MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsupss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsupss 12332
Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsupss.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzsupss ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧)   𝑍(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem uzsupss
StepHypRef Expression
1 simpl1 1185 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 12250 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzsupss.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleqr 2928 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀𝑍)
6 ral0 4458 . . . 4 𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦
7 simpr 485 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
87raleqdv 3420 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦))
96, 8mpbiri 259 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦)
10 eluzle 12248 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑦)
11 eluzel2 12240 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 eluzelz 12245 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
13 zre 11977 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14 zre 11977 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
15 lenlt 10711 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1613, 14, 15syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1711, 12, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
1810, 17mpbid 233 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑦 < 𝑀)
1918, 4eleq2s 2935 . . . . . 6 (𝑦𝑍 → ¬ 𝑦 < 𝑀)
2019pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑦𝑍 → (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
2120rgen 3152 . . . 4 𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
2221a1i 11 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
23 breq1 5065 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 < 𝑦𝑀 < 𝑦))
2423notbid 319 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑀 < 𝑦))
2524ralbidv 3201 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦))
26 breq2 5066 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 𝑀))
2726imbi1d 343 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2827ralbidv 3201 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2925, 28anbi12d 630 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
3029rspcev 3626 . . 3 ((𝑀𝑍 ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
315, 9, 22, 30syl12anc 834 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
32 simpl2 1186 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑍)
33 uzssz 12256 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
344, 33eqsstri 4004 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
3532, 34syl6ss 3982 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
36 simpr 485 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
37 simpl3 1187 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
38 zsupss 12329 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1365 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
40 ssrexv 4037 . . 3 (𝐴𝑍 → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
4132, 39, 40sylc 65 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4231, 41pm2.61dane 3108 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝑍 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  wss 3939  c0 4294   class class class wbr 5062  cfv 6351  cr 10528   < clt 10667  cle 10668  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  dgrcl  24738  dgrub  24739  dgrlb  24741  oddpwdc  31498
  Copyright terms: Public domain W3C validator