Theorem gsumsplit2f 47155

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit2f.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumsplit2f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2f.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit2f.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit2f.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2f.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit2f.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumsplit2f.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2f.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit2f.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit2f	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit2f.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit2f.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumsplit2f.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumsplit2f.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsplit2f.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsplit2f.n	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		gsumsplit2f.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
9	6, 7, 8	fmptdf 7121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐵)
10		gsumsplit2f.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
11		gsumsplit2f.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
12		gsumsplit2f.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
13	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12	gsumsplit 19867	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))))
14		ssun1 4168	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
15	14, 12	sseqtrrid 4031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
16	15	resmptd 6038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
17	16	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
18		ssun2 4169	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
19	18, 12	sseqtrrid 4031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
20	19	resmptd 6038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))
21	20	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋)))
22	17, 21	oveq12d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))
23	13, 22	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3942   ∩ cin 3943  ∅c0 4318   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   finSupp cfsupp 9375  Basecbs 17165  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17406   Σ_g cgsu 17407  CMndccmn 19719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-cntz 19252  df-cmn 19721

This theorem is referenced by:  gsumdifsndf  47156