Theorem oppr2idl 33896

Description: Two sided ideal of the opposite ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr2idl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
oppr2idl	⊢ (𝜑 → (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑂))

Proof of Theorem oppr2idl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4158	. . 3 ⊢ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)) = ((LIdeal‘𝑂) ∩ (LIdeal‘𝑅))
2		oppreqg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		oppr2idl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	2, 3	opprlidlabs 33895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))
5	4	ineq2d 4169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝑂) ∩ (LIdeal‘𝑅)) = ((LIdeal‘𝑂) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑂))))
6	1, 5	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)) = ((LIdeal‘𝑂) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑂))))
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
9		eqid 2762	. . 3 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
10	7, 2, 8, 9	2idlval 21459	. 2 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂))
11		eqid 2762	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
12		eqid 2762	. . 3 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂))
13		eqid 2762	. . 3 ⊢ (2Ideal‘𝑂) = (2Ideal‘𝑂)
14	8, 11, 12, 13	2idlval 21459	. 2 ⊢ (2Ideal‘𝑂) = ((LIdeal‘𝑂) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))
15	6, 10, 14	3eqtr4g 2822	1 ⊢ (𝜑 → (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901  ‘cfv 6537  Ringcrg 20378  opp_rcoppr 20483  LIdealclidl 21399  2Idealc2idl 21457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-oppr 20484  df-lss 21122  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-lidl 21401  df-2idl 21458

This theorem is used by:  opprqusmulr  33901  opprqusdrng  33903  qsdrng  33907