Theorem ressply1vsca 22144

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1vsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
6	4, 5	ply1bas 22107	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
7		1on 8397	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
9		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
11	1, 2, 3, 6, 8, 9, 10	ressmplvsca 21966	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
13	4, 3, 12	ply1vsca 22137	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))
14	13	oveqi 7359	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))𝑌)
15		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
17	15, 1, 16	ply1vsca 22137	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
18	5	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
19		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
20	19, 16	ressvsca 17248	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
21	18, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
22		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
23	10, 22	ressvsca 17248	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
24	18, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
25	17, 21, 24	3eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
26	25	oveqi 7359	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
27	11, 14, 26	3eqtr4g 2791	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  Oncon0 6306  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1_oc1o 8378  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141   ·_𝑠 cvsca 17165  SubRingcsubrg 20484   mPoly cmpl 21843  Poly₁cpl1 22089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-tset 17180  df-ple 17181  df-subg 19036  df-ring 20153  df-subrg 20485  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22092  df-ply1 22094

This theorem is referenced by:  evls1vsca  22288  asclply1subcl  22289