MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1vsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressply1vsca 22154
Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
ressply1.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
ressply1.u π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
ressply1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
ressply1.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
ressply1.p 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ressply1vsca ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))

Proof of Theorem ressply1vsca
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 ressply1.h . . 3 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
3 eqid 2725 . . 3 (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4 ressply1.u . . . 4 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
5 ressply1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
64, 5ply1bas 22117 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝐻))
7 1on 8492 . . . 4 1o ∈ On
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 1o ∈ On)
9 ressply1.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
10 eqid 2725 . . 3 ((1o mPoly 𝑅) β†Ύs 𝐡) = ((1o mPoly 𝑅) β†Ύs 𝐡)
111, 2, 3, 6, 8, 9, 10ressmplvsca 21971 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜(1o mPoly 𝐻))π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜((1o mPoly 𝑅) β†Ύs 𝐡))π‘Œ))
12 eqid 2725 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
134, 3, 12ply1vsca 22147 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜(1o mPoly 𝐻))
1413oveqi 7426 . 2 (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜(1o mPoly 𝐻))π‘Œ)
15 ressply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
16 eqid 2725 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
1715, 1, 16ply1vsca 22147 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜(1o mPoly 𝑅))
185fvexi 6904 . . . . 5 𝐡 ∈ V
19 ressply1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
2019, 16ressvsca 17319 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
2118, 20ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
22 eqid 2725 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 β€˜(1o mPoly 𝑅))
2310, 22ressvsca 17319 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ ( ·𝑠 β€˜(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 β€˜((1o mPoly 𝑅) β†Ύs 𝐡)))
2418, 23ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 β€˜((1o mPoly 𝑅) β†Ύs 𝐡))
2517, 21, 243eqtr3i 2761 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜((1o mPoly 𝑅) β†Ύs 𝐡))
2625oveqi 7426 . 2 (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜((1o mPoly 𝑅) β†Ύs 𝐡))π‘Œ)
2711, 14, 263eqtr4g 2790 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  Oncon0 6365  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  1oc1o 8473  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203   ·𝑠 cvsca 17231  SubRingcsubrg 20505   mPoly cmpl 21838  Poly1cpl1 22099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-ple 17247  df-subg 19077  df-ring 20174  df-subrg 20507  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-ply1 22104
This theorem is referenced by:  evls1vsca  22296  asclply1subcl  22297
  Copyright terms: Public domain W3C validator