Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1vsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressply1vsca 20864
 Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
ressply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
ressply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressply1vsca ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1vsca
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 ressply1.h . . 3 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
3 eqid 2801 . . 3 (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4 ressply1.u . . . 4 𝑈 = (Poly1𝐻)
5 eqid 2801 . . . 4 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
6 ressply1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑈)
74, 5, 6ply1bas 20827 . . 3 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
8 1on 8096 . . . 4 1o ∈ On
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1o ∈ On)
10 ressply1.2 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11 eqid 2801 . . 3 ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmplvsca 20702 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13 eqid 2801 . . . 4 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
144, 3, 13ply1vsca 20858 . . 3 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))
1514oveqi 7152 . 2 (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))𝑌)
16 ressply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
17 eqid 2801 . . . . 5 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
1816, 1, 17ply1vsca 20858 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
196fvexi 6663 . . . . 5 𝐵 ∈ V
20 ressply1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
2120, 17ressvsca 16646 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃))
2219, 21ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃)
23 eqid 2801 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
2411, 23ressvsca 16646 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
2519, 24ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
2618, 22, 253eqtr3i 2832 . . 3 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
2726oveqi 7152 . 2 (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
2812, 15, 273eqtr4g 2861 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444  Oncon0 6163  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1oc1o 8082  Basecbs 16478   ↾s cress 16479   ·𝑠 cvsca 16564  SubRingcsubrg 19527   mPoly cmpl 20594  PwSer1cps1 20807  Poly1cpl1 20809 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-ple 16580  df-subg 18271  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-psr 20597  df-mpl 20599  df-opsr 20601  df-psr1 20812  df-ply1 20814 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator