Theorem normcl 31216

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31214	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7027	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6488  ℝcr 11033   ℋchba 31010  norm_ℎcno 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-hv0cl 31094  ax-hvmul0 31101  ax-hfi 31170  ax-his1 31173  ax-his3 31175  ax-his4 31176

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-hnorm 31059

This theorem is referenced by:  norm-i  31220  normcli  31222  normpyc  31237  hhph  31269  bcs2  31273  norm1  31340  norm1exi  31341  pjhthlem1  31482  chscllem2  31729  pjige0i  31781  pjnorm2  31818  nmopsetretALT  31954  nmopub2tALT  32000  nmopge0  32002  unopnorm  32008  nmfnleub2  32017  eigvalcl  32052  nmlnop0iALT  32086  nmbdoplbi  32115  nmcexi  32117  nmcopexi  32118  nmcoplbi  32119  nmophmi  32122  lnconi  32124  lnopconi  32125  nmbdfnlbi  32140  nmcfnlbi  32143  riesz4i  32154  riesz1  32156  cnlnadjlem2  32159  cnlnadjlem7  32164  nmopadjlem  32180  nmoptrii  32185  nmopcoi  32186  nmopcoadji  32192  branmfn  32196  brabn  32197  leopnmid  32229  pjnmopi  32239  pjnormssi  32259  pjssposi  32263  hstle1  32317  hst1h  32318  hstle  32321  hstles  32322  hstoh  32323  strlem1  32341  strlem3a  32343  strlem5  32346  hstrlem6  32355  jplem1  32359  cdj1i  32524  cdj3lem1  32525  cdj3lem2b  32528  cdj3lem3b  32531  cdj3i  32532