Theorem repswsymballbi 14328

Description: A word is a "repeated symbol word" iff each of its symbols equals the first symbol of the word. (Contributed by AV, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswsymballbi	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))

Distinct variable group:   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repswsymballbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6706	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = (♯‘∅))
2		hash0 13917	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
4		fvex 6719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊‘0) ∈ V
5		repsw0 14325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅
7	6	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ ∅ = ((𝑊‘0) repeatS 0)
8		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ∅)
9		oveq2 7210	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
10	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2800	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
12		ral0 4414	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)
13		oveq2 7210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
14		fzo0 13249	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^0) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
16	15	raleqdv 3318	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
17	12, 16	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
18	17	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
19	11, 18	2thd 268	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
20	3, 19	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
21	20	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
22		df-3an 1091	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
24		fstwrdne 14093	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
25	24	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
26		lencl 14071	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
27	26	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28		repsdf2 14326	. . . . 5 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
29	25, 27, 28	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
30		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
31		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
32	30, 31	jca 515	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)))
33	32	biantrurd 536	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
34	23, 29, 33	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
35	34	ex 416	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
36	21, 35	pm2.61ine 3018	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  Vcvv 3401  ∅c0 4227  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  0cc0 10712  ℕ₀cn0 12073  ..^cfzo 13221  ♯chash 13879  Word cword 14052   repeatS creps 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-xnn0 12146  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-hash 13880  df-word 14053  df-reps 14317

This theorem is referenced by:  cshw1repsw  14371  cshwsidrepsw  16628  cshwshashlem1  16630  cshwshash  16639