Theorem rngchomfval 20790

Description: Set of arrows of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcbas.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rngchomfval	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem rngchomfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2		rngcbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		rngcbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		rngcbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4, 3	rngcbas 20789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
6		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7	2, 3, 5, 6	rngcval 20786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))))
8	7	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
9	1, 8	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12		fvexd 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
13	5, 6	rnghmresfn 20787	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14		inss1 4185	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
17	16, 3	estrcbas 18219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
18	17	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
19	15, 5, 18	3sstr4d 3989	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
20	10, 11, 12, 13, 19	reschom 17925	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
21	9, 20	eqtr4d 2800	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Hom chom 17359   ↾_cat cresc 17903  ExtStrCatcestrc 18216  Rngcrng 20293   RngHom crnghm 20581  RngCatcrngc 20784

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-hom 17372  df-cco 17373  df-resc 17906  df-estrc 18217  df-rnghm 20583  df-rngc 20785

This theorem is used by:  rngchom  20791  rngchomfeqhom  20793  rngccofval  20794  rnghmsubcsetclem1  20799  rngcifuestrc  20807  funcrngcsetc  20808  rhmsubcrngc  20836  rhmsubc  20857