MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk2lem3 30177
Description: In a friendship graph, the size of the set of walks of length 𝑁 starting with a fixed vertex 𝑋 and ending not at this vertex equals the size of the set of all closed walks of length (𝑁 + 2) starting at this vertex 𝑋 and not having this vertex as last but 2 vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑀 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑣 ∧ (lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk2lem3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑋𝑄𝑁)) = (β™―β€˜(𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑀   𝑛,𝑁,𝑣,𝑀   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑀   𝑀,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑀,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑀,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk2lem3
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7449 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ∈ V)
2 numclwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 numclwwlk.q . . . 4 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑀 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑣 ∧ (lastSβ€˜π‘€) β‰  𝑣)})
4 numclwwlk.h . . . 4 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
5 eqid 2727 . . . 4 (β„Ž ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (β„Ž prefix (𝑁 + 1))) = (β„Ž ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (β„Ž prefix (𝑁 + 1)))
62, 3, 4, 5numclwlk2lem2f1o 30176 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β„Ž ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (β„Ž prefix (𝑁 + 1))):(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-ontoβ†’(𝑋𝑄𝑁))
71, 6hasheqf1od 14336 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑋𝐻(𝑁 + 2))) = (β™―β€˜(𝑋𝑄𝑁)))
87eqcomd 2733 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(𝑋𝑄𝑁)) = (β™―β€˜(𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  {crab 3427  Vcvv 3469   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   βˆ’ cmin 11466  β„•cn 12234  2c2 12289  β„€β‰₯cuz 12844  β™―chash 14313  lastSclsw 14536   prefix cpfx 14644  Vtxcvtx 28796   WWalksN cwwlksn 29624  ClWWalksNOncclwwlknon 29884   FriendGraph cfrgr 30055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-concat 14545  df-s1 14570  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-wwlks 29628  df-wwlksn 29629  df-clwwlk 29779  df-clwwlkn 29822  df-clwwlknon 29885  df-frgr 30056
This theorem is referenced by:  numclwwlk2  30178
  Copyright terms: Public domain W3C validator