Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0mnd 47213
Description: The set of nonnegative integers under (complex) addition is a monoid. Example in [Lang] p. 6. Remark: 𝑀 could have also been written as (ℂflds0). (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0mnd.g 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
Assertion
Ref Expression
nn0mnd 𝑀 ∈ Mnd

Proof of Theorem nn0mnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12531 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2 nn0cn 12506 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
3 nn0cn 12506 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
4 nn0cn 12506 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℂ)
52, 3, 43anim123i 1149 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
653expa 1116 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
7 addass 11219 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
98ralrimiva 3141 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
101, 9jca 511 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
1110rgen2 3192 . . 3 𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12 c0ex 11232 . . . . 5 0 ∈ V
13 eleq1 2816 . . . . . 6 (𝑒 = 0 → (𝑒 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
14 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 0 → (𝑒 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
1514eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (𝑒 = 0 → ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
16 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 0 → (𝑥 + 𝑒) = (𝑥 + 0))
1716eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (𝑒 = 0 → ((𝑥 + 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 0) = 𝑥))
1815, 17anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑒 = 0 → (((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
1918ralbidv 3172 . . . . . 6 (𝑒 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
2013, 19anbi12d 630 . . . . 5 (𝑒 = 0 → ((𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))))
21 0nn0 12511 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
222addlidd 11439 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 + 𝑥) = 𝑥)
232addridd 11438 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
2422, 23jca 511 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
2524rgen 3058 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)
2621, 25pm3.2i 470 . . . . 5 (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
2712, 20, 26ceqsexv2d 3524 . . . 4 𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
28 df-rex 3066 . . . 4 (∃𝑒 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
2927, 28mpbir 230 . . 3 𝑒 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)
3011, 29pm3.2i 470 . 2 (∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
31 nn0ex 12502 . . . 4 0 ∈ V
32 nn0mnd.g . . . . 5 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
3332grpbase 17260 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → ℕ0 = (Base‘𝑀))
3431, 33ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘𝑀)
35 addex 12997 . . . 4 + ∈ V
3632grpplusg 17262 . . . 4 ( + ∈ V → + = (+g𝑀))
3735, 36ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑀)
3834, 37ismnd 18690 . 2 (𝑀 ∈ Mnd ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
3930, 38mpbir 230 1 𝑀 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  Vcvv 3469  {cpr 4626  cop 4630  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11130  0cc0 11132   + caddc 11135  0cn0 12496  ndxcnx 17155  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  Mndcmnd 18687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-addf 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator