Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulc1cncfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncfg 45609
Description: A version of mulc1cncf 24932 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulc1cncfg.1 𝑥𝐹
mulc1cncfg.2 𝑥𝜑
mulc1cncfg.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
mulc1cncfg.4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulc1cncfg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncfg
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulc1cncfg.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))
32mulc1cncf 24932 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5 cncff 24920 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
7 mulc1cncfg.3 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
8 cncff 24920 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
10 fcompt 7152 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))))
116, 9, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))))
129ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
131adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413, 12mulcld 11282 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐵 · (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
15 mulc1cncfg.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
16 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥𝑡
1715, 16nffv 6915 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑡)
18 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥𝐵
19 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥 ·
2018, 19, 17nfov 7462 . . . . . . 7 𝑥(𝐵 · (𝐹𝑡))
21 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2217, 20, 21, 2fvmptf 7036 . . . . . 6 (((𝐹𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2312, 14, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2423mpteq2dva 5241 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))) = (𝑡𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑡))))
25 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑡𝐵
26 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑡 ·
27 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑡(𝐹𝑥)
2825, 26, 27nfov 7462 . . . . 5 𝑡(𝐵 · (𝐹𝑥))
29 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑥 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
3029oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑡 = 𝑥 → (𝐵 · (𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑥)))
3120, 28, 30cbvmpt 5252 . . . 4 (𝑡𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑡))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥)))
3224, 31eqtrdi 2792 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
3311, 32eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
347, 4cncfco 24934 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
3533, 34eqeltrrd 2841 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wnf 1782  wcel 2107  wnfc 2889  cmpt 5224  ccom 5688  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154   · cmul 11161  cnccncf 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-cncf 24905
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator