Theorem crngridl 21308

Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
crng2idl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngridl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crng2idl.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		crngridl.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	opprbas 20358	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
7		ssv 4020	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
9		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
10	3, 9	oppradd 20360	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
11	10	oveqi 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
13		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
14		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
16	4, 14, 3, 15	crngoppr 20355	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
17	16	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
18	2, 6, 8, 12, 13, 17	lidlrsppropd 21272	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
19	18	simpld 494	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
20	1, 19	eqtrid 2787	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  CRingccrg 20252  opp_rcoppr 20350  LIdealclidl 21234  RSpancrsp 21235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237

This theorem is referenced by:  crng2idl  21309  crngmxidl  33477