Theorem oppccat 17645

Description: An opposite category is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppccat	⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)

Proof of Theorem oppccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2	1	oppccatid 17642	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑂 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑂) = (Id‘𝐶)))
3	2	simpld 494	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  Catccat 17587  Idccid 17588  oppCatcoppc 17634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-hom 17201  df-cco 17202  df-cat 17591  df-cid 17592  df-oppc 17635

This theorem is referenced by:  oppccatf  17651  oppcepi  17663  isepi  17664  epii  17667  oppcsect  17702  oppcsect2  17703  oppcinv  17704  oppciso  17705  sectepi  17708  episect  17709  funcoppc  17799  dfinito2  17927  dftermo2  17928  catcoppccl  18041  hofcl  18182  oppchofcl  18183  yoncl  18185  yon11  18187  yon12  18188  yon2  18189  yonpropd  18191  oppcyon  18192  oyoncl  18193  yonedalem1  18195  yonedalem21  18196  yonedalem3a  18197  yonedalem22  18201  yonedalem3b  18202  yonedainv  18204  yonffthlem  18205  yoniso  18208  oppccatb  49261  oppccic  49289  natoppfb  49476  oppczeroo  49482  termoeu2  49483  oppc1stf  49533  oppc2ndf  49534  fucoppcffth  49656  oppfdiag1  49659  oppfdiag  49661  oppcthin  49683  dftermo4  49747  lmddu  49912  cmddu  49913