MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrngrd 20535
Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element ๐‘ฅ should have a right-inverse ๐ผ(๐‘ฅ). See isdrngd 20534 for the characterization using left-inverses. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isdrngd.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isdrngd.z (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
isdrngd.u (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
isdrngd.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
isdrngd.n ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
isdrngd.o (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
isdrngd.i ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
isdrngrd.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
isdrngrd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, 0   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐ผ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem isdrngrd
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
2 eqid 2731 . . . . 5 (opprโ€˜๐‘…) = (opprโ€˜๐‘…)
3 eqid 2731 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3opprbas 20233 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
51, 4eqtrdi 2787 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
6 eqidd 2732 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
7 isdrngd.z . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜๐‘…))
8 eqid 2731 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
92, 8oppr0 20241 . . . 4 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
107, 9eqtrdi 2787 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 = (0gโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
11 isdrngd.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜๐‘…))
12 eqid 2731 . . . . 5 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
132, 12oppr1 20242 . . . 4 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
1411, 13eqtrdi 2787 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
15 isdrngd.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
162opprring 20239 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
1715, 16syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
18 eleq1w 2815 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
19 neeq1 3002 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0 ))
2018, 19anbi12d 630 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )))
21203anbi2d 1440 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 ))))
22 oveq1 7419 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) = (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง))
2322neeq1d 2999 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ))
2421, 23imbi12d 343 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )))
25 eleq1w 2815 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ง โˆˆ ๐ต))
26 neeq1 3002 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0 โ†” ๐‘ง โ‰  0 ))
2725, 26anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โ†” (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )))
28273anbi3d 1441 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 ))))
29 oveq2 7420 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง))
3029neeq1d 2999 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 โ†” (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 ))
3128, 30imbi12d 343 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )))
32 isdrngd.t . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
33323ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
3433oveqd 7429 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ))
35 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
36 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
373, 35, 2, 36opprmul 20229 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ)
3834, 37eqtr4di 2789 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))
39 isdrngd.n . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ‰  0 )
4038, 39eqnetrrd 3008 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 )
41403com23 1125 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) โ‰  0 )
4231, 41chvarvv 2001 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฆ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )
4324, 42chvarvv 2001 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 ) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ง) โ‰  0 )
44 isdrngd.o . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0 )
45 isdrngd.i . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
463, 35, 2, 36opprmul 20229 . . . 4 (๐ผ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ)
4732adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
4847oveqd 7429 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ))
49 isdrngrd.k . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = 1 )
5048, 49eqtr3d 2773 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐ผ) = 1 )
5146, 50eqtrid 2783 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 )) โ†’ (๐ผ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = 1 )
525, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 51isdrngd 20534 . 2 (๐œ‘ โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ DivRing)
532opprdrng 20533 . 2 (๐‘… โˆˆ DivRing โ†” (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ DivRing)
5452, 53sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  1rcur 20076  Ringcrg 20128  opprcoppr 20225  DivRingcdr 20501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  40174
  Copyright terms: Public domain W3C validator