Theorem uzsupss 12885

Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsupss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsupss	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧)   𝑍(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem uzsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12798	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzsupss.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2852	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		ral0 4429	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦
7		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8	7	raleqdv 3299	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦))
9	6, 8	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦)
10		eluzle 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑦)
11		eluzel2 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		eluzelz 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
13		zre 12523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 12523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
15		lenlt 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
16	13, 14, 15	syl2an 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
17	11, 12, 16	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
18	10, 17	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑦 < 𝑀)
19	18, 4	eleq2s 2859	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → ¬ 𝑦 < 𝑀)
20	19	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
21	20	rgen 3057	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
23		breq1 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑀 < 𝑦))
24	23	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑀 < 𝑦))
25	24	ralbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦))
26		breq2 5079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑀))
27	26	imbi1d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
28	27	ralbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
29	25, 28	anbi12d 639	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
30	29	rspcev 3562	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
31	5, 9, 22, 30	syl12anc 843	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
32		simpl2 1200	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
33		uzssz 12804	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
34	4, 33	eqsstri 3963	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
35	32, 34	sstrdi 3929	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
36		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
37		simpl3 1201	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
38		zsupss 12882	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
40		ssrexv 3987	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑍 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
41	32, 39, 40	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
42	31, 41	pm2.61dane 3023	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  ℝcr 11032   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784

This theorem is referenced by:  dgrcl  26220  dgrub  26221  dgrlb  26223  oddpwdc  34550