Theorem ressply1vsca 22446

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1vsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
6	4, 5	ply1bas 22410	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
7		1on 8473	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
9		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
11	1, 2, 3, 6, 8, 9, 10	ressmplvsca 22236	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
13	4, 3, 12	ply1vsca 22439	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))
14	13	oveqi 7433	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))𝑌)
15		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
17	15, 1, 16	ply1vsca 22439	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
18	5	fvexi 6900	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
19		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
20	19, 16	ressvsca 17424	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
21	18, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
22		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
23	10, 22	ressvsca 17424	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
24	18, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
25	17, 21, 24	3eqtr3i 2796	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
26	25	oveqi 7433	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
27	11, 14, 26	3eqtr4g 2825	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  Oncon0 6365  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  1_oc1o 8453  Basecbs 17296   ↾_s cress 17317   ·_𝑠 cvsca 17341  SubRingcsubrg 20723   mPoly cmpl 22111  Poly₁cpl1 22392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-tset 17356  df-ple 17357  df-subg 19238  df-ring 20366  df-subrg 20724  df-psr 22114  df-mpl 22116  df-opsr 22118  df-psr1 22395  df-ply1 22397

This theorem is used by:  evls1vsca  22588  asclply1subcl  22589