Theorem resipos 49216

Description: A set equipped with an order where no distinct elements are comparable is a poset. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
resipos.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}

Assertion

Ref	Expression
resipos	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem resipos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resipos.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
2		prex 5382	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
5	1	resiposbas 49215	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		resiexg 7854	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
7		basendxltplendx 17289	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < (le‘ndx)
8		plendxnn 17288	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
9		pleid 17287	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
10	1, 7, 8, 9	2strop 17156	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ V → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
11	6, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
12		equid 2013	. . . 4 ⊢ 𝑥 = 𝑥
13		resieq 5949	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
14	13	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
15	12, 14	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
17		resieq 5949	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
18	17	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 → 𝑥 = 𝑦))
19	18	adantrd 491	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
20	19	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
21		eqtr 2756	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
23		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
25	23, 24, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
26		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
27		resieq 5949	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
28	24, 26, 27	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
29	25, 28	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧)))
30		resieq 5949	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
31	23, 26, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
32	22, 29, 31	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧))
33	4, 5, 11, 16, 20, 32	isposd 18245	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {cpr 4582  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098   I cid 5518   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  ndxcnx 17120  Basecbs 17136  lecple 17184  Posetcpo 18230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ple 17197  df-poset 18236

This theorem is referenced by:  exbaspos  49217  exbasprs  49218  basresprsfo  49220  discbas  49813  discthin  49814