MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1addf 23655
Description: The group operation of π1 is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2 (𝜑𝑌𝑋)
pi1addf.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pi1addf (𝜑+ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem pi1addf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2802 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
2 eqidd 2802 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3 fvexd 6664 . . . . . 6 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) ∈ V)
4 ovexd 7174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
5 elpi1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
6 elpi1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 elpi1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
8 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
9 elpi1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
115, 6, 7, 8, 10, 2pi1blem 23647 . . . . . . 7 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
1211simpld 498 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
131, 2, 3, 4, 12qusin 16812 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
145, 6, 7, 8pi1val 23645 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
155, 6, 7, 8, 10, 2pi1buni 23648 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
1615sqxpeqd 5555 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
1716ineq2d 4142 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
1817oveq2d 7155 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
1913, 14, 183eqtr4d 2846 . . . 4 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
20 phtpcer 23603 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
2211simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
2315, 22eqsstrd 3956 . . . . 5 (𝜑 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
2421, 23erinxp 8358 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) Er 𝐵)
25 eqid 2801 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
26 eqid 2801 . . . . 5 (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
275, 6, 7, 10, 25, 8, 26pi1cpbl 23652 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
286adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
297adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑌𝑋)
308, 28, 29om1plusg 23642 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3130oveqd 7156 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
3215adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
33 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑐 𝐵)
34 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑑 𝐵)
358, 28, 29, 32, 33, 34om1addcl 23641 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) ∈ 𝐵)
3631, 35eqeltrrd 2894 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ 𝐵)
37 pi1addf.p . . . 4 + = (+g𝐺)
3819, 15, 24, 4, 27, 36, 26, 37qusaddf 16822 . . 3 (𝜑+ :(( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) × ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
395, 6, 7, 10, 25pi1bas3 23651 . . . . 5 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
4039sqxpeqd 5555 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = (( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) × ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))))
4140feq2d 6477 . . 3 (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) ↔ + :(( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) × ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))))
4238, 41mpbird 260 . 2 (𝜑+ :(𝐵 × 𝐵)⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
4339feq3d 6478 . 2 (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵+ :(𝐵 × 𝐵)⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))))
4442, 43mpbird 260 1 (𝜑+ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  cin 3883  wss 3884   cuni 4803   × cxp 5521  cima 5526  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139   Er wer 8273   / cqs 8275  Basecbs 16478  +gcplusg 16560   /s cqus 16773  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832  IIcii 23483  phcphtpc 23577  *𝑝cpco 23608   Ω1 comi 23609   π1 cpi1 23611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-qus 16777  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-ii 23485  df-htpy 23578  df-phtpy 23579  df-phtpc 23600  df-pco 23613  df-om1 23614  df-pi1 23616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator