MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngd 20087
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a left-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngd 20087 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isdrngd.z (𝜑0 = (0g𝑅))
isdrngd.u (𝜑1 = (1r𝑅))
isdrngd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o (𝜑10 )
isdrngd.i ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
isdrngd.j ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
isdrngd.k ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngd (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 difss 4076 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
3 isdrngd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
42, 3sseqtrid 3982 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅))
5 eqid 2737 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
86, 7mgpbas 19793 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
95, 8ressbas2 17016 . . . . 5 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
104, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11 isdrngd.t . . . . 5 (𝜑· = (.r𝑅))
12 fvex 6822 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
133, 12eqeltrdi 2846 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
14 difexg 5264 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
15 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
166, 15mgpplusg 19791 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
175, 16ressplusg 17067 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1813, 14, 173syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (.r𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1911, 18eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑· = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
20 eldifsn 4730 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
21 eldifsn 4730 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
227, 15ringcl 19867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
231, 22syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24233expib 1121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
253eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
263eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
2725, 26anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
2811oveqd 7330 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
2928, 3eleq12d 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
3024, 27, 293imtr4d 293 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵))
31303impib 1115 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
32313adant2r 1178 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33323adant3r 1180 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
34 isdrngd.n . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
35 eldifsn 4730 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 ))
3633, 34, 35sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
3721, 36syl3an3b 1404 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
3820, 37syl3an2b 1403 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
397, 15ringass 19870 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4039ex 413 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
411, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
423eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
4325, 26, 423anbi123d 1435 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
44 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 = 𝑧)
4511, 28, 44oveq123d 7334 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧))
46 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝜑𝑥 = 𝑥)
4711oveqd 7330 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r𝑅)𝑧))
4811, 46, 47oveq123d 7334 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4945, 48eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
5041, 43, 493imtr4d 293 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
51 eldifi 4071 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
52 eldifi 4071 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦𝐵)
53 eldifi 4071 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑧𝐵)
5451, 52, 533anim123i 1150 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵))
5550, 54impel 506 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
56 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
577, 56ringidcl 19874 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
581, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59 isdrngd.u . . . . . 6 (𝜑1 = (1r𝑅))
6058, 59, 33eltr4d 2853 . . . . 5 (𝜑1𝐵)
61 isdrngd.o . . . . 5 (𝜑10 )
62 eldifsn 4730 . . . . 5 ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1𝐵10 ))
6360, 61, 62sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
647, 15, 56ringlidm 19877 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
6564ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
661, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
6711, 59, 46oveq123d 7334 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 · 𝑥) = ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥))
6867eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝜑 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
6966, 25, 683imtr4d 293 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐵 → ( 1 · 𝑥) = 𝑥))
7069imp 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
7170adantrr 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
7220, 71sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
73 isdrngd.i . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
74 isdrngd.j . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
75 eldifsn 4730 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼𝐵𝐼0 ))
7673, 74, 75sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
7720, 76sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78 isdrngd.k . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
7920, 78sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
8010, 19, 38, 55, 63, 72, 77, 79isgrpd 18668 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
81 isdrngd.z . . . . . . . 8 (𝜑0 = (0g𝑅))
8281sneqd 4581 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } = {(0g𝑅)})
833, 82difeq12d 4068 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
8483oveq2d 7329 . . . . 5 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
8584eleq1d 2822 . . . 4 (𝜑 → (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ↔ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
8685anbi2d 629 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp)))
871, 80, 86mpbi2and 709 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
88 eqid 2737 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
89 eqid 2737 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
907, 88, 89isdrng2 20072 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
9187, 90sylibr 233 1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  Vcvv 3441  cdif 3893  wss 3896  {csn 4569  cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  s cress 17008  +gcplusg 17029  .rcmulr 17030  0gc0g 17217  Grpcgrp 18644  mulGrpcmgp 19787  1rcur 19804  Ringcrg 19850  DivRingcdr 20062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-tpos 8087  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-oppr 19929  df-dvdsr 19950  df-unit 19951  df-invr 19981  df-dvr 19992  df-drng 20064
This theorem is referenced by:  isdrngrd  20088  cndrng  20698  erngdvlem4  39217
  Copyright terms: Public domain W3C validator