Theorem normcl 31736

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31734	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7088	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  ℝcr 11206   ℋchba 31530  norm_ℎcno 31534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-hv0cl 31614  ax-hvmul0 31621  ax-hfi 31690  ax-his1 31693  ax-his3 31695  ax-his4 31696

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-hnorm 31579

This theorem is used by:  norm-i  31740  normcli  31742  normpyc  31757  hhph  31789  bcs2  31793  norm1  31860  norm1exi  31861  pjhthlem1  32002  chscllem2  32249  pjige0i  32301  pjnorm2  32338  nmopsetretALT  32474  nmopub2tALT  32520  nmopge0  32522  unopnorm  32528  nmfnleub2  32537  eigvalcl  32572  nmlnop0iALT  32606  nmbdoplbi  32635  nmcexi  32637  nmcopexi  32638  nmcoplbi  32639  nmophmi  32642  lnconi  32644  lnopconi  32645  nmbdfnlbi  32660  nmcfnlbi  32663  riesz4i  32674  riesz1  32676  cnlnadjlem2  32679  cnlnadjlem7  32684  nmopadjlem  32700  nmoptrii  32705  nmopcoi  32706  nmopcoadji  32712  branmfn  32716  brabn  32717  leopnmid  32749  pjnmopi  32759  pjnormssi  32779  pjssposi  32783  hstle1  32837  hst1h  32838  hstle  32841  hstles  32842  hstoh  32843  strlem1  32861  strlem3a  32863  strlem5  32866  hstrlem6  32875  jplem1  32879  cdj1i  33044  cdj3lem1  33045  cdj3lem2b  33048  cdj3lem3b  33051  cdj3i  33052