MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswsymballbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswsymballbi 14735
Description: A word is a "repeated symbol word" iff each of its symbols equals the first symbol of the word. (Contributed by AV, 10-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswsymballbi (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
Distinct variable group:   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repswsymballbi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = (♯‘∅))
2 hash0 14332 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
31, 2eqtrdi 2787 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
4 fvex 6904 . . . . . . . 8 (𝑊‘0) ∈ V
5 repsw0 14732 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) ∈ V → ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅
76eqcomi 2740 . . . . . 6 ∅ = ((𝑊‘0) repeatS 0)
8 simpr 484 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ∅)
9 oveq2 7420 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
109adantr 480 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
117, 8, 103eqtr4a 2797 . . . . 5 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
12 ral0 4512 . . . . . . 7 𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)
13 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
14 fzo0 13661 . . . . . . . . 9 (0..^0) = ∅
1513, 14eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
1615raleqdv 3324 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = 0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
1712, 16mpbiri 258 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 0 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1817adantr 480 . . . . 5 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1911, 182thd 265 . . . 4 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
203, 19mpancom 685 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
2120a1d 25 . 2 (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
22 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
2322a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
24 fstwrdne 14510 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
2524ancoms 458 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
26 lencl 14488 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2726adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28 repsdf2 14733 . . . . 5 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
2925, 27, 28syl2anc 583 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
30 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
31 eqidd 2732 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
3230, 31jca 511 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)))
3332biantrurd 532 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
3423, 29, 333bitr4d 311 . . 3 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
3534ex 412 . 2 (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))))
3621, 35pm2.61ine 3024 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3473  c0 4322  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  0cn0 12477  ..^cfzo 13632  chash 14295  Word cword 14469   repeatS creps 14723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-reps 14724
This theorem is referenced by:  cshw1repsw  14778  cshwsidrepsw  17032  cshwshashlem1  17034  cshwshash  17043
  Copyright terms: Public domain W3C validator