MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngd 20618
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element ๐‘ฅ should have a left-inverse ๐ผ(๐‘ฅ). See isdrngrd 20619 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isdrngd.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isdrngd.z (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
isdrngd.u (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
isdrngd.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
isdrngd.n ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
isdrngd.o (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
isdrngd.i ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
isdrngd.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ผ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 difss 4126 . . . . . 6 (๐ต โˆ– { 0 }) โІ ๐ต
3 isdrngd.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
42, 3sseqtrid 4029 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) โІ (Baseโ€˜๐‘…))
5 eqid 2726 . . . . . 6 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
7 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
86, 7mgpbas 20043 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
95, 8ressbas2 17189 . . . . 5 ((๐ต โˆ– { 0 }) โІ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
104, 9syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
11 isdrngd.t . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
12 fvex 6897 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
133, 12eqeltrdi 2835 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ V)
14 difexg 5320 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆˆ V)
15 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
166, 15mgpplusg 20041 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
175, 16ressplusg 17242 . . . . . 6 ((๐ต โˆ– { 0 }) โˆˆ V โ†’ (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
1813, 14, 173syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
1911, 18eqtrd 2766 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยท = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
20 eldifsn 4785 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ))
21 eldifsn 4785 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ))
227, 15ringcl 20153 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
231, 22syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
24233expib 1119 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
253eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
263eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
2811oveqd 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
2928, 3eleq12d 2821 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
3024, 27, 293imtr4d 294 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต))
31303impib 1113 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
32313adant2r 1176 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
33323adant3r 1178 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
34 isdrngd.n . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
35 eldifsn 4785 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 ))
3633, 34, 35sylanbrc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
3721, 36syl3an3b 1402 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
3820, 37syl3an2b 1401 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
397, 15ringass 20156 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
4039ex 412 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
411, 40syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
423eleq2d 2813 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
4325, 26, 423anbi123d 1432 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
44 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ง)
4511, 28, 44oveq123d 7425 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))
46 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ)
4711oveqd 7421 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) = (๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))
4811, 46, 47oveq123d 7425 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
4945, 48eqeq12d 2742 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
5041, 43, 493imtr4d 294 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
51 eldifi 4121 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
52 eldifi 4121 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
53 eldifi 4121 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
5451, 52, 533anim123i 1148 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต))
5550, 54impel 505 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
56 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
577, 56ringidcl 20163 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
581, 57syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
59 isdrngd.u . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
6058, 59, 33eltr4d 2842 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
61 isdrngd.o . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
62 eldifsn 4785 . . . . 5 ( 1 โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” ( 1 โˆˆ ๐ต โˆง 1 โ‰  0 ))
6360, 61, 62sylanbrc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
647, 15, 56ringlidm 20166 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
6564ex 412 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
661, 65syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
6711, 59, 46oveq123d 7425 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
6867eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
6966, 25, 683imtr4d 294 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
7069imp 406 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
7170adantrr 714 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
7220, 71sylan2b 593 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
73 isdrngd.i . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
7461adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ 1 โ‰  0 )
75 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ ๐ผ = 0 )
7675oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ( 0 ยท ๐‘ฅ))
77 isdrngd.k . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
7877adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
7925biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8079adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
81 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
827, 15, 81ringlz 20190 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))
831, 80, 82syl2an2r 682 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))
84 isdrngd.z . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8511, 84, 46oveq123d 7425 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
8685adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
8784adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8883, 86, 873eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 )
8988adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 )
9076, 78, 893eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ 1 = 0 )
9174, 90mteqand 3027 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โ‰  0 )
92 eldifsn 4785 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐ผ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โ‰  0 ))
9373, 91, 92sylanbrc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
9420, 93sylan2b 593 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐ผ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
9520, 77sylan2b 593 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
9610, 19, 38, 55, 63, 72, 94, 95isgrpd 18886 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp)
9784sneqd 4635 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ { 0 } = {(0gโ€˜๐‘…)})
983, 97difeq12d 4118 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)}))
9998oveq2d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})))
10099eleq1d 2812 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp โ†” ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp))
101100anbi2d 628 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp) โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp)))
1021, 96, 101mpbi2and 709 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp))
103 eqid 2726 . . 3 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)}))
1047, 81, 103isdrng2 20599 . 2 (๐‘… โˆˆ DivRing โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp))
105102, 104sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940   โІ wss 3943  {csn 4623  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151   โ†พs cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  mulGrpcmgp 20037  1rcur 20084  Ringcrg 20136  DivRingcdr 20585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587
This theorem is referenced by:  isdrngrd  20619  cndrng  21283  cndrngOLD  21284  erngdvlem4  40373
  Copyright terms: Public domain W3C validator