MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsupss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsupss 12983
Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsupss.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzsupss ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧)   𝑍(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem uzsupss
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 12894 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzsupss.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtrrdi 2851 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀𝑍)
6 ral0 4512 . . . 4 𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦
7 simpr 484 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
87raleqdv 3325 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦))
96, 8mpbiri 258 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦)
10 eluzle 12892 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑦)
11 eluzel2 12884 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 eluzelz 12889 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
13 zre 12619 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14 zre 12619 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
15 lenlt 11340 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1613, 14, 15syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1711, 12, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1810, 17mpbid 232 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑦 < 𝑀)
1918, 4eleq2s 2858 . . . . . 6 (𝑦𝑍 → ¬ 𝑦 < 𝑀)
2019pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑦𝑍 → (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
2120rgen 3062 . . . 4 𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
2221a1i 11 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
23 breq1 5145 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 < 𝑦𝑀 < 𝑦))
2423notbid 318 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑀 < 𝑦))
2524ralbidv 3177 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦))
26 breq2 5146 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑀))
2726imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2827ralbidv 3177 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2925, 28anbi12d 632 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
3029rspcev 3621 . . 3 ((𝑀𝑍 ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
315, 9, 22, 30syl12anc 836 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
32 simpl2 1192 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑍)
33 uzssz 12900 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
344, 33eqsstri 4029 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
3532, 34sstrdi 3995 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
36 simpr 484 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
37 simpl3 1193 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
38 zsupss 12980 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1372 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
40 ssrexv 4052 . . 3 (𝐴𝑍 → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4132, 39, 40sylc 65 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4231, 41pm2.61dane 3028 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142  cfv 6560  cr 11155   < clt 11296  cle 11297  cz 12615  cuz 12879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880
This theorem is referenced by:  dgrcl  26273  dgrub  26274  dgrlb  26276  oddpwdc  34357
  Copyright terms: Public domain W3C validator