MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdval2 14636
Description: Value of the subword extractor in its intended domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdval2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝐴

Proof of Theorem swrdval2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 elfzelz 13541 . . . 4 (𝐹 ∈ (0...𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
323ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ ℤ)
4 elfzelz 13541 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
543ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
6 swrdval 14633 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
71, 3, 5, 6syl3anc 1368 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
8 elfzuz 13537 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝐿) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
983ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
10 fzoss1 13699 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^𝐿))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^𝐿))
12 elfzuz3 13538 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿))
13123ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿))
14 fzoss2 13700 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
1611, 15sstrd 3992 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
17 wrddm 14511 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
18173ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
1916, 18sseqtrrd 4023 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)
2019iftrued 4540 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
217, 20eqtrd 2768 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949  c0 4326  ifcif 4532  cop 4638  cmpt 5235  dom cdm 5682  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146   + caddc 11149  cmin 11482  cz 12596  cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  chash 14329  Word cword 14504   substr csubstr 14630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-substr 14631
This theorem is referenced by:  swrdlen  14637  swrdfv  14638  swrdwrdsymb  14652  pfxmpt  14668  swrdswrd  14695  swrdrn2  32696  swrdrn3  32697  cshw1s2  32702
  Copyright terms: Public domain W3C validator