Theorem normcl 31097

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31095	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7011	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  ℝcr 11000   ℋchba 30891  norm_ℎcno 30895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-hv0cl 30975  ax-hvmul0 30982  ax-hfi 31051  ax-his1 31054  ax-his3 31056  ax-his4 31057

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-hnorm 30940

This theorem is referenced by:  norm-i  31101  normcli  31103  normpyc  31118  hhph  31150  bcs2  31154  norm1  31221  norm1exi  31222  pjhthlem1  31363  chscllem2  31610  pjige0i  31662  pjnorm2  31699  nmopsetretALT  31835  nmopub2tALT  31881  nmopge0  31883  unopnorm  31889  nmfnleub2  31898  eigvalcl  31933  nmlnop0iALT  31967  nmbdoplbi  31996  nmcexi  31998  nmcopexi  31999  nmcoplbi  32000  nmophmi  32003  lnconi  32005  lnopconi  32006  nmbdfnlbi  32021  nmcfnlbi  32024  riesz4i  32035  riesz1  32037  cnlnadjlem2  32040  cnlnadjlem7  32045  nmopadjlem  32061  nmoptrii  32066  nmopcoi  32067  nmopcoadji  32073  branmfn  32077  brabn  32078  leopnmid  32110  pjnmopi  32120  pjnormssi  32140  pjssposi  32144  hstle1  32198  hst1h  32199  hstle  32202  hstles  32203  hstoh  32204  strlem1  32222  strlem3a  32224  strlem5  32227  hstrlem6  32236  jplem1  32240  cdj1i  32405  cdj3lem1  32406  cdj3lem2b  32409  cdj3lem3b  32412  cdj3i  32413