Theorem rngchomfval 20622

Description: Set of arrows of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcbas.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rngchomfval	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem rngchomfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2		rngcbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		rngcbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		rngcbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4, 3	rngcbas 20621	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
6		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7	2, 3, 5, 6	rngcval 20618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))))
8	7	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
9	1, 8	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12		fvexd 6921	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
13	5, 6	rnghmresfn 20619	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14		inss1 4237	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
17	16, 3	estrcbas 18169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
18	17	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
19	15, 5, 18	3sstr4d 4039	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
20	10, 11, 12, 13, 19	reschom 17874	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
21	9, 20	eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951   × cxp 5683   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Hom chom 17308   ↾_cat cresc 17852  ExtStrCatcestrc 18166  Rngcrng 20149   RngHom crnghm 20434  RngCatcrngc 20616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-hom 17321  df-cco 17322  df-resc 17855  df-estrc 18167  df-rnghm 20436  df-rngc 20617

This theorem is referenced by:  rngchom  20623  rngchomfeqhom  20625  rngccofval  20626  rnghmsubcsetclem1  20631  rngcifuestrc  20639  funcrngcsetc  20640  rhmsubcrngc  20668  rhmsubc  20689