Theorem isdrngd 19263

Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a left-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngd 19263 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngd.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngd.j	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
isdrngd.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		difss 3993	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
3		isdrngd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4	2, 3	syl5sseq 3904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2773	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
6		eqid 2773	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		eqid 2773	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	6, 7	mgpbas 18981	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9	5, 8	ressbas2 16410	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
10	4, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11		isdrngd.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
12		fvex 6510	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13	3, 12	syl6eqel 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		difexg 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
15		eqid 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	6, 15	mgpplusg 18979	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
17	5, 16	ressplusg 16467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
18	13, 14, 17	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
19	11, 18	eqtrd 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
20		eldifsn 4590	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
21		eldifsn 4590	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
22	7, 15	ringcl 19047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 22	syl3an1 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24	23	3expib 1103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
25	3	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
26	3	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
27	25, 26	anbi12d 622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
28	11	oveqd 6992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
29	28, 3	eleq12d 2855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
30	24, 27, 29	3imtr4d 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵))
31	30	3impib 1097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
32	31	3adant2r 1160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33	32	3adant3r 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
34		isdrngd.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
35		eldifsn 4590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 ))
36	33, 34, 35	sylanbrc 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
37	21, 36	syl3an3b 1386	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
38	20, 37	syl3an2b 1385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
39	7, 15	ringass 19050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	39	ex 405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
41	1, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
42	3	eleq2d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
43	25, 26, 42	3anbi123d 1416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
44		eqidd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = 𝑧)
45	11, 28, 44	oveq123d 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧))
46		eqidd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑥 = 𝑥)
47	11	oveqd 6992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
48	11, 46, 47	oveq123d 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
49	45, 48	eqeq12d 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
50	41, 43, 49	3imtr4d 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
51		eldifi 3988	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
52		eldifi 3988	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53		eldifi 3988	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝐵)
54	51, 52, 53	3anim123i 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
55	50, 54	impel 498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
56		eqid 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
57	7, 56	ringidcl 19054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	1, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59		isdrngd.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
60	58, 59, 3	3eltr4d 2876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
61		isdrngd.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
62		eldifsn 4590	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ≠ 0 ))
63	60, 61, 62	sylanbrc 575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
64	7, 15, 56	ringlidm 19057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
65	64	ex 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
66	1, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
67	11, 59, 46	oveq123d 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
68	67	eqeq1d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
69	66, 25, 68	3imtr4d 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 1 · 𝑥) = 𝑥))
70	69	imp 398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
71	70	adantrr 705	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
72	20, 71	sylan2b 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
73		isdrngd.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
74		isdrngd.j	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
75		eldifsn 4590	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ))
76	73, 74, 75	sylanbrc 575	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
77	20, 76	sylan2b 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78		isdrngd.k	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
79	20, 78	sylan2b 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
80	10, 19, 38, 55, 63, 72, 77, 79	isgrpd 17926	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
81		isdrngd.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
82	81	sneqd 4448	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘𝑅)})
83	3, 82	difeq12d 3985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
84	83	oveq2d 6991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
85	84	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ↔ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
86	85	anbi2d 620	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)))
87	1, 80, 86	mpbi2and 700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
88		eqid 2773	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
89		eqid 2773	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
90	7, 88, 89	isdrng2 19248	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
91	87, 90	sylibr 226	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2962  Vcvv 3410   ∖ cdif 3821   ⊆ wss 3824  {csn 4436  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  Basecbs 16338   ↾_s cress 16339  +_gcplusg 16420  ._rcmulr 16421  0_gc0g 16568  Grpcgrp 17904  mulGrpcmgp 18975  1_rcur 18987  Ringcrg 19033  DivRingcdr 19238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-tpos 7694  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-0g 16570  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-grp 17907  df-minusg 17908  df-mgp 18976  df-ur 18988  df-ring 19035  df-oppr 19109  df-dvdsr 19127  df-unit 19128  df-invr 19158  df-dvr 19169  df-drng 19240

This theorem is referenced by:  isdrngrd  19264  cndrng  20292  erngdvlem4  37605