Theorem mulc1cncfg 46427

Description: A version of mulc1cncf 25139 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulc1cncfg.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
mulc1cncfg.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
mulc1cncfg.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
mulc1cncfg.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncfg

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulc1cncfg.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))
3	2	mulc1cncf 25139	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		cncff 25127	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
7		mulc1cncfg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
8		cncff 25127	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
10		fcompt 7131	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))))
11	6, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))))
12	9	ffvelcdmda 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
13	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 12	mulcld 11257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
15		mulc1cncfg.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
16		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑡
17	15, 16	nffv 6892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑡)
18		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
19		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
20	18, 19, 17	nfov 7447	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 · (𝐹‘𝑡))
21		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
22	17, 20, 21, 2	fvmptf 7012	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
23	12, 14, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑡)))
24	23	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑡))))
25		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
26		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 ·
27		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑥)
28	25, 26, 27	nfov 7447	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐵 · (𝐹‘𝑥))
29		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑥))
30	29	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝐵 · (𝐹‘𝑡)) = (𝐵 · (𝐹‘𝑥)))
31	20, 28, 30	cbvmpt 5211	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑡))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥)))
32	24, 31	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
33	11, 32	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))))
34	7, 4	cncfco 25141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
35	33, 34	eqeltrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹‘𝑥))) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   · cmul 11133  –cn→ccncf 25110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-cncf 25112

This theorem is used by: (None)