Theorem repswsymballbi 14876

Description: A word is a "repeated symbol word" iff each of its symbols equals the first symbol of the word. (Contributed by AV, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswsymballbi	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))

Distinct variable group:   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repswsymballbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = (♯‘∅))
2		hash0 14456	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
4		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊‘0) ∈ V
5		repsw0 14873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘0) repeatS 0) = ∅
7	6	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ ∅ = ((𝑊‘0) repeatS 0)
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ∅)
9		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) = ((𝑊‘0) repeatS 0))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2821	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
12		ral0 4454	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)
13		oveq2 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
14		fzo0 13764	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^0) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
16	15	raleqdv 3319	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
17	12, 16	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 0 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
19	11, 18	2thd 268	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 = ∅) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
20	3, 19	mpancom 701	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
21	20	a1d 26	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
22		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
24		fstwrdne 14645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
25	24	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
26		lencl 14623	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
27	26	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28		repsdf2 14874	. . . . 5 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
29	25, 27, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
30		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
31		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
32	30, 31	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)))
33	32	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
34	23, 29, 33	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
35	34	ex 418	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))))
36	21, 35	pm2.61ine 3038	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149  ℕ₀cn0 12553  ..^cfzo 13734  ♯chash 14419  Word cword 14603   repeatS creps 14864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-hash 14420  df-word 14604  df-reps 14865

This theorem is used by:  cshw1repsw  14919  cshwsidrepsw  17210  cshwshashlem1  17212  cshwshash  17221