Theorem prmuz2 16819

Description: A prime number is an integer greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmuz2	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))

Proof of Theorem prmuz2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm4 16807	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑥 ∥ 𝑃 → 𝑥 = 𝑃)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  2c2 12352  ℤ_≥cuz 12920   ∥ cdvds 16375  ℙcprime 16794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-dvds 16376  df-prm 16795

This theorem is used by:  prmssuz2  16820  prmgt1  16821  prmm2nn0  16822  oddprmgt2  16823  sqnprm  16826  isprm5  16831  isprm7  16832  prmrp  16836  isprm6  16838  prmdvdsexpb  16840  prmdvdsncoprmbd  16851  prmdiv  16909  prmdiveq  16910  modprm1div  16922  oddprm  16935  pcpremul  16968  pceulem  16970  pczpre  16972  pczcl  16973  pc1  16980  pczdvds  16988  pczndvds  16990  pczndvds2  16992  pcidlem  16997  pcmpt  17017  pcfaclem  17023  pcfac  17024  pockthlem  17030  pockthg  17031  prmunb  17039  prmreclem2  17042  prmgapprmolem  17186  odcau  19765  sylow3lem6  19793  gexexlem  20013  znfld  21813  logbprmirr  27073  wilthlem1  27344  wilthlem3  27346  wilth  27347  ppisval  27380  ppisval2  27381  chtge0  27388  isppw  27390  ppiprm  27427  chtprm  27429  chtwordi  27432  vma1  27442  fsumvma2  27490  chpval2  27494  chpchtsum  27495  chpub  27496  mersenne  27503  perfect1  27504  bposlem1  27560  lgslem1  27573  lgsval2lem  27583  lgsdirprm  27607  lgsne0  27611  lgsqrlem2  27623  gausslemma2dlem0b  27633  gausslemma2dlem4  27645  lgseisenlem1  27651  lgseisenlem3  27653  lgseisen  27655  lgsquadlem3  27658  m1lgs  27664  2sqblem  27707  chtppilimlem1  27749  rplogsumlem2  27761  rpvmasumlem  27763  dchrisum0flblem2  27785  padicabvcxp  27908  ostth3  27914  umgrhashecclwwlk  30588  aks4d1p6  43045  aks6d1c7  43148  fmtnoprmfac1  48566  fmtnoprmfac2lem1  48567  lighneallem2  48607  lighneallem4  48611  gbowgt5  48776  ztprmneprm  49375