MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1addf 24544
Description: The group operation of π1 is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2 (𝜑𝑌𝑋)
pi1addf.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pi1addf (𝜑+ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem pi1addf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
2 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3 fvexd 6902 . . . . . 6 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) ∈ V)
4 ovexd 7438 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
5 elpi1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
6 elpi1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 elpi1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
8 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
9 elpi1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
115, 6, 7, 8, 10, 2pi1blem 24536 . . . . . . 7 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
1211simpld 496 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
131, 2, 3, 4, 12qusin 17485 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
145, 6, 7, 8pi1val 24534 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
155, 6, 7, 8, 10, 2pi1buni 24537 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
1615sqxpeqd 5706 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
1716ineq2d 4210 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
1817oveq2d 7419 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
1913, 14, 183eqtr4d 2783 . . . 4 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
20 phtpcer 24492 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
2211simprd 497 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
2315, 22eqsstrd 4018 . . . . 5 (𝜑 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
2421, 23erinxp 8780 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) Er 𝐵)
25 eqid 2733 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
26 eqid 2733 . . . . 5 (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
275, 6, 7, 10, 25, 8, 26pi1cpbl 24541 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
286adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
297adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑌𝑋)
308, 28, 29om1plusg 24531 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3130oveqd 7420 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
3215adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
33 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑐 𝐵)
34 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑑 𝐵)
358, 28, 29, 32, 33, 34om1addcl 24530 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) ∈ 𝐵)
3631, 35eqeltrrd 2835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ 𝐵)
37 pi1addf.p . . . 4 + = (+g𝐺)
3819, 15, 24, 4, 27, 36, 26, 37qusaddf 17495 . . 3 (𝜑+ :(( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) × ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
395, 6, 7, 10, 25pi1bas3 24540 . . . . 5 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
4039sqxpeqd 5706 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = (( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) × ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))))
4140feq2d 6699 . . 3 (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) ↔ + :(( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) × ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))))
4238, 41mpbird 257 . 2 (𝜑+ :(𝐵 × 𝐵)⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
4339feq3d 6700 . 2 (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵+ :(𝐵 × 𝐵)⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))))
4442, 43mpbird 257 1 (𝜑+ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cin 3945  wss 3946   cuni 4906   × cxp 5672  cima 5677  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403   Er wer 8695   / cqs 8697  Basecbs 17139  +gcplusg 17192   /s cqus 17446  TopOnctopon 22393   Cn ccn 22709  IIcii 24372  phcphtpc 24466  *𝑝cpco 24497   Ω1 comi 24498   π1 cpi1 24500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8698  df-ec 8700  df-qs 8704  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-ioo 13323  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-qus 17450  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-mulg 18944  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cld 22504  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-xms 23807  df-ms 23808  df-tms 23809  df-ii 24374  df-htpy 24467  df-phtpy 24468  df-phtpc 24489  df-pco 24502  df-om1 24503  df-pi1 24505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator