Theorem oppchom 16726

Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchom	⊢ (𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) = (𝑌𝐻𝑋)

Proof of Theorem oppchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppchom.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2		oppchom.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3	1, 2	oppchomfval 16725	. . 3 ⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)
4	3	oveqi 6917	. 2 ⊢ (𝑋tpos 𝐻𝑌) = (𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌)
5		ovtpos 7631	. 2 ⊢ (𝑋tpos 𝐻𝑌) = (𝑌𝐻𝑋)
6	4, 5	eqtr3i 2850	1 ⊢ (𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) = (𝑌𝐻𝑋)

Syntax hints:   = wceq 1658  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  tpos ctpos 7615  Hom chom 16315  oppCatcoppc 16722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-tpos 7616  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-dec 11821  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-sets 16228  df-hom 16328  df-cco 16329  df-oppc 16723

This theorem is referenced by:  oppccatid  16730  oppchomf  16731  oppccomfpropd  16738  isepi  16751  epii  16754  oppcsect  16789  funcoppc  16886  fulloppc  16933  fthepi  16939  hofcl  17251  yon11  17256  yon12  17257  yon2  17258  yonedalem4c  17269  yonedalem22  17270  yonedalem3b  17271  yonedalem3  17272  yonedainv  17273