Theorem normcl 31548

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31546	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7082	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  ℝcr 11114   ℋchba 31342  norm_ℎcno 31346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-hv0cl 31426  ax-hvmul0 31433  ax-hfi 31502  ax-his1 31505  ax-his3 31507  ax-his4 31508

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-hnorm 31391

This theorem is used by:  norm-i  31552  normcli  31554  normpyc  31569  hhph  31601  bcs2  31605  norm1  31672  norm1exi  31673  pjhthlem1  31814  chscllem2  32061  pjige0i  32113  pjnorm2  32150  nmopsetretALT  32286  nmopub2tALT  32332  nmopge0  32334  unopnorm  32340  nmfnleub2  32349  eigvalcl  32384  nmlnop0iALT  32418  nmbdoplbi  32447  nmcexi  32449  nmcopexi  32450  nmcoplbi  32451  nmophmi  32454  lnconi  32456  lnopconi  32457  nmbdfnlbi  32472  nmcfnlbi  32475  riesz4i  32486  riesz1  32488  cnlnadjlem2  32491  cnlnadjlem7  32496  nmopadjlem  32512  nmoptrii  32517  nmopcoi  32518  nmopcoadji  32524  branmfn  32528  brabn  32529  leopnmid  32561  pjnmopi  32571  pjnormssi  32591  pjssposi  32595  hstle1  32649  hst1h  32650  hstle  32653  hstles  32654  hstoh  32655  strlem1  32673  strlem3a  32675  strlem5  32678  hstrlem6  32687  jplem1  32691  cdj1i  32856  cdj3lem1  32857  cdj3lem2b  32860  cdj3lem3b  32863  cdj3i  32864