Theorem gsumsplit2f 42712

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit2f.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumsplit2f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2f.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit2f.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit2f.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2f.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit2f.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumsplit2f.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2f.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit2f.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit2f	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit2f.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit2f.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumsplit2f.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumsplit2f.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsplit2f.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsplit2f.n	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		gsumsplit2f.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		eqid 2813	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
9	6, 7, 8	fmptdf 6612	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐵)
10		gsumsplit2f.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
11		gsumsplit2f.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
12		gsumsplit2f.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
13	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12	gsumsplit 18532	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))))
14		ssun1 3982	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
15	14, 12	syl5sseqr 3858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
16	15	resmptd 5664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
17	16	oveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
18		ssun2 3983	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
19	18, 12	syl5sseqr 3858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
20	19	resmptd 5664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))
21	20	oveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋)))
22	17, 21	oveq12d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))
23	13, 22	eqtrd 2847	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1637  Ⅎwnf 1863   ∈ wcel 2157   ∪ cun 3774   ∩ cin 3775  ∅c0 4123   class class class wbr 4851   ↦ cmpt 4930   ↾ cres 5320  ‘cfv 6104  (class class class)co 6877   finSupp cfsupp 8517  Basecbs 16071  +_gcplusg 16156  0_gc0g 16308   Σ_g cgsu 16309  CMndccmn 18397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-seq 13028  df-hash 13341  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-cntz 17954  df-cmn 18399

This theorem is referenced by:  gsumdifsndf  42713