Theorem oppccat 17800

Description: An opposite category is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppccat	⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)

Proof of Theorem oppccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2	1	oppccatid 17797	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑂 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶)))
3	2	simpld 500	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  Catccat 17742  Idccid 17743  oppCatcoppc 17789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-hom 17356  df-cco 17357  df-cat 17746  df-cid 17747  df-oppc 17790

This theorem is used by:  oppccatf  17806  oppcepi  17818  isepi  17819  epii  17822  oppcsect  17857  oppcsect2  17858  oppcinv  17859  oppciso  17860  sectepi  17863  episect  17864  funcoppc  17954  dfinito2  18082  dftermo2  18083  catcoppccl  18196  hofcl  18337  oppchofcl  18338  yoncl  18340  yon11  18342  yon12  18343  yon2  18344  yonpropd  18346  oppcyon  18347  oyoncl  18348  yonedalem1  18350  yonedalem21  18351  yonedalem3a  18352  yonedalem22  18356  yonedalem3b  18357  yonedainv  18359  yonffthlem  18360  yoniso  18363  oppccatb  49851  oppccic  49879  natoppfb  50066  oppczeroo  50072  termoeu2  50073  oppc1stf  50123  oppc2ndf  50124  fucoppcffth  50246  oppfdiag1  50249  oppfdiag  50251  oppcthin  50273  dftermo4  50337  lmddu  50502  cmddu  50503