Theorem nn0mnd 48539

Description: The set of nonnegative integers under (complex) addition is a monoid. Example in [Lang] p. 6. Remark: 𝑀 could have also been written as (ℂ_fld ↾_s ℕ₀). (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0mnd.g	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
nn0mnd	⊢ 𝑀 ∈ Mnd

Proof of Theorem nn0mnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12448	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2		nn0cn 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
3		nn0cn 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
4		nn0cn 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	3anim123i 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
6	5	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
7		addass 11125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	8	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10	1, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
11	10	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12		c0ex 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
13		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
14		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
15	14	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
16		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑥 + 𝑒) = (𝑥 + 0))
17	16	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑥 + 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 0) = 𝑥))
18	15, 17	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 0 → (((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
19	18	ralbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
20	13, 19	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))))
21		0nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	2	addlidd 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 + 𝑥) = 𝑥)
23	2	addridd 11345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
24	22, 23	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
25	24	rgen 3054	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)
26	21, 25	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
27	12, 20, 26	ceqsexv2d 3493	. . . 4 ⊢ ∃𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
28		df-rex 3063	. . . 4 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
29	27, 28	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)
30	11, 29	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
31		nn0ex 12419	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
32		nn0mnd.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
33	32	grpbase 17221	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ℕ0 = (Base‘𝑀))
34	31, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑀)
35		addex 12914	. . . 4 ⊢ + ∈ V
36	32	grpplusg 17222	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝑀))
37	35, 36	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
38	34, 37	ismnd 18674	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
39	30, 38	mpbir 231	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mnd

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12413  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Mndcmnd 18671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672

This theorem is referenced by: (None)