Theorem isdrngrd 19932

Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a right-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngd 19931 for the characterization using left-inverses. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngd.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngd.j	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
isdrngrd.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngrd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngrd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	2, 3	opprbas 19784	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
5	1, 4	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅)))
6		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅)))
7		isdrngd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 8	oppr0 19790	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
10	7, 9	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(oppr‘𝑅)))
11		isdrngd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	2, 12	oppr1 19791	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 13	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(oppr‘𝑅)))
15		isdrngd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	2	opprring 19788	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
18		eleq1w 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19		neeq1 3005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
20	18, 19	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )))
21	20	3anbi2d 1439	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
22		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
23	22	neeq1d 3002	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
25		eleq1w 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
26		neeq1 3005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0 ))
27	25, 26	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )))
28	27	3anbi3d 1440	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
29		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
30	29	neeq1d 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
32		isdrngd.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
33	32	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
34	33	oveqd 7272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
35		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
36		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
37	3, 35, 2, 36	opprmul 19780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
38	34, 37	eqtr4di 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
39		isdrngd.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
40	38, 39	eqnetrrd 3011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
41	40	3com23 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
42	31, 41	chvarvv 2003	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
43	24, 42	chvarvv 2003	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
44		isdrngd.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
45		isdrngd.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
46		isdrngd.j	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
47	3, 35, 2, 36	opprmul 19780	. . . 4 ⊢ (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼)
48	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
49	48	oveqd 7272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼))
50		isdrngrd.k	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )
51	49, 50	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝐼) = 1 )
52	47, 51	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
53	5, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 46, 52	isdrngd 19931	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
54	2	opprdrng 19930	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
55	53, 54	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  opp_rcoppr 19776  DivRingcdr 19906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908

This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  38940