Theorem uzsupss 12434

Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsupss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsupss	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧)   𝑍(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem uzsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12351	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzsupss.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2845	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		ral0 4409	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦
7		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8	7	raleqdv 3317	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦))
9	6, 8	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦)
10		eluzle 12349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑦)
11		eluzel2 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		eluzelz 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
13		zre 12078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 12078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
15		lenlt 10809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
16	13, 14, 15	syl2an 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
17	11, 12, 16	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
18	10, 17	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑦 < 𝑀)
19	18, 4	eleq2s 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → ¬ 𝑦 < 𝑀)
20	19	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
21	20	rgen 3064	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
23		breq1 5043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑀 < 𝑦))
24	23	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑀 < 𝑦))
25	24	ralbidv 3110	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦))
26		breq2 5044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑀))
27	26	imbi1d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
28	27	ralbidv 3110	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
29	25, 28	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
30	29	rspcev 3529	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
31	5, 9, 22, 30	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
32		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
33		uzssz 12357	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
34	4, 33	eqsstri 3921	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
35	32, 34	sstrdi 3899	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
36		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
37		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
38		zsupss 12431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
40		ssrexv 3954	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑍 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
41	32, 39, 40	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
42	31, 41	pm2.61dane 3022	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3055   ⊆ wss 3853  ∅c0 4221   class class class wbr 5040  ‘cfv 6349  ℝcr 10626   < clt 10765   ≤ cle 10766  ℤcz 12074  ℤ_≥cuz 12336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337

This theorem is referenced by:  dgrcl  24994  dgrub  24995  dgrlb  24997  oddpwdc  31903