Theorem uzsupss 12992

Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsupss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsupss	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧)   𝑍(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem uzsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12905	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzsupss.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2873	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		ral0 4457	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8	7	raleqdv 3321	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦))
9	6, 8	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦)
10		eluzle 12903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑦)
11		eluzel2 12895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		eluzelz 12900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
13		zre 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
15		lenlt 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
16	13, 14, 15	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
17	11, 12, 16	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
18	10, 17	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑦 < 𝑀)
19	18, 4	eleq2s 2880	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → ¬ 𝑦 < 𝑀)
20	19	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
21	20	rgen 3080	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
23		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑀 < 𝑦))
24	23	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑀 < 𝑦))
25	24	ralbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦))
26		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑀))
27	26	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
28	27	ralbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
29	25, 28	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
30	29	rspcev 3579	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
31	5, 9, 22, 30	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
32		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
33		uzssz 12911	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
34	4, 33	eqsstri 3980	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
35	32, 34	sstrdi 3946	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
37		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
38		zsupss 12989	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
40		ssrexv 4004	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑍 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
41	32, 39, 40	sylc 66	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
42	31, 41	pm2.61dane 3044	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℝcr 11126   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891

This theorem is used by:  dgrcl  26460  dgrub  26461  dgrlb  26463  oddpwdc  34852