MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngridl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngridl 20006
Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
crng2idl.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
crngridl.o 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
crngridl (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngridl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crng2idl.i . 2 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2 eqidd 2825 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3 crngridl.o . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
4 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
53, 4opprbas 19377 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
65a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
7 ssv 3977 . . . . 5 (Base‘𝑅) ⊆ V
87a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ⊆ V)
9 eqid 2824 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
103, 9oppradd 19378 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑂)
1110oveqi 7159 . . . . 5 (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦))
13 ovexd 7181 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ V)
14 eqid 2824 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
15 eqid 2824 . . . . . 6 (.r𝑂) = (.r𝑂)
164, 14, 3, 15crngoppr 19375 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
17163expb 1117 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
182, 6, 8, 12, 13, 17lidlrsppropd 19998 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → ((LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂) ∧ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑂)))
1918simpld 498 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
201, 19syl5eq 2871 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = (LIdeal‘𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919  cfv 6344  (class class class)co 7146  Basecbs 16481  +gcplusg 16563  .rcmulr 16564  CRingccrg 19296  opprcoppr 19370  LIdealclidl 19937  RSpancrsp 19938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-cmn 18906  df-mgp 19238  df-cring 19298  df-oppr 19371  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-lidl 19941  df-rsp 19942
This theorem is referenced by:  crng2idl  20007
  Copyright terms: Public domain W3C validator