Theorem normcl 31325

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31323	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7064	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  ℝcr 11072   ℋchba 31119  norm_ℎcno 31123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-hv0cl 31203  ax-hvmul0 31210  ax-hfi 31279  ax-his1 31282  ax-his3 31284  ax-his4 31285

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-hnorm 31168

This theorem is referenced by:  norm-i  31329  normcli  31331  normpyc  31346  hhph  31378  bcs2  31382  norm1  31449  norm1exi  31450  pjhthlem1  31591  chscllem2  31838  pjige0i  31890  pjnorm2  31927  nmopsetretALT  32063  nmopub2tALT  32109  nmopge0  32111  unopnorm  32117  nmfnleub2  32126  eigvalcl  32161  nmlnop0iALT  32195  nmbdoplbi  32224  nmcexi  32226  nmcopexi  32227  nmcoplbi  32228  nmophmi  32231  lnconi  32233  lnopconi  32234  nmbdfnlbi  32249  nmcfnlbi  32252  riesz4i  32263  riesz1  32265  cnlnadjlem2  32268  cnlnadjlem7  32273  nmopadjlem  32289  nmoptrii  32294  nmopcoi  32295  nmopcoadji  32301  branmfn  32305  brabn  32306  leopnmid  32338  pjnmopi  32348  pjnormssi  32368  pjssposi  32372  hstle1  32426  hst1h  32427  hstle  32430  hstles  32431  hstoh  32432  strlem1  32450  strlem3a  32452  strlem5  32455  hstrlem6  32464  jplem1  32468  cdj1i  32633  cdj3lem1  32634  cdj3lem2b  32637  cdj3lem3b  32640  cdj3i  32641