Theorem oppchom 17915

Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchom	⊢ (𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) = (𝑌𝐻𝑋)

Proof of Theorem oppchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppchom.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2		oppchom.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	1, 2	oppchomfval 17914	. . 3 ⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)
4	3	oveqi 7453	. 2 ⊢ (𝑋tpos 𝐻𝑌) = (𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌)
5		ovtpos 8283	. 2 ⊢ (𝑋tpos 𝐻𝑌) = (𝑌𝐻𝑋)
6	4, 5	eqtr3i 2788	1 ⊢ (𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) = (𝑌𝐻𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  tpos ctpos 8267  Hom chom 17465  oppCatcoppc 17911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-hom 17478  df-cco 17479  df-oppc 17912

This theorem is used by:  oppccatid  17919  oppchomf  17920  oppccomfpropd  17927  isepi  17941  epii  17944  oppcsect  17979  funcoppc  18076  fulloppc  18125  fthepi  18131  dfinito2  18204  dftermo2  18205  hofcl  18459  yon11  18464  yon12  18465  yon2  18466  yonedalem4c  18477  yonedalem22  18478  yonedalem3b  18479  yonedalem3  18480  yonedainv  18481  oppcuprcl5  50520  oppcup  50526  natoppf  50554  oppc1stf  50613  oppc2ndf  50614  fucoppcco  50747  fucoppc  50748  oppfdiag1  50752  oppfdiag  50754  oppcthin  50776  oppcthinco  50777  oduoppcciso  50907  oppgoppchom  50931  lmddu  51053