Theorem normcl 31417

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31415	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7079	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  ℝcr 11098   ℋchba 31211  norm_ℎcno 31215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-hv0cl 31295  ax-hvmul0 31302  ax-hfi 31371  ax-his1 31374  ax-his3 31376  ax-his4 31377

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-hnorm 31260

This theorem is referenced by:  norm-i  31421  normcli  31423  normpyc  31438  hhph  31470  bcs2  31474  norm1  31541  norm1exi  31542  pjhthlem1  31683  chscllem2  31930  pjige0i  31982  pjnorm2  32019  nmopsetretALT  32155  nmopub2tALT  32201  nmopge0  32203  unopnorm  32209  nmfnleub2  32218  eigvalcl  32253  nmlnop0iALT  32287  nmbdoplbi  32316  nmcexi  32318  nmcopexi  32319  nmcoplbi  32320  nmophmi  32323  lnconi  32325  lnopconi  32326  nmbdfnlbi  32341  nmcfnlbi  32344  riesz4i  32355  riesz1  32357  cnlnadjlem2  32360  cnlnadjlem7  32365  nmopadjlem  32381  nmoptrii  32386  nmopcoi  32387  nmopcoadji  32393  branmfn  32397  brabn  32398  leopnmid  32430  pjnmopi  32440  pjnormssi  32460  pjssposi  32464  hstle1  32518  hst1h  32519  hstle  32522  hstles  32523  hstoh  32524  strlem1  32542  strlem3a  32544  strlem5  32547  hstrlem6  32556  jplem1  32560  cdj1i  32725  cdj3lem1  32726  cdj3lem2b  32729  cdj3lem3b  32732  cdj3i  32733