Theorem oppchomf 17903

Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchomf.h	⊢ 𝐻 = (Homf ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchomf	⊢ tpos 𝐻 = (Homf ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
2		oppcbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	1, 2	oppchom 17898	. . . 4 ⊢ (𝑦(Hom ‘𝑂)𝑥) = (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑦(Hom ‘𝑂)𝑥) = (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
5	4	mpoeq3ia 7502	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐶), 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑦(Hom ‘𝑂)𝑥)) = (𝑦 ∈ (Base‘𝐶), 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8	2, 7	oppcbas 17901	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
9		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘𝑂)
10	6, 8, 9	homffval 17873	. 2 ⊢ (Homf ‘𝑂) = (𝑦 ∈ (Base‘𝐶), 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑦(Hom ‘𝑂)𝑥))
11		oppchomf.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Homf ‘𝐶)
12	11, 7, 1	homffval 17873	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶), 𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
13	12	tposmpo 8288	. 2 ⊢ tpos 𝐻 = (𝑦 ∈ (Base‘𝐶), 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
14	5, 10, 13	3eqtr4ri 2794	1 ⊢ tpos 𝐻 = (Homf ‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  tpos ctpos 8250  Basecbs 17396  Hom chom 17448  Hom_f chomf 17849  oppCatcoppc 17894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8251  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-hom 17461  df-cco 17462  df-homf 17853  df-oppc 17895

This theorem is used by:  2oppchomf  17907  oppchomfpropd  17909  oppchofcl  18443  oyoncl  18453  oppcendc  50268