MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz2b3 12314
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))

Proof of Theorem eluz2b3
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 12313 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
2 nngt1ne1 11658 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1 < 𝑁𝑁 ≠ 1))
32pm5.32i 575 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
41, 3bitri 276 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  wcel 2106  wne 3020   class class class wbr 5062  cfv 6351  1c1 10530   < clt 10667  cn 11630  2c2 11684  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  1nuz2  12316  elnn1uz2  12317  nn01to3  12333  relexpuzrel  14404  nno  15725  ncoprmgcdne1b  15986  isprm2  16018  isprm4  16020  rpexp  16056  dfphi2  16103  dvdsprmpweqnn  16213  expnprm  16230  prmirredlem  20556  domnchr  20595  ovolicc1  24032  logbgcd1irr  25285  musum  25682  lgsne0  25825  2sqlem8a  25915  2sqlem8  25916  2sqlem9  25917  2sqcoprm  25925  frgrregord013  28089  ballotlemic  31651  ballotlem1c  31652  signstfveq0a  31733  subfacp1lem3  32314  stoweidlem14  42162  lighneallem3  43601  lighneallem4  43604  eluz2cnn0n1  44395
  Copyright terms: Public domain W3C validator