Theorem isdrngd 21002

Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a left-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngrd 21003 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngd.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngd.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		difss 4083	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
3		isdrngd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4	2, 3	sseqtrid 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
6		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	6, 7	mgpbas 20345	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9	5, 8	ressbas2 17396	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
10	4, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11		isdrngd.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
12		fvex 6890	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13	3, 12	eqeltrdi 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		difexg 5291	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
15		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	6, 15	mgpplusg 20344	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
17	5, 16	ressplusg 17442	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
18	13, 14, 17	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
19	11, 18	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
20		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
21		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
22	7, 15	ringcl 20457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 22	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24	23	3expib 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
25	3	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
26	3	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
27	25, 26	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
28	11	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
29	28, 3	eleq12d 2855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
30	24, 27, 29	3imtr4d 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵))
31	30	3impib 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
32	31	3adant2r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33	32	3adant3r 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
34		isdrngd.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
35		eldifsn 4748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 ))
36	33, 34, 35	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
37	21, 36	syl3an3b 1432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
38	20, 37	syl3an2b 1431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
39	7, 15	ringass 20460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	39	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
41	1, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
42	3	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
43	25, 26, 42	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
44		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = 𝑧)
45	11, 28, 44	oveq123d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧))
46		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑥 = 𝑥)
47	11	oveqd 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
48	11, 46, 47	oveq123d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
49	45, 48	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
50	41, 43, 49	3imtr4d 297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
51		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
52		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝐵)
54	51, 52, 53	3anim123i 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
55	50, 54	impel 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
56		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
57	7, 56	ringidcl 20474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	1, 57	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59		isdrngd.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
60	58, 59, 3	3eltr4d 2876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
61		isdrngd.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
62		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ≠ 0 ))
63	60, 61, 62	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
64	7, 15, 56	ringlidm 20478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
65	64	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
66	1, 65	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
67	11, 59, 46	oveq123d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
68	67	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
69	66, 25, 68	3imtr4d 297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 1 · 𝑥) = 𝑥))
70	69	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
71	70	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
72	20, 71	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
73		isdrngd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
74	61	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 1 ≠ 0 )
75		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → 𝐼 = 0 )
76	75	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → (𝐼 · 𝑥) = ( 0 · 𝑥))
77		isdrngd.k	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
78	77	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
79	25	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
80	79	adantrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
81		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
82	7, 15, 81	ringlz 20504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
83	1, 80, 82	syl2an2r 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
84		isdrngd.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
85	11, 84, 46	oveq123d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑥) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
86	85	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ( 0 · 𝑥) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
87	84	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 0 = (0g‘𝑅))
88	83, 86, 87	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
89	88	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
90	76, 78, 89	3eqtr3d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → 1 = 0 )
91	74, 90	mteqand 3047	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
92		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ))
93	73, 91, 92	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
94	20, 93	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
95	20, 77	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
96	10, 19, 38, 55, 63, 72, 94, 95	isgrpd 19149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
97	84	sneqd 4596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘𝑅)})
98	3, 97	difeq12d 4075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
99	98	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
100	99	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ↔ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
101	100	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)))
102	1, 96, 101	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
103		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
104	7, 81, 103	isdrng2 20977	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
105	102, 104	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  mulGrpcmgp 20340  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  DivRingcdr 20960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-drng 20962

This theorem is used by:  isdrngrd  21003  cndrng  21687  erngdvlem4  42016