Theorem numclwwlk2lem3 30900

Description: In a friendship graph, the size of the set of walks of length 𝑁 starting with a fixed vertex 𝑋 and ending not at this vertex equals the size of the set of all closed walks of length (𝑁 + 2) starting at this vertex 𝑋 and not having this vertex as last but 2 vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk2lem3	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑋𝑄𝑁)) = (♯‘(𝑋𝐻(𝑁 + 2))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐻(𝑤, 𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk2lem3

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7444	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ∈ V)
2		numclwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		numclwwlk.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
4		numclwwlk.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (ℎ prefix (𝑁 + 1))) = (ℎ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (ℎ prefix (𝑁 + 1)))
6	2, 3, 4, 5	numclwlk2lem2f1o 30899	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (ℎ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (ℎ prefix (𝑁 + 1))):(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))
7	1, 6	hasheqf1od 14450	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑋𝐻(𝑁 + 2))) = (♯‘(𝑋𝑄𝑁)))
8	7	eqcomd 2766	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑋𝑄𝑁)) = (♯‘(𝑋𝐻(𝑁 + 2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   − cmin 11498  ℕcn 12290  2c2 12352  ℤ_≥cuz 12920  ♯chash 14427  lastSclsw 14660   prefix cpfx 14773  Vtxcvtx 29493   WWalksN cwwlksn 30334  ClWWalksNOncclwwlknon 30597   FriendGraph cfrgr 30778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-hash 14428  df-word 14612  df-lsw 14661  df-concat 14669  df-s1 14696  df-substr 14742  df-pfx 14774  df-wwlks 30338  df-wwlksn 30339  df-clwwlk 30492  df-clwwlkn 30535  df-clwwlknon 30598  df-frgr 30779

This theorem is used by:  numclwwlk2  30901