MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsupss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsupss 11981
Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsupss.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzsupss ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧)   𝑍(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem uzsupss
StepHypRef Expression
1 simpl1 1242 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 11901 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzsupss.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleqr 2855 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀𝑍)
6 ral0 4235 . . . 4 𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦
7 simpr 477 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
87raleqdv 3292 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦))
96, 8mpbiri 249 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦)
10 eluzle 11899 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑦)
11 eluzel2 11891 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 eluzelz 11896 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
13 zre 11628 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14 zre 11628 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
15 lenlt 10370 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1613, 14, 15syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1711, 12, 16syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1810, 17mpbid 223 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑦 < 𝑀)
1918, 4eleq2s 2862 . . . . . 6 (𝑦𝑍 → ¬ 𝑦 < 𝑀)
2019pm2.21d 119 . . . . 5 (𝑦𝑍 → (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
2120rgen 3069 . . . 4 𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
2221a1i 11 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
23 breq1 4812 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 < 𝑦𝑀 < 𝑦))
2423notbid 309 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑀 < 𝑦))
2524ralbidv 3133 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦))
26 breq2 4813 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑀))
2726imbi1d 332 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2827ralbidv 3133 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2925, 28anbi12d 624 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
3029rspcev 3461 . . 3 ((𝑀𝑍 ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
315, 9, 22, 30syl12anc 865 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
32 simpl2 1244 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑍)
33 uzssz 11906 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
344, 33eqsstri 3795 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
3532, 34syl6ss 3773 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
36 simpr 477 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
37 simpl3 1246 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
38 zsupss 11978 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1490 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
40 ssrexv 3827 . . 3 (𝐴𝑍 → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4132, 39, 40sylc 65 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4231, 41pm2.61dane 3024 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  cfv 6068  cr 10188   < clt 10328  cle 10329  cz 11624  cuz 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887
This theorem is referenced by:  dgrcl  24280  dgrub  24281  dgrlb  24283  oddpwdc  30798
  Copyright terms: Public domain W3C validator