Theorem normcl 30378

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 30376	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7086	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  ℝcr 11109   ℋchba 30172  norm_ℎcno 30176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hv0cl 30256  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his3 30337  ax-his4 30338

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-hnorm 30221

This theorem is referenced by:  norm-i  30382  normcli  30384  normpyc  30399  hhph  30431  bcs2  30435  norm1  30502  norm1exi  30503  pjhthlem1  30644  chscllem2  30891  pjige0i  30943  pjnorm2  30980  nmopsetretALT  31116  nmopub2tALT  31162  nmopge0  31164  unopnorm  31170  nmfnleub2  31179  eigvalcl  31214  nmlnop0iALT  31248  nmbdoplbi  31277  nmcexi  31279  nmcopexi  31280  nmcoplbi  31281  nmophmi  31284  lnconi  31286  lnopconi  31287  nmbdfnlbi  31302  nmcfnlbi  31305  riesz4i  31316  riesz1  31318  cnlnadjlem2  31321  cnlnadjlem7  31326  nmopadjlem  31342  nmoptrii  31347  nmopcoi  31348  nmopcoadji  31354  branmfn  31358  brabn  31359  leopnmid  31391  pjnmopi  31401  pjnormssi  31421  pjssposi  31425  hstle1  31479  hst1h  31480  hstle  31483  hstles  31484  hstoh  31485  strlem1  31503  strlem3a  31505  strlem5  31508  hstrlem6  31517  jplem1  31521  cdj1i  31686  cdj3lem1  31687  cdj3lem2b  31690  cdj3lem3b  31693  cdj3i  31694