Theorem uzsupss 12928

Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsupss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsupss	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧)   𝑍(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem uzsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12841	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzsupss.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2842	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		ral0 4511	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦
7		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8	7	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦))
9	6, 8	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦)
10		eluzle 12839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑦)
11		eluzel2 12831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		eluzelz 12836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
13		zre 12566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 12566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
15		lenlt 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
16	13, 14, 15	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
17	11, 12, 16	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
18	10, 17	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑦 < 𝑀)
19	18, 4	eleq2s 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → ¬ 𝑦 < 𝑀)
20	19	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
21	20	rgen 3061	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
23		breq1 5150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑀 < 𝑦))
24	23	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑀 < 𝑦))
25	24	ralbidv 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦))
26		breq2 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑀))
27	26	imbi1d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
28	27	ralbidv 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
29	25, 28	anbi12d 629	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
30	29	rspcev 3611	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
31	5, 9, 22, 30	syl12anc 833	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
32		simpl2 1190	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
33		uzssz 12847	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
34	4, 33	eqsstri 4015	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
35	32, 34	sstrdi 3993	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
36		simpr 483	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
37		simpl3 1191	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
38		zsupss 12925	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
40		ssrexv 4050	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑍 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
41	32, 39, 40	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
42	31, 41	pm2.61dane 3027	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827

This theorem is referenced by:  dgrcl  25982  dgrub  25983  dgrlb  25985  oddpwdc  33651