1cncf 24268 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulc1cncfg.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
mulc1cncfg.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
mulc1cncfg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
mulc1cncfg.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncfg

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulc1cncfg.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))
3	2	mulc1cncf 24268	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		cncff 24256	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
7		mulc1cncfg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
8		cncff 24256	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
10		fcompt 7079	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))))
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))))
12	9	ffvelcdmda 7035	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
13	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 12	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
15		mulc1cncfg.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑡
17	15, 16	nffv 6852	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑡)
18		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
19		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
20	18, 19, 17	nfov 7387	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 · (𝐹‘𝑡))
21		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
22	17, 20, 21, 2	fvmptf 6969	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
23	12, 14, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
24	23	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑡))))
25		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
26		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 ·
27		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑥)
28	25, 26, 27	nfov 7387	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐵 · (𝐹‘𝑥))
29		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑥))
30	29	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑥)))
31	20, 28, 30	cbvmpt 5216	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑡))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥)))
32	24, 31	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
33	11, 32	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
34	7, 4	cncfco 24270	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
35	33, 34	eqeltrrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049   · cmul 11056  –cn→ccncf 24239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-cncf 24241

This theorem is referenced by: (None)