MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngridl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngridl 20289
Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
crng2idl.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
crngridl (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crng2idl.i . 2 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2 eqidd 2739 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3 crngridl.o . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
4 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
53, 4opprbas 19660 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
65a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
7 ssv 3934 . . . . 5 (Base‘𝑅) ⊆ V
87a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
9 eqid 2738 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
103, 9oppradd 19661 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑂)
1110oveqi 7235 . . . . 5 (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦))
13 ovexd 7257 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ V)
14 eqid 2738 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
15 eqid 2738 . . . . . 6 (.r𝑂) = (.r𝑂)
164, 14, 3, 15crngoppr 19658 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
17163expb 1122 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
182, 6, 8, 12, 13, 17lidlrsppropd 20281 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
1918simpld 498 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
201, 19syl5eq 2791 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  Vcvv 3415  wss 3875  cfv 6389  (class class class)co 7222  Basecbs 16773  +gcplusg 16815  .rcmulr 16816  CRingccrg 19576  opprcoppr 19653  LIdealclidl 20220  RSpancrsp 20221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5188  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818  ax-pre-mulgt0 10819
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-int 4869  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-om 7654  df-tpos 7977  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-er 8400  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-sub 11077  df-neg 11078  df-nn 11844  df-2 11906  df-3 11907  df-4 11908  df-5 11909  df-6 11910  df-7 11911  df-8 11912  df-sets 16730  df-slot 16748  df-ndx 16758  df-base 16774  df-ress 16798  df-plusg 16828  df-mulr 16829  df-sca 16831  df-vsca 16832  df-ip 16833  df-cmn 19185  df-mgp 19518  df-cring 19578  df-oppr 19654  df-lss 19982  df-lsp 20022  df-sra 20222  df-rgmod 20223  df-lidl 20224  df-rsp 20225
This theorem is referenced by:  crng2idl  20290
  Copyright terms: Public domain W3C validator