MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswsymballbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswsymballbi 14675
Description: A word is a "repeated symbol word" iff each of its symbols equals the first symbol of the word. (Contributed by AV, 10-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswsymballbi (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
Distinct variable group:   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repswsymballbi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = (♯‘∅))
2 hash0 14274 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
31, 2eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
4 fvex 6860 . . . . . . . 8 (𝑊‘0) ∈ V
5 repsw0 14672 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) ∈ V → ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅
76eqcomi 2746 . . . . . 6 ∅ = ((𝑊‘0) repeatS 0)
8 simpr 486 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ∅)
9 oveq2 7370 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
109adantr 482 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
117, 8, 103eqtr4a 2803 . . . . 5 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
12 ral0 4475 . . . . . . 7 𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)
13 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
14 fzo0 13603 . . . . . . . . 9 (0..^0) = ∅
1513, 14eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
1615raleqdv 3316 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = 0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
1712, 16mpbiri 258 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 0 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1817adantr 482 . . . . 5 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1911, 182thd 265 . . . 4 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
203, 19mpancom 687 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
2120a1d 25 . 2 (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
22 df-3an 1090 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
2322a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
24 fstwrdne 14450 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
2524ancoms 460 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
26 lencl 14428 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2726adantl 483 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28 repsdf2 14673 . . . . 5 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
2925, 27, 28syl2anc 585 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
30 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
31 eqidd 2738 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
3230, 31jca 513 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)))
3332biantrurd 534 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
3423, 29, 333bitr4d 311 . . 3 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
3534ex 414 . 2 (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
3621, 35pm2.61ine 3029 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  Vcvv 3448  c0 4287  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  0cn0 12420  ..^cfzo 13574  chash 14237  Word cword 14409   repeatS creps 14663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-reps 14664
This theorem is referenced by:  cshw1repsw  14718  cshwsidrepsw  16973  cshwshashlem1  16975  cshwshash  16984
  Copyright terms: Public domain W3C validator