Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0mnd 47292
Description: The set of nonnegative integers under (complex) addition is a monoid. Example in [Lang] p. 6. Remark: 𝑀 could have also been written as (β„‚fld β†Ύs β„•0). (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0mnd.g 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), β„•0⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩}
Assertion
Ref Expression
nn0mnd 𝑀 ∈ Mnd

Proof of Theorem nn0mnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12543 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0)
2 nn0cn 12518 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3 nn0cn 12518 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4 nn0cn 12518 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„•0 β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
52, 3, 43anim123i 1148 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚))
653expa 1115 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚))
7 addass 11231 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
98ralrimiva 3142 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
101, 9jca 510 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧))))
1110rgen2 3193 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 ((π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
12 c0ex 11244 . . . . 5 0 ∈ V
13 eleq1 2816 . . . . . 6 (𝑒 = 0 β†’ (𝑒 ∈ β„•0 ↔ 0 ∈ β„•0))
14 oveq1 7431 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 0 β†’ (𝑒 + π‘₯) = (0 + π‘₯))
1514eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (𝑒 = 0 β†’ ((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ↔ (0 + π‘₯) = π‘₯))
16 oveq2 7432 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 0 β†’ (π‘₯ + 𝑒) = (π‘₯ + 0))
1716eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (𝑒 = 0 β†’ ((π‘₯ + 𝑒) = π‘₯ ↔ (π‘₯ + 0) = π‘₯))
1815, 17anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑒 = 0 β†’ (((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 𝑒) = π‘₯) ↔ ((0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0) = π‘₯)))
1918ralbidv 3173 . . . . . 6 (𝑒 = 0 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 𝑒) = π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0) = π‘₯)))
2013, 19anbi12d 630 . . . . 5 (𝑒 = 0 β†’ ((𝑒 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 𝑒) = π‘₯)) ↔ (0 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0) = π‘₯))))
21 0nn0 12523 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
222addlidd 11451 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
232addridd 11450 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ + 0) = π‘₯)
2422, 23jca 510 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ((0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0) = π‘₯))
2524rgen 3059 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0) = π‘₯)
2621, 25pm3.2i 469 . . . . 5 (0 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0) = π‘₯))
2712, 20, 26ceqsexv2d 3526 . . . 4 βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 𝑒) = π‘₯))
28 df-rex 3067 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 𝑒) = π‘₯) ↔ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 𝑒) = π‘₯)))
2927, 28mpbir 230 . . 3 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 𝑒) = π‘₯)
3011, 29pm3.2i 469 . 2 (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 ((π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧))) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 𝑒) = π‘₯))
31 nn0ex 12514 . . . 4 β„•0 ∈ V
32 nn0mnd.g . . . . 5 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), β„•0⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩}
3332grpbase 17272 . . . 4 (β„•0 ∈ V β†’ β„•0 = (Baseβ€˜π‘€))
3431, 33ax-mp 5 . . 3 β„•0 = (Baseβ€˜π‘€)
35 addex 13009 . . . 4 + ∈ V
3632grpplusg 17274 . . . 4 ( + ∈ V β†’ + = (+gβ€˜π‘€))
3735, 36ax-mp 5 . . 3 + = (+gβ€˜π‘€)
3834, 37ismnd 18702 . 2 (𝑀 ∈ Mnd ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 ((π‘₯ + 𝑦) ∈ β„•0 ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧))) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((𝑒 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 𝑒) = π‘₯)))
3930, 38mpbir 230 1 𝑀 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066  Vcvv 3471  {cpr 4632  βŸ¨cop 4636  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„‚cc 11142  0cc0 11144   + caddc 11147  β„•0cn0 12508  ndxcnx 17167  Basecbs 17185  +gcplusg 17238  Mndcmnd 18699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator