Theorem ressply1vsca 21754

Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1vsca	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
6		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	4, 5, 6	ply1bas 21719	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
8		1on 8478	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
10		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
12	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11	ressmplvsca 21586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	4, 3, 13	ply1vsca 21748	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))
15	14	oveqi 7422	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝐻))𝑌)
16		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
18	16, 1, 17	ply1vsca 21748	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
19	6	fvexi 6906	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
21	20, 17	ressvsca 17289	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
23		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
24	11, 23	ressvsca 17289	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
25	19, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
26	18, 22, 25	3eqtr3i 2769	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
27	26	oveqi 7422	. 2 ⊢ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
28	12, 15, 27	3eqtr4g 2798	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  Oncon0 6365  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1_oc1o 8459  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173   ·_𝑠 cvsca 17201  SubRingcsubrg 20315   mPoly cmpl 21459  PwSer₁cps1 21699  Poly₁cpl1 21701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-ple 17217  df-subg 19003  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-psr 21462  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-ply1 21706

This theorem is referenced by:  evls1vsca  32650  asclply1subcl  32660