Theorem nn0mnd 49001

Description: The set of nonnegative integers under (complex) addition is a monoid. Example in [Lang] p. 6. Remark: 𝑀 could have also been written as (ℂ_fld ↾_s ℕ₀). (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0mnd.g	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
nn0mnd	⊢ 𝑀 ∈ Mnd

Proof of Theorem nn0mnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12554	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2		nn0cn 12529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
3		nn0cn 12529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
4		nn0cn 12529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	3anim123i 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
6	5	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
7		addass 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	8	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10	1, 9	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
11	10	rgen2 3207	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12		c0ex 11215	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
13		eleq1 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
14		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
15	14	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
16		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑥 + 𝑒) = (𝑥 + 0))
17	16	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑥 + 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 0) = 𝑥))
18	15, 17	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 0 → (((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
19	18	ralbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
20	13, 19	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))))
21		0nn0 12534	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	2	addlidd 11426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 + 𝑥) = 𝑥)
23	2	addridd 11425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
24	22, 23	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
25	24	rgen 3083	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)
26	21, 25	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
27	12, 20, 26	ceqsexv2d 3506	. . . 4 ⊢ ∃𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
28		df-rex 3092	. . . 4 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
29	27, 28	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)
30	11, 29	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
31		nn0ex 12525	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
32		nn0mnd.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
33	32	grpbase 17364	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ℕ0 = (Base‘𝑀))
34	31, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑀)
35		addex 13029	. . . 4 ⊢ + ∈ V
36	32	grpplusg 17365	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝑀))
37	35, 36	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
38	34, 37	ismnd 18827	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
39	30, 38	mpbir 234	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mnd

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   + caddc 11118  ℕ₀cn0 12519  ndxcnx 17275  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  Mndcmnd 18824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825

This theorem is used by: (None)