Theorem oppchomf 17705

Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchomf.h	⊢ 𝐻 = (Homf ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchomf	⊢ tpos 𝐻 = (Homf ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
2		oppcbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	1, 2	oppchom 17699	. . . 4 ⊢ (𝑦(Hom ‘𝑂)𝑥) = (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑦(Hom ‘𝑂)𝑥) = (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
5	4	mpoeq3ia 7498	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐶), 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑦(Hom ‘𝑂)𝑥)) = (𝑦 ∈ (Base‘𝐶), 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
6		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂)
7		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8	2, 7	oppcbas 17702	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
9		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘𝑂)
10	6, 8, 9	homffval 17673	. 2 ⊢ (Homf ‘𝑂) = (𝑦 ∈ (Base‘𝐶), 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑦(Hom ‘𝑂)𝑥))
11		oppchomf.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Homf ‘𝐶)
12	11, 7, 1	homffval 17673	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶), 𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
13	12	tposmpo 8269	. 2 ⊢ tpos 𝐻 = (𝑦 ∈ (Base‘𝐶), 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
14	5, 10, 13	3eqtr4ri 2764	1 ⊢ tpos 𝐻 = (Homf ‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  tpos ctpos 8231  Basecbs 17183  Hom chom 17247  Hom_f chomf 17649  oppCatcoppc 17694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-hom 17260  df-cco 17261  df-homf 17653  df-oppc 17695

This theorem is referenced by:  2oppchomf  17709  oppchomfpropd  17711  oppchofcl  18255  oyoncl  18265