Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngchomfval 45016
 Description: Set of arrows of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcbas.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcbas.u (𝜑𝑈𝑉)
rngchomfval.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rngchomfval (𝜑𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem rngchomfval
StepHypRef Expression
1 rngchomfval.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2 rngcbas.c . . . . 5 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3 rngcbas.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
4 rngcbas.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
52, 4, 3rngcbas 45015 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
6 eqidd 2759 . . . . 5 (𝜑 → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
72, 3, 5, 6rngcval 45012 . . . 4 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))))
87fveq2d 6667 . . 3 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
91, 8syl5eq 2805 . 2 (𝜑𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10 eqid 2758 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11 eqid 2758 . . 3 (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12 fvexd 6678 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
135, 6rnghmresfn 45013 . . 3 (𝜑 → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14 inss1 4135 . . . . 5 (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
16 eqid 2758 . . . . . 6 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
1716, 3estrcbas 17455 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
1817eqcomd 2764 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
1915, 5, 183sstr4d 3941 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
2010, 11, 12, 13, 19reschom 17173 . 2 (𝜑 → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
219, 20eqtr4d 2796 1 (𝜑𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860   × cxp 5526   ↾ cres 5530  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16555  Hom chom 16648   ↾cat cresc 17151  ExtStrCatcestrc 17452  Rngcrng 44924   RngHomo crngh 44935  RngCatcrngc 45007 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-hom 16661  df-cco 16662  df-resc 17154  df-estrc 17453  df-rnghomo 44937  df-rngc 45009 This theorem is referenced by:  rngchom  45017  rngchomfeqhom  45019  rngccofval  45020  rnghmsubcsetclem1  45025  rngcifuestrc  45047  funcrngcsetc  45048  rhmsubcrngc  45079  rhmsubc  45140
 Copyright terms: Public domain W3C validator