Theorem repswsymballbi 14851

Description: A word is a "repeated symbol word" iff each of its symbols equals the first symbol of the word. (Contributed by AV, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswsymballbi	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))

Distinct variable group:   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repswsymballbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = (♯‘∅))
2		hash0 14431	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
4		fvex 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊‘0) ∈ V
5		repsw0 14848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅
7	6	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ ∅ = ((𝑊‘0) repeatS 0)
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ∅)
9		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2823	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
12		ral0 4457	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)
13		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
14		fzo0 13739	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^0) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
16	15	raleqdv 3321	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
17	12, 16	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
19	11, 18	2thd 268	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
20	3, 19	mpancom 701	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
21	20	a1d 26	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
22		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
24		fstwrdne 14620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
25	24	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
26		lencl 14598	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
27	26	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28		repsdf2 14849	. . . . 5 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
29	25, 27, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
30		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
31		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
32	30, 31	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)))
33	32	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
34	23, 29, 33	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
35	34	ex 418	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
36	21, 35	pm2.61ine 3040	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3453  ∅c0 4282  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11125  ℕ₀cn0 12529  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578   repeatS creps 14839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-reps 14840

This theorem is used by:  cshw1repsw  14894  cshwsidrepsw  17187  cshwshashlem1  17189  cshwshash  17198