MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngd 20214
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a left-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngd 20214 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isdrngd.z (𝜑0 = (0g𝑅))
isdrngd.u (𝜑1 = (1r𝑅))
isdrngd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o (𝜑10 )
isdrngd.i ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
isdrngd.j ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
isdrngd.k ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngd (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 difss 4091 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
3 isdrngd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
42, 3sseqtrid 3996 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅))
5 eqid 2736 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
86, 7mgpbas 19902 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
95, 8ressbas2 17120 . . . . 5 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
104, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11 isdrngd.t . . . . 5 (𝜑· = (.r𝑅))
12 fvex 6855 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
133, 12eqeltrdi 2846 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
14 difexg 5284 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
15 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
166, 15mgpplusg 19900 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
175, 16ressplusg 17171 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1813, 14, 173syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (.r𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1911, 18eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑· = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
20 eldifsn 4747 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
21 eldifsn 4747 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
227, 15ringcl 19981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
231, 22syl3an1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24233expib 1122 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
253eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
263eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
2725, 26anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
2811oveqd 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
2928, 3eleq12d 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
3024, 27, 293imtr4d 293 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵))
31303impib 1116 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
32313adant2r 1179 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33323adant3r 1181 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
34 isdrngd.n . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
35 eldifsn 4747 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 ))
3633, 34, 35sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
3721, 36syl3an3b 1405 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
3820, 37syl3an2b 1404 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
397, 15ringass 19984 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4039ex 413 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
411, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
423eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
4325, 26, 423anbi123d 1436 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
44 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 = 𝑧)
4511, 28, 44oveq123d 7378 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧))
46 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (𝜑𝑥 = 𝑥)
4711oveqd 7374 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r𝑅)𝑧))
4811, 46, 47oveq123d 7378 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4945, 48eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
5041, 43, 493imtr4d 293 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
51 eldifi 4086 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
52 eldifi 4086 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦𝐵)
53 eldifi 4086 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑧𝐵)
5451, 52, 533anim123i 1151 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵))
5550, 54impel 506 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
56 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
577, 56ringidcl 19989 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
581, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59 isdrngd.u . . . . . 6 (𝜑1 = (1r𝑅))
6058, 59, 33eltr4d 2853 . . . . 5 (𝜑1𝐵)
61 isdrngd.o . . . . 5 (𝜑10 )
62 eldifsn 4747 . . . . 5 ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1𝐵10 ))
6360, 61, 62sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
647, 15, 56ringlidm 19992 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
6564ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
661, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
6711, 59, 46oveq123d 7378 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 · 𝑥) = ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥))
6867eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 (𝜑 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
6966, 25, 683imtr4d 293 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐵 → ( 1 · 𝑥) = 𝑥))
7069imp 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
7170adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
7220, 71sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
73 isdrngd.i . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
74 isdrngd.j . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
75 eldifsn 4747 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼𝐵𝐼0 ))
7673, 74, 75sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
7720, 76sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78 isdrngd.k . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
7920, 78sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
8010, 19, 38, 55, 63, 72, 77, 79isgrpd 18772 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
81 isdrngd.z . . . . . . . 8 (𝜑0 = (0g𝑅))
8281sneqd 4598 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } = {(0g𝑅)})
833, 82difeq12d 4083 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
8483oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
8584eleq1d 2822 . . . 4 (𝜑 → (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ↔ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
8685anbi2d 629 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp)))
871, 80, 86mpbi2and 710 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
88 eqid 2736 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
89 eqid 2736 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
907, 88, 89isdrng2 20198 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
9187, 90sylibr 233 1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  DivRingcdr 20185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187
This theorem is referenced by:  isdrngrd  20215  cndrng  20826  erngdvlem4  39454
  Copyright terms: Public domain W3C validator