Theorem normcl 31784

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 31782	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelcdmi 7115	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  ℝcr 11238   ℋchba 31578  norm_ℎcno 31582

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-hv0cl 31662  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-hnorm 31627

This theorem is used by:  norm-i  31788  normcli  31790  normpyc  31805  hhph  31837  bcs2  31841  norm1  31908  norm1exi  31909  pjhthlem1  32050  chscllem2  32297  pjige0i  32349  pjnorm2  32386  nmopsetretALT  32522  nmopub2tALT  32568  nmopge0  32570  unopnorm  32576  nmfnleub2  32585  eigvalcl  32620  nmlnop0iALT  32654  nmbdoplbi  32683  nmcexi  32685  nmcopexi  32686  nmcoplbi  32687  nmophmi  32690  lnconi  32692  lnopconi  32693  nmbdfnlbi  32708  nmcfnlbi  32711  riesz4i  32722  riesz1  32724  cnlnadjlem2  32727  cnlnadjlem7  32732  nmopadjlem  32748  nmoptrii  32753  nmopcoi  32754  nmopcoadji  32760  branmfn  32764  brabn  32765  leopnmid  32797  pjnmopi  32807  pjnormssi  32827  pjssposi  32831  hstle1  32885  hst1h  32886  hstle  32889  hstles  32890  hstoh  32891  strlem1  32909  strlem3a  32911  strlem5  32914  hstrlem6  32923  jplem1  32927  cdj1i  33092  cdj3lem1  33093  cdj3lem2b  33096  cdj3lem3b  33099  cdj3i  33100