MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngd 20743
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a left-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngrd 20744 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isdrngd.z (𝜑0 = (0g𝑅))
isdrngd.u (𝜑1 = (1r𝑅))
isdrngd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o (𝜑10 )
isdrngd.i ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
isdrngd.k ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngd (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 difss 4131 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
3 isdrngd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
42, 3sseqtrid 4032 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅))
5 eqid 2726 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
86, 7mgpbas 20123 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
95, 8ressbas2 17251 . . . . 5 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
104, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11 isdrngd.t . . . . 5 (𝜑· = (.r𝑅))
12 fvex 6914 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
133, 12eqeltrdi 2834 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
14 difexg 5334 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
15 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
166, 15mgpplusg 20121 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
175, 16ressplusg 17304 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1813, 14, 173syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (.r𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1911, 18eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑· = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
20 eldifsn 4795 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
21 eldifsn 4795 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
227, 15ringcl 20233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
231, 22syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24233expib 1119 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
253eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
263eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
2811oveqd 7441 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
2928, 3eleq12d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
3024, 27, 293imtr4d 293 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵))
31303impib 1113 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
32313adant2r 1176 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33323adant3r 1178 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
34 isdrngd.n . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
35 eldifsn 4795 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 ))
3633, 34, 35sylanbrc 581 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
3721, 36syl3an3b 1402 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
3820, 37syl3an2b 1401 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
397, 15ringass 20236 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4039ex 411 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
411, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
423eleq2d 2812 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
4325, 26, 423anbi123d 1433 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
44 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 = 𝑧)
4511, 28, 44oveq123d 7445 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧))
46 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (𝜑𝑥 = 𝑥)
4711oveqd 7441 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r𝑅)𝑧))
4811, 46, 47oveq123d 7445 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4945, 48eqeq12d 2742 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
5041, 43, 493imtr4d 293 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
51 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
52 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦𝐵)
53 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑧𝐵)
5451, 52, 533anim123i 1148 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵))
5550, 54impel 504 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
56 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
577, 56ringidcl 20245 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
581, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59 isdrngd.u . . . . . 6 (𝜑1 = (1r𝑅))
6058, 59, 33eltr4d 2841 . . . . 5 (𝜑1𝐵)
61 isdrngd.o . . . . 5 (𝜑10 )
62 eldifsn 4795 . . . . 5 ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1𝐵10 ))
6360, 61, 62sylanbrc 581 . . . 4 (𝜑1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
647, 15, 56ringlidm 20248 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
6564ex 411 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
661, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
6711, 59, 46oveq123d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 · 𝑥) = ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥))
6867eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (𝜑 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
6966, 25, 683imtr4d 293 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐵 → ( 1 · 𝑥) = 𝑥))
7069imp 405 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
7170adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
7220, 71sylan2b 592 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
73 isdrngd.i . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
7461adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 10 )
75 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → 𝐼 = 0 )
7675oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → (𝐼 · 𝑥) = ( 0 · 𝑥))
77 isdrngd.k . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
7877adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
7925biimpa 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
8079adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
81 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
827, 15, 81ringlz 20272 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅))
831, 80, 82syl2an2r 683 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅))
84 isdrngd.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0 = (0g𝑅))
8511, 84, 46oveq123d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( 0 · 𝑥) = ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥))
8685adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ( 0 · 𝑥) = ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥))
8784adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 0 = (0g𝑅))
8883, 86, 873eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
8988adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
9076, 78, 893eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → 1 = 0 )
9174, 90mteqand 3023 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
92 eldifsn 4795 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼𝐵𝐼0 ))
9373, 91, 92sylanbrc 581 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
9420, 93sylan2b 592 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
9520, 77sylan2b 592 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
9610, 19, 38, 55, 63, 72, 94, 95isgrpd 18953 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
9784sneqd 4645 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } = {(0g𝑅)})
983, 97difeq12d 4122 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
9998oveq2d 7440 . . . . 5 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
10099eleq1d 2811 . . . 4 (𝜑 → (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ↔ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
101100anbi2d 628 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp)))
1021, 96, 101mpbi2and 710 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
103 eqid 2726 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
1047, 81, 103isdrng2 20721 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
105102, 104sylibr 233 1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  cdif 3944  wss 3947  {csn 4633  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  s cress 17242  +gcplusg 17266  .rcmulr 17267  0gc0g 17454  Grpcgrp 18928  mulGrpcmgp 20117  1rcur 20164  Ringcrg 20216  DivRingcdr 20707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-drng 20709
This theorem is referenced by:  isdrngrd  20744  cndrng  21390  cndrngOLD  21391  erngdvlem4  40690
  Copyright terms: Public domain W3C validator