Theorem swrdval2 14601

Description: Value of the subword extractor in its intended domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdval2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝐴

Proof of Theorem swrdval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		elfzelz 13470	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ ℤ)
4		elfzelz 13470	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant3 1141	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		swrdval 14598	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
8		elfzuz 13466	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
9	8	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
10		fzoss1 13633	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^𝐿))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^𝐿))
12		elfzuz3 13467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
13	12	3ad2ant3 1141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
14		fzoss2 13634	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
16	11, 15	sstrd 3925	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
17		wrddm 14475	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
18	17	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
19	16, 18	sseqtrrd 3952	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)
20	19	iftrued 4463	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
21	7, 20	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  ifcif 4455  ⟨cop 4562   ↦ cmpt 5154  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030   + caddc 11033   − cmin 11369  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780  ...cfz 13453  ..^cfzo 13600  ♯chash 14284  Word cword 14467   substr csubstr 14595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-hash 14285  df-word 14468  df-substr 14596

This theorem is referenced by:  swrdlen  14602  swrdfv  14603  swrdwrdsymb  14617  pfxmpt  14633  swrdswrd  14659  swrdrn2  33034  swrdrn3  33035  cshw1s2  33040