MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1vscale Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1vscale 25492
Description: The degree of a scalar times a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y ๐‘Œ = (Poly1โ€˜๐‘…)
deg1addle.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
deg1addle.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
deg1vscale.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
deg1vscale.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
deg1vscale.p ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
deg1vscale.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
deg1vscale.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
deg1vscale (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐น ยท ๐บ)) โ‰ค (๐ทโ€˜๐บ))

Proof of Theorem deg1vscale
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (1o mPoly ๐‘…) = (1o mPoly ๐‘…)
2 deg1addle.d . . 3 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
32deg1fval 25468 . 2 ๐ท = (1o mDeg ๐‘…)
4 1on 8428 . . 3 1o โˆˆ On
54a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ 1o โˆˆ On)
6 deg1addle.r . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
7 deg1addle.y . . 3 ๐‘Œ = (Poly1โ€˜๐‘…)
8 eqid 2733 . . 3 (PwSer1โ€˜๐‘…) = (PwSer1โ€˜๐‘…)
9 deg1vscale.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
107, 8, 9ply1bas 21589 . 2 ๐ต = (Baseโ€˜(1o mPoly ๐‘…))
11 deg1vscale.k . 2 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
12 deg1vscale.p . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
137, 1, 12ply1vsca 21620 . 2 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜(1o mPoly ๐‘…))
14 deg1vscale.f . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
15 deg1vscale.g . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
161, 3, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 15mdegvscale 25463 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐น ยท ๐บ)) โ‰ค (๐ทโ€˜๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  Oncon0 6321  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   โ‰ค cle 11198  Basecbs 17091   ยท๐‘  cvsca 17145  Ringcrg 19972   mPoly cmpl 21331  PwSer1cps1 21569  Poly1cpl1 21571   deg1 cdg1 25439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-cnfld 20820  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-ply1 21576  df-mdeg 25440  df-deg1 25441
This theorem is referenced by:  ply1degltlss  32344  ply1degltdimlem  32381
  Copyright terms: Public domain W3C validator