Theorem deg1vscale 26144

Description: The degree of a scalar times a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1vscale.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1vscale.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1vscale.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
deg1vscale.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
deg1vscale.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
deg1vscale	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1vscale

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3	2	deg1fval 26120	. 2 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		1on 8445	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
6		deg1addle.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1addle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
8		deg1vscale.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9	7, 8	ply1bas 22237	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
10		deg1vscale.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
11		deg1vscale.p	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
12	7, 1, 11	ply1vsca 22266	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
13		deg1vscale.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
14		deg1vscale.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
15	1, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 13, 14	mdegvscale 26115	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  Oncon0 6342  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1_oc1o 8425   ≤ cle 11214  Basecbs 17228   ·_𝑠 cvsca 17273  Ringcrg 20262   mPoly cmpl 21938  Poly₁cpl1 22219  deg₁cdg1 26094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-cnfld 21405  df-psr 21941  df-mpl 21943  df-opsr 21945  df-psr1 22222  df-ply1 22224  df-mdeg 26095  df-deg1 26096

This theorem is referenced by:  ply1degltlss  33753  q1pvsca  33761  ply1degltdimlem  33880