Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumsplit2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsplit2f 43921
 Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit2f.n 𝑘𝜑
gsumsplit2f.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2f.z 0 = (0g𝐺)
gsumsplit2f.p + = (+g𝐺)
gsumsplit2f.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2f.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsplit2f.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumsplit2f.w (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2f.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
gsumsplit2f.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumsplit2f (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2f
StepHypRef Expression
1 gsumsplit2f.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsplit2f.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumsplit2f.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 gsumsplit2f.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsumsplit2f.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 gsumsplit2f.n . . . 4 𝑘𝜑
7 gsumsplit2f.f . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
8 eqid 2825 . . . 4 (𝑘𝐴𝑋) = (𝑘𝐴𝑋)
96, 7, 8fmptdf 6876 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋):𝐴𝐵)
10 gsumsplit2f.w . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
11 gsumsplit2f.i . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
12 gsumsplit2f.u . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
131, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12gsumsplit 18970 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷))))
14 ssun1 4151 . . . . . 6 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
1514, 12sseqtrrid 4023 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
1615resmptd 5906 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶𝑋))
1716oveq2d 7167 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))
18 ssun2 4152 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1918, 12sseqtrrid 4023 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐴)
2019resmptd 5906 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷𝑋))
2120oveq2d 7167 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋)))
2217, 21oveq12d 7169 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
2313, 22eqtrd 2860 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3937   ∩ cin 3938  ∅c0 4294   class class class wbr 5062   ↦ cmpt 5142   ↾ cres 5555  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   finSupp cfsupp 8825  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  CMndccmn 18828 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-cntz 18379  df-cmn 18830 This theorem is referenced by:  gsumdifsndf  43922
 Copyright terms: Public domain W3C validator