MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngridl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngridl 21269
Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
crng2idl.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
crngridl (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crng2idl.i . 2 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2 eqidd 2727 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3 crngridl.o . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
53, 4opprbas 20323 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
65a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
7 ssv 4004 . . . . 5 (Base‘𝑅) ⊆ V
87a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
103, 9oppradd 20325 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑂)
1110oveqi 7437 . . . . 5 (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦))
13 ovexd 7459 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ V)
14 eqid 2726 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (.r𝑂) = (.r𝑂)
164, 14, 3, 15crngoppr 20320 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
17163expb 1117 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
182, 6, 8, 12, 13, 17lidlrsppropd 21233 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
1918simpld 493 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
201, 19eqtrid 2778 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3947  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  .rcmulr 17267  CRingccrg 20217  opprcoppr 20315  LIdealclidl 21195  RSpancrsp 21196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-cmn 19780  df-mgp 20118  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-lidl 21197  df-rsp 21198
This theorem is referenced by:  crng2idl  21270  crngmxidl  33344
  Copyright terms: Public domain W3C validator