MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngd 20249
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element ๐‘ฅ should have a left-inverse ๐ผ(๐‘ฅ). See isdrngrd 20250 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isdrngd.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isdrngd.z (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
isdrngd.u (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
isdrngd.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
isdrngd.n ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
isdrngd.o (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
isdrngd.i ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
isdrngd.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ผ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 difss 4095 . . . . . 6 (๐ต โˆ– { 0 }) โŠ† ๐ต
3 isdrngd.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
42, 3sseqtrid 4000 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) โŠ† (Baseโ€˜๐‘…))
5 eqid 2733 . . . . . 6 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
86, 7mgpbas 19910 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
95, 8ressbas2 17128 . . . . 5 ((๐ต โˆ– { 0 }) โŠ† (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
104, 9syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
11 isdrngd.t . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
12 fvex 6859 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
133, 12eqeltrdi 2842 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ V)
14 difexg 5288 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆˆ V)
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
166, 15mgpplusg 19908 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
175, 16ressplusg 17179 . . . . . 6 ((๐ต โˆ– { 0 }) โˆˆ V โ†’ (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
1813, 14, 173syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
1911, 18eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยท = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
20 eldifsn 4751 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ))
21 eldifsn 4751 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ))
227, 15ringcl 19989 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
231, 22syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
24233expib 1123 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
253eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
263eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2725, 26anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
2811oveqd 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
2928, 3eleq12d 2828 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
3024, 27, 293imtr4d 294 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต))
31303impib 1117 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
32313adant2r 1180 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
33323adant3r 1182 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
34 isdrngd.n . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
35 eldifsn 4751 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 ))
3633, 34, 35sylanbrc 584 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
3721, 36syl3an3b 1406 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
3820, 37syl3an2b 1405 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
397, 15ringass 19992 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
4039ex 414 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
411, 40syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
423eleq2d 2820 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
4325, 26, 423anbi123d 1437 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
44 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ง)
4511, 28, 44oveq123d 7382 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))
46 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ)
4711oveqd 7378 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) = (๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))
4811, 46, 47oveq123d 7382 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
4945, 48eqeq12d 2749 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
5041, 43, 493imtr4d 294 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
51 eldifi 4090 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
52 eldifi 4090 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
53 eldifi 4090 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
5451, 52, 533anim123i 1152 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต))
5550, 54impel 507 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
56 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
577, 56ringidcl 19997 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
581, 57syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
59 isdrngd.u . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
6058, 59, 33eltr4d 2849 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
61 isdrngd.o . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
62 eldifsn 4751 . . . . 5 ( 1 โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” ( 1 โˆˆ ๐ต โˆง 1 โ‰  0 ))
6360, 61, 62sylanbrc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
647, 15, 56ringlidm 20000 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
6564ex 414 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
661, 65syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
6711, 59, 46oveq123d 7382 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
6867eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
6966, 25, 683imtr4d 294 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
7069imp 408 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
7170adantrr 716 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
7220, 71sylan2b 595 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
73 isdrngd.i . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
7461adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ 1 โ‰  0 )
75 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ ๐ผ = 0 )
7675oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ( 0 ยท ๐‘ฅ))
77 isdrngd.k . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
7877adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
7925biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8079adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
81 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
827, 15, 81ringlz 20019 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))
831, 80, 82syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))
84 isdrngd.z . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8511, 84, 46oveq123d 7382 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
8685adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
8784adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8883, 86, 873eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 )
8988adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 )
9076, 78, 893eqtr3d 2781 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ 1 = 0 )
9174, 90mteqand 3045 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โ‰  0 )
92 eldifsn 4751 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐ผ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โ‰  0 ))
9373, 91, 92sylanbrc 584 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
9420, 93sylan2b 595 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐ผ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
9520, 77sylan2b 595 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
9610, 19, 38, 55, 63, 72, 94, 95isgrpd 18780 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp)
9784sneqd 4602 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ { 0 } = {(0gโ€˜๐‘…)})
983, 97difeq12d 4087 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)}))
9998oveq2d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})))
10099eleq1d 2819 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp โ†” ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp))
101100anbi2d 630 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp) โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp)))
1021, 96, 101mpbi2and 711 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp))
103 eqid 2733 . . 3 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)}))
1047, 81, 103isdrng2 20232 . 2 (๐‘… โˆˆ DivRing โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp))
105102, 104sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911   โŠ† wss 3914  {csn 4590  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   โ†พs cress 17120  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972  DivRingcdr 20219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221
This theorem is referenced by:  isdrngrd  20250  cndrng  20849  erngdvlem4  39504
  Copyright terms: Public domain W3C validator