Theorem isdrngd 19529

Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a left-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngd 19529 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngd.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngd.j	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
isdrngd.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		difss 4110	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
3		isdrngd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4	2, 3	sseqtrid 4021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
6		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	6, 7	mgpbas 19247	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9	5, 8	ressbas2 16557	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
10	4, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11		isdrngd.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
12		fvex 6685	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13	3, 12	eqeltrdi 2923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		difexg 5233	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
15		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	6, 15	mgpplusg 19245	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
17	5, 16	ressplusg 16614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
18	13, 14, 17	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
19	11, 18	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
20		eldifsn 4721	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
21		eldifsn 4721	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
22	7, 15	ringcl 19313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 22	syl3an1 1159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24	23	3expib 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
25	3	eleq2d 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
26	3	eleq2d 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
27	25, 26	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
28	11	oveqd 7175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
29	28, 3	eleq12d 2909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
30	24, 27, 29	3imtr4d 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵))
31	30	3impib 1112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
32	31	3adant2r 1175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33	32	3adant3r 1177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
34		isdrngd.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
35		eldifsn 4721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 ))
36	33, 34, 35	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
37	21, 36	syl3an3b 1401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
38	20, 37	syl3an2b 1400	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
39	7, 15	ringass 19316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	39	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
41	1, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
42	3	eleq2d 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
43	25, 26, 42	3anbi123d 1432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
44		eqidd 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = 𝑧)
45	11, 28, 44	oveq123d 7179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧))
46		eqidd 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑥 = 𝑥)
47	11	oveqd 7175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
48	11, 46, 47	oveq123d 7179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
49	45, 48	eqeq12d 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
50	41, 43, 49	3imtr4d 296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
51		eldifi 4105	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
52		eldifi 4105	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53		eldifi 4105	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝐵)
54	51, 52, 53	3anim123i 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
55	50, 54	impel 508	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
56		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
57	7, 56	ringidcl 19320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	1, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59		isdrngd.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
60	58, 59, 3	3eltr4d 2930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
61		isdrngd.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
62		eldifsn 4721	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ≠ 0 ))
63	60, 61, 62	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
64	7, 15, 56	ringlidm 19323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
65	64	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
66	1, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
67	11, 59, 46	oveq123d 7179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
68	67	eqeq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
69	66, 25, 68	3imtr4d 296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 1 · 𝑥) = 𝑥))
70	69	imp 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
71	70	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
72	20, 71	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
73		isdrngd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
74		isdrngd.j	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
75		eldifsn 4721	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ))
76	73, 74, 75	sylanbrc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
77	20, 76	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78		isdrngd.k	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
79	20, 78	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
80	10, 19, 38, 55, 63, 72, 77, 79	isgrpd 18127	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
81		isdrngd.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
82	81	sneqd 4581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘𝑅)})
83	3, 82	difeq12d 4102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
84	83	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
85	84	eleq1d 2899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ↔ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
86	85	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)))
87	1, 80, 86	mpbi2and 710	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
88		eqid 2823	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
89		eqid 2823	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
90	7, 88, 89	isdrng2 19514	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
91	87, 90	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  {csn 4569  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  mulGrpcmgp 19241  1_rcur 19253  Ringcrg 19299  DivRingcdr 19504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506

This theorem is referenced by:  isdrngrd  19530  cndrng  20576  erngdvlem4  38129