Theorem normcl 30883

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 30881	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7078	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  ℝcr 11108   ℋchba 30677  norm_ℎcno 30681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-hv0cl 30761  ax-hvmul0 30768  ax-hfi 30837  ax-his1 30840  ax-his3 30842  ax-his4 30843

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-hnorm 30726

This theorem is referenced by:  norm-i  30887  normcli  30889  normpyc  30904  hhph  30936  bcs2  30940  norm1  31007  norm1exi  31008  pjhthlem1  31149  chscllem2  31396  pjige0i  31448  pjnorm2  31485  nmopsetretALT  31621  nmopub2tALT  31667  nmopge0  31669  unopnorm  31675  nmfnleub2  31684  eigvalcl  31719  nmlnop0iALT  31753  nmbdoplbi  31782  nmcexi  31784  nmcopexi  31785  nmcoplbi  31786  nmophmi  31789  lnconi  31791  lnopconi  31792  nmbdfnlbi  31807  nmcfnlbi  31810  riesz4i  31821  riesz1  31823  cnlnadjlem2  31826  cnlnadjlem7  31831  nmopadjlem  31847  nmoptrii  31852  nmopcoi  31853  nmopcoadji  31859  branmfn  31863  brabn  31864  leopnmid  31896  pjnmopi  31906  pjnormssi  31926  pjssposi  31930  hstle1  31984  hst1h  31985  hstle  31988  hstles  31989  hstoh  31990  strlem1  32008  strlem3a  32010  strlem5  32013  hstrlem6  32022  jplem1  32026  cdj1i  32191  cdj3lem1  32192  cdj3lem2b  32195  cdj3lem3b  32198  cdj3i  32199