Theorem eluz2b3 12972

Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2". (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2b3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))

Proof of Theorem eluz2b3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b2 12971	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
2		nngt1ne1 12290	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 1))
3	2	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
4	1, 3	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  1c1 11126   < clt 11268  ℕcn 12258  2c2 12320  ℤ_≥cuz 12888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889

This theorem is used by:  1nuz2  12974  elnn1uz2  12975  nn01to3  12991  relexpuzrel  15126  nno  16473  ncoprmgcdne1b  16741  isprm2  16773  isprm4  16775  rpexp  16814  dfphi2  16866  dvdsprmpweqnn  16978  expnprm  16995  prmirredlem  21686  domnchr  21746  ovolicc1  25745  logbgcd1irr  27032  musum  27428  lgsne0  27572  2sqlem8a  27662  2sqlem8  27663  2sqlem9  27664  2sqcoprm  27672  frgrregord013  30876  cos9thpiminplylem2  34294  ballotlemic  35019  ballotlem1c  35020  signstfveq0a  35085  subfacp1lem3  35762  stoweidlem14  46843  lighneallem3  48511  lighneallem4  48514  eluz2cnn0n1  49442