MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngd 20662
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element ๐‘ฅ should have a left-inverse ๐ผ(๐‘ฅ). See isdrngrd 20663 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isdrngd.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isdrngd.z (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
isdrngd.u (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
isdrngd.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
isdrngd.n ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
isdrngd.o (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
isdrngd.i ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
isdrngd.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ผ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 difss 4130 . . . . . 6 (๐ต โˆ– { 0 }) โІ ๐ต
3 isdrngd.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
42, 3sseqtrid 4032 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) โІ (Baseโ€˜๐‘…))
5 eqid 2727 . . . . . 6 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))
6 eqid 2727 . . . . . . 7 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
7 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
86, 7mgpbas 20085 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
95, 8ressbas2 17223 . . . . 5 ((๐ต โˆ– { 0 }) โІ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
104, 9syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
11 isdrngd.t . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
12 fvex 6913 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
133, 12eqeltrdi 2836 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ V)
14 difexg 5331 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆˆ V)
15 eqid 2727 . . . . . . . 8 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
166, 15mgpplusg 20083 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
175, 16ressplusg 17276 . . . . . 6 ((๐ต โˆ– { 0 }) โˆˆ V โ†’ (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
1813, 14, 173syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
1911, 18eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยท = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
20 eldifsn 4793 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ))
21 eldifsn 4793 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ))
227, 15ringcl 20195 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
231, 22syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
24233expib 1119 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
253eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
263eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
2811oveqd 7441 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
2928, 3eleq12d 2822 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
3024, 27, 293imtr4d 293 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต))
31303impib 1113 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
32313adant2r 1176 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
33323adant3r 1178 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
34 isdrngd.n . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
35 eldifsn 4793 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 ))
3633, 34, 35sylanbrc 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
3721, 36syl3an3b 1402 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
3820, 37syl3an2b 1401 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
397, 15ringass 20198 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
4039ex 411 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
411, 40syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
423eleq2d 2814 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
4325, 26, 423anbi123d 1432 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
44 eqidd 2728 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ง)
4511, 28, 44oveq123d 7445 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))
46 eqidd 2728 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ)
4711oveqd 7441 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) = (๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))
4811, 46, 47oveq123d 7445 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง)))
4945, 48eqeq12d 2743 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ง))))
5041, 43, 493imtr4d 293 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
51 eldifi 4125 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
52 eldifi 4125 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
53 eldifi 4125 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
5451, 52, 533anim123i 1148 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต))
5550, 54impel 504 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
56 eqid 2727 . . . . . . . 8 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
577, 56ringidcl 20207 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
581, 57syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
59 isdrngd.u . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
6058, 59, 33eltr4d 2843 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
61 isdrngd.o . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
62 eldifsn 4793 . . . . 5 ( 1 โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” ( 1 โˆˆ ๐ต โˆง 1 โ‰  0 ))
6360, 61, 62sylanbrc 581 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
647, 15, 56ringlidm 20210 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
6564ex 411 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
661, 65syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
6711, 59, 46oveq123d 7445 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
6867eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
6966, 25, 683imtr4d 293 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
7069imp 405 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
7170adantrr 715 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
7220, 71sylan2b 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
73 isdrngd.i . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
7461adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ 1 โ‰  0 )
75 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ ๐ผ = 0 )
7675oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ( 0 ยท ๐‘ฅ))
77 isdrngd.k . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
7877adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
7925biimpa 475 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8079adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
81 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
827, 15, 81ringlz 20234 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))
831, 80, 82syl2an2r 683 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))
84 isdrngd.z . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8511, 84, 46oveq123d 7445 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
8685adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
8784adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8883, 86, 873eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 )
8988adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 )
9076, 78, 893eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โˆง ๐ผ = 0 ) โ†’ 1 = 0 )
9174, 90mteqand 3029 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โ‰  0 )
92 eldifsn 4793 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐ผ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โ‰  0 ))
9373, 91, 92sylanbrc 581 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
9420, 93sylan2b 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐ผ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
9520, 77sylan2b 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = 1 )
9610, 19, 38, 55, 63, 72, 94, 95isgrpd 18920 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp)
9784sneqd 4642 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ { 0 } = {(0gโ€˜๐‘…)})
983, 97difeq12d 4121 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)}))
9998oveq2d 7440 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})))
10099eleq1d 2813 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp โ†” ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp))
101100anbi2d 628 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp) โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp)))
1021, 96, 101mpbi2and 710 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp))
103 eqid 2727 . . 3 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)}))
1047, 81, 103isdrng2 20643 . 2 (๐‘… โˆˆ DivRing โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ((Baseโ€˜๐‘…) โˆ– {(0gโ€˜๐‘…)})) โˆˆ Grp))
105102, 104sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2936  Vcvv 3471   โˆ– cdif 3944   โІ wss 3947  {csn 4630  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185   โ†พs cress 17214  +gcplusg 17238  .rcmulr 17239  0gc0g 17426  Grpcgrp 18895  mulGrpcmgp 20079  1rcur 20126  Ringcrg 20178  DivRingcdr 20629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-drng 20631
This theorem is referenced by:  isdrngrd  20663  cndrng  21331  cndrngOLD  21332  erngdvlem4  40468
  Copyright terms: Public domain W3C validator