Theorem normcl 31606

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31604	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7076	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  ℝcr 11123   ℋchba 31400  norm_ℎcno 31404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-hv0cl 31484  ax-hvmul0 31491  ax-hfi 31560  ax-his1 31563  ax-his3 31565  ax-his4 31566

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-hnorm 31449

This theorem is used by:  norm-i  31610  normcli  31612  normpyc  31627  hhph  31659  bcs2  31663  norm1  31730  norm1exi  31731  pjhthlem1  31872  chscllem2  32119  pjige0i  32171  pjnorm2  32208  nmopsetretALT  32344  nmopub2tALT  32390  nmopge0  32392  unopnorm  32398  nmfnleub2  32407  eigvalcl  32442  nmlnop0iALT  32476  nmbdoplbi  32505  nmcexi  32507  nmcopexi  32508  nmcoplbi  32509  nmophmi  32512  lnconi  32514  lnopconi  32515  nmbdfnlbi  32530  nmcfnlbi  32533  riesz4i  32544  riesz1  32546  cnlnadjlem2  32549  cnlnadjlem7  32554  nmopadjlem  32570  nmoptrii  32575  nmopcoi  32576  nmopcoadji  32582  branmfn  32586  brabn  32587  leopnmid  32619  pjnmopi  32629  pjnormssi  32649  pjssposi  32653  hstle1  32707  hst1h  32708  hstle  32711  hstles  32712  hstoh  32713  strlem1  32731  strlem3a  32733  strlem5  32736  hstrlem6  32745  jplem1  32749  cdj1i  32914  cdj3lem1  32915  cdj3lem2b  32918  cdj3lem3b  32921  cdj3i  32922