MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1addf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1addf 24787
Description: The group operation of Ο€1 is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elpi1.g 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
elpi1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
elpi1.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
elpi1.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
pi1addf.p + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
pi1addf (πœ‘ β†’ + :(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)

Proof of Theorem pi1addf
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)) = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)))
2 eqidd 2733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
3 fvexd 6906 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) ∈ V)
4 ovexd 7446 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) ∈ V)
5 elpi1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
6 elpi1.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
7 elpi1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
8 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝐽 Ξ©1 π‘Œ) = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
9 elpi1.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
109a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
115, 6, 7, 8, 10, 2pi1blem 24779 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((( ≃phβ€˜π½) β€œ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))) βŠ† (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) ∧ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) βŠ† (II Cn 𝐽)))
1211simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) β€œ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))) βŠ† (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
131, 2, 3, 4, 12qusin 17494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)) = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ ((Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))))))
145, 6, 7, 8pi1val 24777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s ( ≃phβ€˜π½)))
155, 6, 7, 8, 10, 2pi1buni 24780 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
1615sqxpeqd 5708 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡) = ((Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))))
1716ineq2d 4212 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (( ≃phβ€˜π½) ∩ ((Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))))
1817oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))) = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ ((Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))))))
1913, 14, 183eqtr4d 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝐽 Ξ©1 π‘Œ) /s (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))
20 phtpcer 24735 . . . . . 6 ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽)
2120a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( ≃phβ€˜π½) Er (II Cn 𝐽))
2211simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) βŠ† (II Cn 𝐽))
2315, 22eqsstrd 4020 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐡 βŠ† (II Cn 𝐽))
2421, 23erinxp 8787 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) Er βˆͺ 𝐡)
25 eqid 2732 . . . . 5 (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)) = (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))
26 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))
275, 6, 7, 10, 25, 8, 26pi1cpbl 24784 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑏)(( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))(𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑)))
286adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
297adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
308, 28, 29om1plusg 24774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (*π‘β€˜π½) = (+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
3130oveqd 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) = (𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑))
3215adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ βˆͺ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ)))
33 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡)
34 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)
358, 28, 29, 32, 33, 34om1addcl 24773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑐(*π‘β€˜π½)𝑑) ∈ βˆͺ 𝐡)
3631, 35eqeltrrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ βˆͺ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐡)) β†’ (𝑐(+gβ€˜(𝐽 Ξ©1 π‘Œ))𝑑) ∈ βˆͺ 𝐡)
37 pi1addf.p . . . 4 + = (+gβ€˜πΊ)
3819, 15, 24, 4, 27, 36, 26, 37qusaddf 17504 . . 3 (πœ‘ β†’ + :((βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))) Γ— (βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))⟢(βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))
395, 6, 7, 10, 25pi1bas3 24783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))
4039sqxpeqd 5708 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = ((βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))) Γ— (βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))))
4140feq2d 6703 . . 3 (πœ‘ β†’ ( + :(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))) ↔ + :((βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))) Γ— (βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))⟢(βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))))
4238, 41mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ + :(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡))))
4339feq3d 6704 . 2 (πœ‘ β†’ ( + :(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡 ↔ + :(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(βˆͺ 𝐡 / (( ≃phβ€˜π½) ∩ (βˆͺ 𝐡 Γ— βˆͺ 𝐡)))))
4442, 43mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ + :(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   Er wer 8702   / cqs 8704  Basecbs 17148  +gcplusg 17201   /s cqus 17455  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948  IIcii 24615   ≃phcphtpc 24709  *𝑝cpco 24740   Ξ©1 comi 24741   Ο€1 cpi1 24743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-qus 17459  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-ii 24617  df-htpy 24710  df-phtpy 24711  df-phtpc 24732  df-pco 24745  df-om1 24746  df-pi1 24748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator