Theorem p1evtxdp1 29494

Description: If an edge 𝐸 (not being a loop) which contains vertex 𝑈 is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of 𝑈 is increased by 1. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
p1evtxdp1.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐸)
p1evtxdp1.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdp1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))

Proof of Theorem p1evtxdp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		p1evtxdeq.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		p1evtxdeq.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		p1evtxdeq.fv	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
5		p1evtxdeq.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6		p1evtxdeq.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
7		p1evtxdeq.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
8		p1evtxdeq.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		p1evtxdp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	p1evtxdeqlem 29492	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
11	1	fvexi 6890	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 ∈ V
12		snex 5406	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
14		opiedgfv 28986	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
15	13, 14	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
16		opvtxfv 28983	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
17	13, 16	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
18		p1evtxdp1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐸)
19		p1evtxdp1.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
20	15, 17, 6, 8, 9, 18, 19	1hevtxdg1 29486	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈) = 1)
21	20	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
22	10, 21	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3036  Vcvv 3459   ∪ cun 3924  𝒫 cpw 4575  {csn 4601  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  Fun wfun 6525  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   ≤ cle 11270  2c2 12295   +_𝑒 cxad 13126  ♯chash 14348  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  VtxDegcvtxdg 29445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-xadd 13129  df-fz 13525  df-hash 14349  df-vtx 28977  df-iedg 28978  df-vtxdg 29446

This theorem is referenced by:  vdegp1bi  29517