MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1addf 25094
Description: The group operation of π1 is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2 (𝜑𝑌𝑋)
pi1addf.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pi1addf (𝜑+ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem pi1addf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
2 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3 fvexd 6922 . . . . . 6 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) ∈ V)
4 ovexd 7466 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
5 elpi1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
6 elpi1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 elpi1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
8 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
9 elpi1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
115, 6, 7, 8, 10, 2pi1blem 25086 . . . . . . 7 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
1211simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
131, 2, 3, 4, 12qusin 17591 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
145, 6, 7, 8pi1val 25084 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph𝐽)))
155, 6, 7, 8, 10, 2pi1buni 25087 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
1615sqxpeqd 5721 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
1716ineq2d 4228 . . . . . 6 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
1817oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
1913, 14, 183eqtr4d 2785 . . . 4 (𝜑𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
20 phtpcer 25041 . . . . . 6 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
2211simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
2315, 22eqsstrd 4034 . . . . 5 (𝜑 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
2421, 23erinxp 8830 . . . 4 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) Er 𝐵)
25 eqid 2735 . . . . 5 (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)) = (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))
26 eqid 2735 . . . . 5 (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
275, 6, 7, 10, 25, 8, 26pi1cpbl 25091 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑐𝑏(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
286adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
297adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑌𝑋)
308, 28, 29om1plusg 25081 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (*𝑝𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3130oveqd 7448 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
3215adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
33 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑐 𝐵)
34 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → 𝑑 𝐵)
358, 28, 29, 32, 33, 34om1addcl 25080 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(*𝑝𝐽)𝑑) ∈ 𝐵)
3631, 35eqeltrrd 2840 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 𝐵𝑑 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ 𝐵)
37 pi1addf.p . . . 4 + = (+g𝐺)
3819, 15, 24, 4, 27, 36, 26, 37qusaddf 17601 . . 3 (𝜑+ :(( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) × ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
395, 6, 7, 10, 25pi1bas3 25090 . . . . 5 (𝜑𝐵 = ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
4039sqxpeqd 5721 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = (( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) × ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))))
4140feq2d 6723 . . 3 (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) ↔ + :(( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))) × ( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))))
4238, 41mpbird 257 . 2 (𝜑+ :(𝐵 × 𝐵)⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵))))
4339feq3d 6724 . 2 (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵+ :(𝐵 × 𝐵)⟶( 𝐵 / (( ≃ph𝐽) ∩ ( 𝐵 × 𝐵)))))
4442, 43mpbird 257 1 (𝜑+ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963   cuni 4912   × cxp 5687  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741   / cqs 8743  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   /s cqus 17552  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248  IIcii 24915  phcphtpc 25015  *𝑝cpco 25047   Ω1 comi 25048   π1 cpi1 25050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-qus 17556  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-ii 24917  df-htpy 25016  df-phtpy 25017  df-phtpc 25038  df-pco 25052  df-om1 25053  df-pi1 25055
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator