Theorem crngridl 21290

Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
crng2idl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngridl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crng2idl.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		crngridl.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	opprbas 20341	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
7		ssv 4008	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
10	3, 9	oppradd 20343	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
11	10	oveqi 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
13		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
16	4, 14, 3, 15	crngoppr 20338	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
17	16	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
18	2, 6, 8, 12, 13, 17	lidlrsppropd 21254	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
19	18	simpld 494	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
20	1, 19	eqtrid 2789	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  CRingccrg 20231  opp_rcoppr 20333  LIdealclidl 21216  RSpancrsp 21217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219

This theorem is referenced by:  crng2idl  21291  crngmxidl  33497