Theorem isdrngrd 20675

Description: Properties that characterize a division ring among rings: it should be nonzero, have no nonzero zero-divisors, and every nonzero element 𝑥 should have a right-inverse 𝐼(𝑥). See isdrngd 20674 for the characterization using left-inverses. (Contributed by NM, 10-Aug-2013.) Remove hypothesis. (Revised by SN, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngd.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngd.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngd.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngd.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngrd.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngrd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngrd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	2, 3	opprbas 20252	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
5	1, 4	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅)))
6		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅)))
7		isdrngd.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 8	oppr0 20258	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
10	7, 9	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(oppr‘𝑅)))
11		isdrngd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	2, 12	oppr1 20259	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
14	11, 13	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(oppr‘𝑅)))
15		isdrngd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	2	opprring 20256	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
18		eleq1w 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
19		neeq1 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0 ))
20	18, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )))
21	20	3anbi2d 1443	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
22		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
23	22	neeq1d 2984	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
25		eleq1w 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
26		neeq1 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0 ))
27	25, 26	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )))
28	27	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 ))))
29		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧))
30	29	neeq1d 2984	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 ))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )))
32		isdrngd.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
34	33	oveqd 7404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
35		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
36		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
37	3, 35, 2, 36	opprmul 20249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
38	34, 37	eqtr4di 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
39		isdrngd.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
40	38, 39	eqnetrrd 2993	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
41	40	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) ≠ 0 )
42	31, 41	chvarvv 1989	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
43	24, 42	chvarvv 1989	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑧) ≠ 0 )
44		isdrngd.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
45		isdrngd.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
46	3, 35, 2, 36	opprmul 20249	. . . 4 ⊢ (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼)
47	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → · = (.r‘𝑅))
48	47	oveqd 7404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = (𝑥(.r‘𝑅)𝐼))
49		isdrngrd.k	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝐼) = 1 )
50	48, 49	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑅)𝐼) = 1 )
51	46, 50	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
52	5, 6, 10, 14, 17, 43, 44, 45, 51	isdrngd 20674	. 2 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
53	2	opprdrng 20673	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ DivRing)
54	52, 53	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  opp_rcoppr 20245  DivRingcdr 20638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-drng 20640

This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  40993