Theorem numclwwlk2lem3 30229

Description: In a friendship graph, the size of the set of walks of length 𝑁 starting with a fixed vertex 𝑋 and ending not at this vertex equals the size of the set of all closed walks of length (𝑁 + 2) starting at this vertex 𝑋 and not having this vertex as last but 2 vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk2lem3	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑋𝑄𝑁)) = (♯‘(𝑋𝐻(𝑁 + 2))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk2lem3

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7448	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ∈ V)
2		numclwwlk.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		numclwwlk.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
4		numclwwlk.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
5		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (ℎ prefix (𝑁 + 1))) = (ℎ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (ℎ prefix (𝑁 + 1)))
6	2, 3, 4, 5	numclwlk2lem2f1o 30228	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (ℎ ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (ℎ prefix (𝑁 + 1))):(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))
7	1, 6	hasheqf1od 14339	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑋𝐻(𝑁 + 2))) = (♯‘(𝑋𝑄𝑁)))
8	7	eqcomd 2731	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑋𝑄𝑁)) = (♯‘(𝑋𝐻(𝑁 + 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  {crab 3419  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   − cmin 11469  ℕcn 12237  2c2 12292  ℤ_≥cuz 12847  ♯chash 14316  lastSclsw 14539   prefix cpfx 14647  Vtxcvtx 28848   WWalksN cwwlksn 29676  ClWWalksNOncclwwlknon 29936   FriendGraph cfrgr 30107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-lsw 14540  df-concat 14548  df-s1 14573  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-wwlks 29680  df-wwlksn 29681  df-clwwlk 29831  df-clwwlkn 29874  df-clwwlknon 29937  df-frgr 30108

This theorem is referenced by:  numclwwlk2  30230