MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngrd 20534
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element ๐‘ฅ should have a right-inverse ๐ผ(๐‘ฅ). See isdrngd 20533 for the characterization using left-inverses. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isdrngd.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isdrngd.z (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
isdrngd.u (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
isdrngd.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
isdrngd.n ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
isdrngd.o (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
isdrngd.i ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
isdrngrd.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngrd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ผ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem isdrngrd
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
2 eqid 2730 . . . . 5 (opprโ€˜๐‘…) = (opprโ€˜๐‘…)
3 eqid 2730 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3opprbas 20232 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
51, 4eqtrdi 2786 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
6 eqidd 2731 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
7 isdrngd.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8 eqid 2730 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
92, 8oppr0 20240 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
107, 9eqtrdi 2786 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
11 isdrngd.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
12 eqid 2730 . . . . 5 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
132, 12oppr1 20241 . . . 4 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
1411, 13eqtrdi 2786 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
15 isdrngd.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
162opprring 20238 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
1715, 16syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
18 eleq1w 2814 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
19 neeq1 3001 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0 ))
2018, 19anbi12d 629 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )))
21203anbi2d 1439 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 ))))
22 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง))
2322neeq1d 2998 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ))
2421, 23imbi12d 343 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )))
25 eleq1w 2814 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ง โˆˆ ๐ต))
26 neeq1 3001 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” ๐‘ง โ‰  0 ))
2725, 26anbi12d 629 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โ†” (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )))
28273anbi3d 1440 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 ))))
29 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง))
3029neeq1d 2998 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 โ†” (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ))
3128, 30imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )))
32 isdrngd.t . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
33323ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
3433oveqd 7428 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
35 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
36 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
373, 35, 2, 36opprmul 20228 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)
3834, 37eqtr4di 2788 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))
39 isdrngd.n . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
4038, 39eqnetrrd 3007 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 )
41403com23 1124 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 )
4231, 41chvarvv 2000 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )
4324, 42chvarvv 2000 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )
44 isdrngd.o . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
45 isdrngd.i . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
463, 35, 2, 36opprmul 20228 . . . 4 (๐ผ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ)
4732adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
4847oveqd 7428 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ))
49 isdrngrd.k . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = 1 )
5048, 49eqtr3d 2772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ) = 1 )
5146, 50eqtrid 2782 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = 1 )
525, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 51isdrngd 20533 . 2 (๐œ‘ โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ DivRing)
532opprdrng 20532 . 2 (๐‘… โˆˆ DivRing โ†” (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ DivRing)
5452, 53sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  1rcur 20075  Ringcrg 20127  opprcoppr 20224  DivRingcdr 20500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  40173
  Copyright terms: Public domain W3C validator