Theorem ndvdsadd 16047

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 + 1, 𝑁 + 2... 𝑁 + (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdsadd	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		nnre 11910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
3		posdif 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
4	1, 2, 3	syl2anr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
5	4	pm5.32i 574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) ↔ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
6		nnz 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
7		nnz 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8		zsubcl 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ)
10		elnnz 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
11	10	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
12	9, 11	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
13	5, 12	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
14	13	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
15		nngt0 11934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
16		ltsubpos 11397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
17	1, 2, 16	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
18	17	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
19	18	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)))
20	15, 19	mpdi 45	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
21	20	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)
22	21	adantrr 713	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)
23	14, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
24	23	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
25		ndvdssub 16046	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
26	24, 25	syld3an3 1407	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
27		zaddcl 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
28	7, 27	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
29		dvdssubr 15942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
30	6, 28, 29	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
31	30	an12s 645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
32	31	3impb 1113	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
33		zcn 12254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34		nncn 11911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
35		nncn 11911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
36		subsub3 11183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
37	33, 34, 35, 36	syl3an 1158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
38	37	breq2d 5082	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
39	32, 38	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
40	39	notbid 317	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
41	40	3adant3r 1179	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
42	26, 41	sylibrd 258	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   < clt 10940   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  ndvdsp1  16048  ndvdsi  16049