Theorem normcl 28896

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 28894	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelrni 6844	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  ℝcr 10530   ℋchba 28690  norm_ℎcno 28694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-hv0cl 28774  ax-hvmul0 28781  ax-hfi 28850  ax-his1 28853  ax-his3 28855  ax-his4 28856

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-hnorm 28739

This theorem is referenced by:  norm-i  28900  normcli  28902  normpyc  28917  hhph  28949  bcs2  28953  norm1  29020  norm1exi  29021  pjhthlem1  29162  chscllem2  29409  pjige0i  29461  pjnorm2  29498  nmopsetretALT  29634  nmopub2tALT  29680  nmopge0  29682  unopnorm  29688  nmfnleub2  29697  eigvalcl  29732  nmlnop0iALT  29766  nmbdoplbi  29795  nmcexi  29797  nmcopexi  29798  nmcoplbi  29799  nmophmi  29802  lnconi  29804  lnopconi  29805  nmbdfnlbi  29820  nmcfnlbi  29823  riesz4i  29834  riesz1  29836  cnlnadjlem2  29839  cnlnadjlem7  29844  nmopadjlem  29860  nmoptrii  29865  nmopcoi  29866  nmopcoadji  29872  branmfn  29876  brabn  29877  leopnmid  29909  pjnmopi  29919  pjnormssi  29939  pjssposi  29943  hstle1  29997  hst1h  29998  hstle  30001  hstles  30002  hstoh  30003  strlem1  30021  strlem3a  30023  strlem5  30026  hstrlem6  30035  jplem1  30039  cdj1i  30204  cdj3lem1  30205  cdj3lem2b  30208  cdj3lem3b  30211  cdj3i  30212