Theorem rngchomfval 46864

Description: Set of arrows of the category of non-unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcbas.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rngchomfval	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem rngchomfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
2		rngcbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		rngcbas.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		rngcbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4, 3	rngcbas 46863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
6		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7	2, 3, 5, 6	rngcval 46860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))))
8	7	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
9	1, 8	eqtrid 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
12		fvexd 6907	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
13	5, 6	rnghmresfn 46861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
14		inss1 4229	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
16		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
17	16, 3	estrcbas 18076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
18	17	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
19	15, 5, 18	3sstr4d 4030	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
20	10, 11, 12, 13, 19	reschom 17778	. 2 ⊢ (𝜑 → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))))
21	9, 20	eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949   × cxp 5675   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208   ↾_cat cresc 17755  ExtStrCatcestrc 18073  Rngcrng 46648   RngHomo crngh 46683  RngCatcrngc 46855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-hom 17221  df-cco 17222  df-resc 17758  df-estrc 18074  df-rnghomo 46685  df-rngc 46857

This theorem is referenced by:  rngchom  46865  rngchomfeqhom  46867  rngccofval  46868  rnghmsubcsetclem1  46873  rngcifuestrc  46895  funcrngcsetc  46896  rhmsubcrngc  46927  rhmsubc  46988