Theorem normcl 31211

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31209	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7029	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  ℝcr 11028   ℋchba 31005  norm_ℎcno 31009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-hv0cl 31089  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his3 31170  ax-his4 31171

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-hnorm 31054

This theorem is referenced by:  norm-i  31215  normcli  31217  normpyc  31232  hhph  31264  bcs2  31268  norm1  31335  norm1exi  31336  pjhthlem1  31477  chscllem2  31724  pjige0i  31776  pjnorm2  31813  nmopsetretALT  31949  nmopub2tALT  31995  nmopge0  31997  unopnorm  32003  nmfnleub2  32012  eigvalcl  32047  nmlnop0iALT  32081  nmbdoplbi  32110  nmcexi  32112  nmcopexi  32113  nmcoplbi  32114  nmophmi  32117  lnconi  32119  lnopconi  32120  nmbdfnlbi  32135  nmcfnlbi  32138  riesz4i  32149  riesz1  32151  cnlnadjlem2  32154  cnlnadjlem7  32159  nmopadjlem  32175  nmoptrii  32180  nmopcoi  32181  nmopcoadji  32187  branmfn  32191  brabn  32192  leopnmid  32224  pjnmopi  32234  pjnormssi  32254  pjssposi  32258  hstle1  32312  hst1h  32313  hstle  32316  hstles  32317  hstoh  32318  strlem1  32336  strlem3a  32338  strlem5  32341  hstrlem6  32350  jplem1  32354  cdj1i  32519  cdj3lem1  32520  cdj3lem2b  32523  cdj3lem3b  32526  cdj3i  32527