Theorem ndvdsadd 16447

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 + 1, 𝑁 + 2... 𝑁 + (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdsadd	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		nnre 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
3		posdif 11756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
5	4	pm5.32i 574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) ↔ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
6		nnz 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
7		nnz 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8		zsubcl 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ)
10		elnnz 12623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
11	10	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
12	9, 11	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
13	5, 12	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
14	13	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
15		nngt0 12297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
16		ltsubpos 11755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
17	1, 2, 16	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
19	18	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)))
20	15, 19	mpdi 45	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
21	20	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)
22	21	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)
23	14, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
24	23	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
25		ndvdssub 16446	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
26	24, 25	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
27		zaddcl 12657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
28	7, 27	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
29		dvdssubr 16342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
30	6, 28, 29	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
31	30	an12s 649	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
32	31	3impb 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
33		zcn 12618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34		nncn 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
35		nncn 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
36		subsub3 11541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
37	33, 34, 35, 36	syl3an 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
38	37	breq2d 5155	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
39	32, 38	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
40	39	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
41	40	3adant3r 1182	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
42	26, 41	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℤcz 12613   ∥ cdvds 16290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291

This theorem is referenced by:  ndvdsp1  16448  ndvdsi  16449