Theorem lcdsadd 41971

Description: Scalar addition for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsadd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsadd.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsadd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐹)
lcdsadd.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsadd.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcdsadd.a	⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
lcdsadd.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsadd	⊢ (𝜑 → ✚ = + )

Proof of Theorem lcdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsadd.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdsadd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdsadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
5		lcdsadd.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdsadd.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
7		lcdsadd.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcdsca 41969	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝐹))
9	8	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑆) = (+g‘(oppr‘𝐹)))
10		lcdsadd.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
11		lcdsadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
12	4, 11	oppradd 20292	. 2 ⊢ + = (+g‘(oppr‘𝐹))
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝜑 → ✚ = + )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192  opp_rcoppr 20284  HLchlt 39720  LHypclh 40354  DVecHcdvh 41448  LCDualclcd 41956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39323

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lvec 21067  df-ldual 39494  df-oposet 39546  df-ol 39548  df-oml 39549  df-covers 39636  df-ats 39637  df-atl 39668  df-cvlat 39692  df-hlat 39721  df-llines 39868  df-lplanes 39869  df-lvols 39870  df-lines 39871  df-psubsp 39873  df-pmap 39874  df-padd 40166  df-lhyp 40358  df-laut 40359  df-ldil 40474  df-ltrn 40475  df-trl 40529  df-tendo 41125  df-edring 41127  df-dvech 41449  df-lcdual 41957

This theorem is referenced by:  hgmapadd  42264