Theorem nn0mnd 45261

Description: The set of nonnegative integers under (complex) addition is a monoid. Example in [Lang] p. 6. Remark: 𝑀 could have also been written as (ℂ_fld ↾_s ℕ₀). (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0mnd.g	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
nn0mnd	⊢ 𝑀 ∈ Mnd

Proof of Theorem nn0mnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12198	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
2		nn0cn 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
3		nn0cn 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
4		nn0cn 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	3anim123i 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
6	5	3expa 1116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
7		addass 10889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9	8	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10	1, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
11	10	rgen2 3126	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12		c0ex 10900	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
13		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
14		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
15	14	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
16		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑥 + 𝑒) = (𝑥 + 0))
17	16	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑥 + 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 0) = 𝑥))
18	15, 17	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 0 → (((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
19	18	ralbidv 3120	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)))
20	13, 19	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))))
21		0nn0 12178	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	2	addid2d 11106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (0 + 𝑥) = 𝑥)
23	2	addid1d 11105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
24	22, 23	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
25	24	rgen 3073	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥)
26	21, 25	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
27	12, 20, 26	ceqsexv2d 3471	. . . 4 ⊢ ∃𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
28		df-rex 3069	. . . 4 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
29	27, 28	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)
30	11, 29	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
31		nn0ex 12169	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
32		nn0mnd.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), ℕ0⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
33	32	grpbase 16922	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ℕ0 = (Base‘𝑀))
34	31, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑀)
35		addex 12657	. . . 4 ⊢ + ∈ V
36	32	grpplusg 16924	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝑀))
37	35, 36	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
38	34, 37	ismnd 18303	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd ↔ (∀𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
39	30, 38	mpbir 230	1 ⊢ 𝑀 ∈ Mnd

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Mndcmnd 18300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301

This theorem is referenced by: (None)