Theorem isdrngrd 20676

Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a right-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngd 20675 for the characterization using left-inverses. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngd.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngrd.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngrd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngrd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	2, 3	opprbas 20256	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
5	1, 4	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅)))
6		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅)))
7		isdrngd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 8	oppr0 20262	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
10	7, 9	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(oppr‘𝑅)))
11		isdrngd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	2, 12	oppr1 20263	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 13	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(oppr‘𝑅)))
15		isdrngd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	2	opprring 20260	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
18		eleq1w 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19		neeq1 2990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
20	18, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )))
21	20	3anbi2d 1443	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
22		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
23	22	neeq1d 2987	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
25		eleq1w 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
26		neeq1 2990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0 ))
27	25, 26	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )))
28	27	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
29		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
30	29	neeq1d 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
32		isdrngd.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
34	33	oveqd 7358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
35		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
36		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
37	3, 35, 2, 36	opprmul 20253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
38	34, 37	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
39		isdrngd.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
40	38, 39	eqnetrrd 2996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
41	40	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
42	31, 41	chvarvv 1990	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
43	24, 42	chvarvv 1990	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
44		isdrngd.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
45		isdrngd.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
46	3, 35, 2, 36	opprmul 20253	. . . 4 ⊢ (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼)
47	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
48	47	oveqd 7358	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼))
49		isdrngrd.k	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )
50	48, 49	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝐼) = 1 )
51	46, 50	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
52	5, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 51	isdrngd 20675	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
53	2	opprdrng 20674	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
54	52, 53	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157  0_gc0g 17338  1_rcur 20094  Ringcrg 20146  opp_rcoppr 20249  DivRingcdr 20639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-drng 20641

This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  41038