Theorem lcdsadd 40031

Description: Scalar addition for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdsadd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdsadd.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdsadd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐹)
lcdsadd.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdsadd.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcdsadd.a	⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
lcdsadd.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdsadd	⊢ (𝜑 → ✚ = + )

Proof of Theorem lcdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdsadd.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdsadd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdsadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
5		lcdsadd.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdsadd.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
7		lcdsadd.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcdsca 40029	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝐹))
9	8	fveq2d 6843	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑆) = (+g‘(oppr‘𝐹)))
10		lcdsadd.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
11		lcdsadd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
12	4, 11	oppradd 20043	. 2 ⊢ + = (+g‘(oppr‘𝐹))
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2801	1 ⊢ (𝜑 → ✚ = + )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6493  +_gcplusg 17125  Scalarcsca 17128  opp_rcoppr 20033  HLchlt 37779  LHypclh 38414  DVecHcdvh 39508  LCDualclcd 40016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-riotaBAD 37382

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-tpos 8153  df-undef 8200  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-0g 17315  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-p1 18307  df-lat 18313  df-clat 18380  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-oppr 20034  df-dvdsr 20055  df-unit 20056  df-invr 20086  df-dvr 20097  df-drng 20172  df-lmod 20309  df-lvec 20549  df-ldual 37553  df-oposet 37605  df-ol 37607  df-oml 37608  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780  df-llines 37928  df-lplanes 37929  df-lvols 37930  df-lines 37931  df-psubsp 37933  df-pmap 37934  df-padd 38226  df-lhyp 38418  df-laut 38419  df-ldil 38534  df-ltrn 38535  df-trl 38589  df-tendo 39185  df-edring 39187  df-dvech 39509  df-lcdual 40017

This theorem is referenced by:  hgmapadd  40324