Theorem p1evtxdp1 29600

Description: If an edge 𝐸 (not being a loop) which contains vertex 𝑈 is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of 𝑈 is increased by 1. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
p1evtxdp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐸)
p1evtxdp1.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdp1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))

Proof of Theorem p1evtxdp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		p1evtxdeq.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		p1evtxdeq.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		p1evtxdeq.fv	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
5		p1evtxdeq.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6		p1evtxdeq.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
7		p1evtxdeq.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
8		p1evtxdeq.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		p1evtxdp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	p1evtxdeqlem 29598	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
11	1	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 ∈ V
12		snex 5385	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
14		opiedgfv 29092	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
15	13, 14	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
16		opvtxfv 29089	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
17	13, 16	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
18		p1evtxdp1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐸)
19		p1evtxdp1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
20	15, 17, 6, 8, 9, 18, 19	1hevtxdg1 29592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈) = 1)
21	20	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
22	10, 21	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  Vcvv 3442   ∪ cun 3901  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039   ≤ cle 11179  2c2 12212   +_𝑒 cxad 13036  ♯chash 14265  Vtxcvtx 29081  iEdgciedg 29082  VtxDegcvtxdg 29551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-xadd 13039  df-fz 13436  df-hash 14266  df-vtx 29083  df-iedg 29084  df-vtxdg 29552

This theorem is referenced by:  vdegp1bi  29623