MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngridl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngridl 21135
Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
crng2idl.i 𝐼 = (LIdealβ€˜π‘…)
crngridl.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
crngridl (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐼 = (LIdealβ€˜π‘‚))

Proof of Theorem crngridl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crng2idl.i . 2 𝐼 = (LIdealβ€˜π‘…)
2 eqidd 2727 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
3 crngridl.o . . . . . 6 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
4 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
53, 4opprbas 20243 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘‚)
65a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘‚))
7 ssv 4001 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) βŠ† V
87a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† V)
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
103, 9oppradd 20245 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘‚)
1110oveqi 7418 . . . . 5 (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (π‘₯ ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
13 ovexd 7440 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ V)
14 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘‚) = (.rβ€˜π‘‚)
164, 14, 3, 15crngoppr 20240 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘‚)𝑦))
17163expb 1117 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘‚)𝑦))
182, 6, 8, 12, 13, 17lidlrsppropd 21102 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘‚) ∧ (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘‚)))
1918simpld 494 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘‚))
201, 19eqtrid 2778 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐼 = (LIdealβ€˜π‘‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  CRingccrg 20139  opprcoppr 20235  LIdealclidl 21065  RSpancrsp 21066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-cmn 19702  df-mgp 20040  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068
This theorem is referenced by:  crng2idl  21136  crngmxidl  33091
  Copyright terms: Public domain W3C validator