Theorem nn0mnd 49094

Description: The set of nonnegative integers under (complex) addition is a monoid. Example in [Lang] p. 6. Remark: 𝑀 could have also been written as (ℂ_fld ↾_s ℕ₀). (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0mnd.g	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
nn0mnd	⊢ 𝑀 ∈ Mnd

Proof of Theorem nn0mnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12563	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2		nn0cn 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
3		nn0cn 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
4		nn0cn 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	3anim123i 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
6	5	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
7		addass 11211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	8	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10	1, 9	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
11	10	rgen2 3202	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12		c0ex 11224	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
13		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
14		oveq1 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
15	14	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
16		oveq2 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑥 + 𝑒) = (𝑥 + 0))
17	16	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑥 + 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 0) = 𝑥))
18	15, 17	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 0 → (((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
19	18	ralbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
20	13, 19	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))))
21		0nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	2	addlidd 11435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 + 𝑥) = 𝑥)
23	2	addridd 11434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
24	22, 23	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
25	24	rgen 3078	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)
26	21, 25	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
27	12, 20, 26	ceqsexv2d 3499	. . . 4 ⊢ ∃𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
28		df-rex 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
29	27, 28	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)
30	11, 29	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
31		nn0ex 12534	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
32		nn0mnd.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
33	32	grpbase 17374	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ℕ0 = (Base‘𝑀))
34	31, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑀)
35		addex 13039	. . . 4 ⊢ + ∈ V
36	32	grpplusg 17375	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝑀))
37	35, 36	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
38	34, 37	ismnd 18839	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
39	30, 38	mpbir 234	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mnd

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124   + caddc 11127  ℕ₀cn0 12528  ndxcnx 17285  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Mndcmnd 18836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837

This theorem is used by: (None)