Theorem rngchomfval 20639

Description: Set of arrows of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcbas.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rngchomfval	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem rngchomfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2		rngcbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		rngcbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		rngcbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4, 3	rngcbas 20638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
6		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7	2, 3, 5, 6	rngcval 20635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))))
8	7	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
9	1, 8	eqtrid 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12		fvexd 6922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
13	5, 6	rnghmresfn 20636	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14		inss1 4245	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
16		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
17	16, 3	estrcbas 18180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
18	17	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
19	15, 5, 18	3sstr4d 4043	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
20	10, 11, 12, 13, 19	reschom 17879	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
21	9, 20	eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   × cxp 5687   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Hom chom 17309   ↾_cat cresc 17856  ExtStrCatcestrc 18177  Rngcrng 20170   RngHom crnghm 20451  RngCatcrngc 20633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-hom 17322  df-cco 17323  df-resc 17859  df-estrc 18178  df-rnghm 20453  df-rngc 20634

This theorem is referenced by:  rngchom  20640  rngchomfeqhom  20642  rngccofval  20643  rnghmsubcsetclem1  20648  rngcifuestrc  20656  funcrngcsetc  20657  rhmsubcrngc  20685  rhmsubc  20706