Theorem normcl 31054

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31052	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7055	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  ℝcr 11067   ℋchba 30848  norm_ℎcno 30852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-hv0cl 30932  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-hnorm 30897

This theorem is referenced by:  norm-i  31058  normcli  31060  normpyc  31075  hhph  31107  bcs2  31111  norm1  31178  norm1exi  31179  pjhthlem1  31320  chscllem2  31567  pjige0i  31619  pjnorm2  31656  nmopsetretALT  31792  nmopub2tALT  31838  nmopge0  31840  unopnorm  31846  nmfnleub2  31855  eigvalcl  31890  nmlnop0iALT  31924  nmbdoplbi  31953  nmcexi  31955  nmcopexi  31956  nmcoplbi  31957  nmophmi  31960  lnconi  31962  lnopconi  31963  nmbdfnlbi  31978  nmcfnlbi  31981  riesz4i  31992  riesz1  31994  cnlnadjlem2  31997  cnlnadjlem7  32002  nmopadjlem  32018  nmoptrii  32023  nmopcoi  32024  nmopcoadji  32030  branmfn  32034  brabn  32035  leopnmid  32067  pjnmopi  32077  pjnormssi  32097  pjssposi  32101  hstle1  32155  hst1h  32156  hstle  32159  hstles  32160  hstoh  32161  strlem1  32179  strlem3a  32181  strlem5  32184  hstrlem6  32193  jplem1  32197  cdj1i  32362  cdj3lem1  32363  cdj3lem2b  32366  cdj3lem3b  32369  cdj3i  32370