Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngchomfval 46949
Description: Set of arrows of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcbas.c ๐ถ = (RngCatโ€˜๐‘ˆ)
rngcbas.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
rngcbas.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐‘‰)
rngchomfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
rngchomfval (๐œ‘ โ†’ ๐ป = ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))

Proof of Theorem rngchomfval
StepHypRef Expression
1 rngchomfval.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
2 rngcbas.c . . . . 5 ๐ถ = (RngCatโ€˜๐‘ˆ)
3 rngcbas.u . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐‘‰)
4 rngcbas.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
52, 4, 3rngcbas 46948 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐‘ˆ โˆฉ Rng))
6 eqidd 2733 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
72, 3, 5, 6rngcval 46945 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต))))
87fveq2d 6895 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Hom โ€˜๐ถ) = (Hom โ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))))
91, 8eqtrid 2784 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = (Hom โ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))))
10 eqid 2732 . . 3 ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต))) = ((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
11 eqid 2732 . . 3 (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)) = (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ))
12 fvexd 6906 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ V)
135, 6rnghmresfn 46946 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) Fn (๐ต ร— ๐ต))
14 inss1 4228 . . . . 5 (๐‘ˆ โˆฉ Rng) โŠ† ๐‘ˆ
1514a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆฉ Rng) โŠ† ๐‘ˆ)
16 eqid 2732 . . . . . 6 (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) = (ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)
1716, 3estrcbas 18078 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)))
1817eqcomd 2738 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)) = ๐‘ˆ)
1915, 5, 183sstr4d 4029 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† (Baseโ€˜(ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ)))
2010, 11, 12, 13, 19reschom 17780 . 2 (๐œ‘ โ†’ ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = (Hom โ€˜((ExtStrCatโ€˜๐‘ˆ) โ†พcat ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))))
219, 20eqtr4d 2775 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = ( RngHomo โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948   ร— cxp 5674   โ†พ cres 5678  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  Hom chom 17210   โ†พcat cresc 17757  ExtStrCatcestrc 18075  Rngcrng 46733   RngHomo crngh 46768  RngCatcrngc 46940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-hom 17223  df-cco 17224  df-resc 17760  df-estrc 18076  df-rnghomo 46770  df-rngc 46942
This theorem is referenced by:  rngchom  46950  rngchomfeqhom  46952  rngccofval  46953  rnghmsubcsetclem1  46958  rngcifuestrc  46980  funcrngcsetc  46981  rhmsubcrngc  47012  rhmsubc  47073
  Copyright terms: Public domain W3C validator