Theorem normcl 30811

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 30809	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7085	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  ℝcr 11115   ℋchba 30605  norm_ℎcno 30609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-hv0cl 30689  ax-hvmul0 30696  ax-hfi 30765  ax-his1 30768  ax-his3 30770  ax-his4 30771

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-hnorm 30654

This theorem is referenced by:  norm-i  30815  normcli  30817  normpyc  30832  hhph  30864  bcs2  30868  norm1  30935  norm1exi  30936  pjhthlem1  31077  chscllem2  31324  pjige0i  31376  pjnorm2  31413  nmopsetretALT  31549  nmopub2tALT  31595  nmopge0  31597  unopnorm  31603  nmfnleub2  31612  eigvalcl  31647  nmlnop0iALT  31681  nmbdoplbi  31710  nmcexi  31712  nmcopexi  31713  nmcoplbi  31714  nmophmi  31717  lnconi  31719  lnopconi  31720  nmbdfnlbi  31735  nmcfnlbi  31738  riesz4i  31749  riesz1  31751  cnlnadjlem2  31754  cnlnadjlem7  31759  nmopadjlem  31775  nmoptrii  31780  nmopcoi  31781  nmopcoadji  31787  branmfn  31791  brabn  31792  leopnmid  31824  pjnmopi  31834  pjnormssi  31854  pjssposi  31858  hstle1  31912  hst1h  31913  hstle  31916  hstles  31917  hstoh  31918  strlem1  31936  strlem3a  31938  strlem5  31941  hstrlem6  31950  jplem1  31954  cdj1i  32119  cdj3lem1  32120  cdj3lem2b  32123  cdj3lem3b  32126  cdj3i  32127