Theorem pi1addf 25027

Description: The group operation of π₁ is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1addf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pi1addf	⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem pi1addf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
2		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3		fvexd 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
4		ovexd 7396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
5		elpi1.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
6		elpi1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		elpi1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
9		elpi1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
11	5, 6, 7, 8, 10, 2	pi1blem 25019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
12	11	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
13	1, 2, 3, 4, 12	qusin 17502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
14	5, 6, 7, 8	pi1val 25017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
15	5, 6, 7, 8, 10, 2	pi1buni 25020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16	15	sqxpeqd 5657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
17	16	ineq2d 4161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
18	17	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
19	13, 14, 18	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
20		phtpcer 24975	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
22	11	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
23	15, 22	eqsstrd 3957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
24	21, 23	erinxp 8732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
25		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
27	5, 6, 7, 10, 25, 8, 26	pi1cpbl 25024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
28	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
30	8, 28, 29	om1plusg 25014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
31	30	oveqd 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
32	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
33		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ∪ 𝐵)
34		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)
35	8, 28, 29, 32, 33, 34	om1addcl 25013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
36	31, 35	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
37		pi1addf.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
38	19, 15, 24, 4, 27, 36, 26, 37	qusaddf 17512	. . 3 ⊢ (𝜑 → + :((∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) × (∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
39	5, 6, 7, 10, 25	pi1bas3 25023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
40	39	sqxpeqd 5657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) × (∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))))
41	40	feq2d 6647	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) ↔ + :((∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) × (∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))))
42	38, 41	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
43	39	feq3d 6648	. 2 ⊢ (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ + :(𝐵 × 𝐵)⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))))
44	42, 43	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851   × cxp 5623   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   Er wer 8634   / cqs 8636  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214   /_s cqus 17463  TopOnctopon 22888   Cn ccn 23202  IIcii 24855   ≃_phcphtpc 24949  *_𝑝cpco 24980   Ω₁ comi 24981   π₁ cpi1 24983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-qus 17467  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-ii 24857  df-htpy 24950  df-phtpy 24951  df-phtpc 24972  df-pco 24985  df-om1 24986  df-pi1 24988

This theorem is referenced by: (None)