Theorem isdrngd 20087

Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a left-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngd 20087 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngd.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngd.j	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
isdrngd.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		difss 4076	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
3		isdrngd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4	2, 3	sseqtrid 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	6, 7	mgpbas 19793	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9	5, 8	ressbas2 17016	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
10	4, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11		isdrngd.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
12		fvex 6822	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13	3, 12	eqeltrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		difexg 5264	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
15		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	6, 15	mgpplusg 19791	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
17	5, 16	ressplusg 17067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
18	13, 14, 17	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
19	11, 18	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
20		eldifsn 4730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
21		eldifsn 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
22	7, 15	ringcl 19867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 22	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24	23	3expib 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
25	3	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
26	3	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
27	25, 26	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
28	11	oveqd 7330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
29	28, 3	eleq12d 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
30	24, 27, 29	3imtr4d 293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵))
31	30	3impib 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
32	31	3adant2r 1178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33	32	3adant3r 1180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
34		isdrngd.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
35		eldifsn 4730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 ))
36	33, 34, 35	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
37	21, 36	syl3an3b 1404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
38	20, 37	syl3an2b 1403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
39	7, 15	ringass 19870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	39	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
41	1, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
42	3	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
43	25, 26, 42	3anbi123d 1435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
44		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = 𝑧)
45	11, 28, 44	oveq123d 7334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧))
46		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑥 = 𝑥)
47	11	oveqd 7330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
48	11, 46, 47	oveq123d 7334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
49	45, 48	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
50	41, 43, 49	3imtr4d 293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
51		eldifi 4071	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
52		eldifi 4071	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53		eldifi 4071	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝐵)
54	51, 52, 53	3anim123i 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
55	50, 54	impel 506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
56		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
57	7, 56	ringidcl 19874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	1, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59		isdrngd.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
60	58, 59, 3	3eltr4d 2853	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
61		isdrngd.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
62		eldifsn 4730	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ≠ 0 ))
63	60, 61, 62	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
64	7, 15, 56	ringlidm 19877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
65	64	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
66	1, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
67	11, 59, 46	oveq123d 7334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
68	67	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
69	66, 25, 68	3imtr4d 293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 1 · 𝑥) = 𝑥))
70	69	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
71	70	adantrr 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
72	20, 71	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
73		isdrngd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
74		isdrngd.j	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
75		eldifsn 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ))
76	73, 74, 75	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
77	20, 76	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78		isdrngd.k	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
79	20, 78	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
80	10, 19, 38, 55, 63, 72, 77, 79	isgrpd 18668	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
81		isdrngd.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
82	81	sneqd 4581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘𝑅)})
83	3, 82	difeq12d 4068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
84	83	oveq2d 7329	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
85	84	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ↔ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
86	85	anbi2d 629	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)))
87	1, 80, 86	mpbi2and 709	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
88		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
89		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
90	7, 88, 89	isdrng2 20072	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
91	87, 90	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  Vcvv 3441   ∖ cdif 3893   ⊆ wss 3896  {csn 4569  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979   ↾_s cress 17008  +_gcplusg 17029  ._rcmulr 17030  0_gc0g 17217  Grpcgrp 18644  mulGrpcmgp 19787  1_rcur 19804  Ringcrg 19850  DivRingcdr 20062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-tpos 8087  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-oppr 19929  df-dvdsr 19950  df-unit 19951  df-invr 19981  df-dvr 19992  df-drng 20064

This theorem is referenced by:  isdrngrd  20088  cndrng  20698  erngdvlem4  39217