MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngd 20782
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a left-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngrd 20783 for the characterization using right-inverses. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t (𝜑· = (.r𝑅))
isdrngd.z (𝜑0 = (0g𝑅))
isdrngd.u (𝜑1 = (1r𝑅))
isdrngd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o (𝜑10 )
isdrngd.i ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
isdrngd.k ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngd (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 difss 4146 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
3 isdrngd.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
42, 3sseqtrid 4048 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅))
5 eqid 2735 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
6 eqid 2735 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
86, 7mgpbas 20158 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
95, 8ressbas2 17283 . . . . 5 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
104, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11 isdrngd.t . . . . 5 (𝜑· = (.r𝑅))
12 fvex 6920 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
133, 12eqeltrdi 2847 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
14 difexg 5335 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
15 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
166, 15mgpplusg 20156 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
175, 16ressplusg 17336 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1813, 14, 173syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (.r𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1911, 18eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑· = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
20 eldifsn 4791 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥𝐵𝑥0 ))
21 eldifsn 4791 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
227, 15ringcl 20268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
231, 22syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24233expib 1121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
253eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
263eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
2725, 26anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
2811oveqd 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
2928, 3eleq12d 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
3024, 27, 293imtr4d 294 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵))
31303impib 1115 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
32313adant2r 1178 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33323adant3r 1180 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
34 isdrngd.n . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
35 eldifsn 4791 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 ))
3633, 34, 35sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
3721, 36syl3an3b 1404 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
3820, 37syl3an2b 1403 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
397, 15ringass 20271 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4039ex 412 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
411, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
423eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
4325, 26, 423anbi123d 1435 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
44 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 = 𝑧)
4511, 28, 44oveq123d 7452 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧))
46 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (𝜑𝑥 = 𝑥)
4711oveqd 7448 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r𝑅)𝑧))
4811, 46, 47oveq123d 7452 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4945, 48eqeq12d 2751 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧))))
5041, 43, 493imtr4d 294 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
51 eldifi 4141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
52 eldifi 4141 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦𝐵)
53 eldifi 4141 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑧𝐵)
5451, 52, 533anim123i 1150 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵))
5550, 54impel 505 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
56 eqid 2735 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
577, 56ringidcl 20280 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
581, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59 isdrngd.u . . . . . 6 (𝜑1 = (1r𝑅))
6058, 59, 33eltr4d 2854 . . . . 5 (𝜑1𝐵)
61 isdrngd.o . . . . 5 (𝜑10 )
62 eldifsn 4791 . . . . 5 ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1𝐵10 ))
6360, 61, 62sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
647, 15, 56ringlidm 20283 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
6564ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
661, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
6711, 59, 46oveq123d 7452 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 · 𝑥) = ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥))
6867eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝜑 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
6966, 25, 683imtr4d 294 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐵 → ( 1 · 𝑥) = 𝑥))
7069imp 406 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
7170adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
7220, 71sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
73 isdrngd.i . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼𝐵)
7461adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 10 )
75 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → 𝐼 = 0 )
7675oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → (𝐼 · 𝑥) = ( 0 · 𝑥))
77 isdrngd.k . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
7877adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
7925biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
8079adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
81 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
827, 15, 81ringlz 20307 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅))
831, 80, 82syl2an2r 685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅))
84 isdrngd.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0 = (0g𝑅))
8511, 84, 46oveq123d 7452 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( 0 · 𝑥) = ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥))
8685adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ( 0 · 𝑥) = ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑥))
8784adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 0 = (0g𝑅))
8883, 86, 873eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
8988adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
9076, 78, 893eqtr3d 2783 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) ∧ 𝐼 = 0 ) → 1 = 0 )
9174, 90mteqand 3031 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼0 )
92 eldifsn 4791 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼𝐵𝐼0 ))
9373, 91, 92sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑥0 )) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
9420, 93sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
9520, 77sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
9610, 19, 38, 55, 63, 72, 94, 95isgrpd 18989 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
9784sneqd 4643 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } = {(0g𝑅)})
983, 97difeq12d 4137 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
9998oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
10099eleq1d 2824 . . . 4 (𝜑 → (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ↔ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
101100anbi2d 630 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp)))
1021, 96, 101mpbi2and 712 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
103 eqid 2735 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
1047, 81, 103isdrng2 20760 . 2 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp))
105102, 104sylibr 234 1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  DivRingcdr 20746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748
This theorem is referenced by:  isdrngrd  20783  cndrng  21429  cndrngOLD  21430  erngdvlem4  40974
  Copyright terms: Public domain W3C validator