Theorem normcl 30948

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 30946	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7093	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  ℝcr 11138   ℋchba 30742  norm_ℎcno 30746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-hv0cl 30826  ax-hvmul0 30833  ax-hfi 30902  ax-his1 30905  ax-his3 30907  ax-his4 30908

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-hnorm 30791

This theorem is referenced by:  norm-i  30952  normcli  30954  normpyc  30969  hhph  31001  bcs2  31005  norm1  31072  norm1exi  31073  pjhthlem1  31214  chscllem2  31461  pjige0i  31513  pjnorm2  31550  nmopsetretALT  31686  nmopub2tALT  31732  nmopge0  31734  unopnorm  31740  nmfnleub2  31749  eigvalcl  31784  nmlnop0iALT  31818  nmbdoplbi  31847  nmcexi  31849  nmcopexi  31850  nmcoplbi  31851  nmophmi  31854  lnconi  31856  lnopconi  31857  nmbdfnlbi  31872  nmcfnlbi  31875  riesz4i  31886  riesz1  31888  cnlnadjlem2  31891  cnlnadjlem7  31896  nmopadjlem  31912  nmoptrii  31917  nmopcoi  31918  nmopcoadji  31924  branmfn  31928  brabn  31929  leopnmid  31961  pjnmopi  31971  pjnormssi  31991  pjssposi  31995  hstle1  32049  hst1h  32050  hstle  32053  hstles  32054  hstoh  32055  strlem1  32073  strlem3a  32075  strlem5  32078  hstrlem6  32087  jplem1  32091  cdj1i  32256  cdj3lem1  32257  cdj3lem2b  32260  cdj3lem3b  32263  cdj3i  32264