Theorem uzsupss 13091

Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsupss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsupss	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑧)   𝑍(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem uzsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 13004	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzsupss.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		ral0 4457	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
8	7	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑀 < 𝑦))
9	6, 8	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦)
10		eluzle 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑦)
11		eluzel2 12994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		eluzelz 12999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑦 ∈ ℤ)
13		zre 12721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 12721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
15		lenlt 11412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
16	13, 14, 15	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
17	11, 12, 16	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑀))
18	10, 17	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑦 < 𝑀)
19	18, 4	eleq2s 2882	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → ¬ 𝑦 < 𝑀)
20	19	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 → (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
21	20	rgen 3082	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
23		breq1 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑀 < 𝑦))
24	23	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑀 < 𝑦))
25	24	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦))
26		breq2 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 𝑀))
27	26	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
28	27	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
29	25, 28	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
30	29	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑀 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
31	5, 9, 22, 30	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
32		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
33		uzssz 13010	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
34	4, 33	eqsstri 3959	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
35	32, 34	sstrdi 3925	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℤ)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
37		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
38		zsupss 13088	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
40		ssrexv 3983	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑍 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
41	32, 39, 40	sylc 66	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
42	31, 41	pm2.61dane 3046	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝑍 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑍 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  ℝcr 11223   < clt 11367   ≤ cle 11368  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990

This theorem is used by:  dgrcl  26579  dgrub  26580  dgrlb  26582  oddpwdc  35053