Theorem resipos 49005

Description: A set equipped with an order where no distinct elements are comparable is a poset. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
resipos.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}

Assertion

Ref	Expression
resipos	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem resipos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resipos.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
2		prex 5375	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
5	1	resiposbas 49004	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		resiexg 7842	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
7		basendxltplendx 17270	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < (le‘ndx)
8		plendxnn 17269	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
9		pleid 17268	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
10	1, 7, 8, 9	2strop 17137	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ V → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
11	6, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
12		equid 2013	. . . 4 ⊢ 𝑥 = 𝑥
13		resieq 5939	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
14	13	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
15	12, 14	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
17		resieq 5939	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
18	17	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 → 𝑥 = 𝑦))
19	18	adantrd 491	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
20	19	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
21		eqtr 2751	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
23		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
25	23, 24, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
26		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
27		resieq 5939	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
28	24, 26, 27	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
29	25, 28	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧)))
30		resieq 5939	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
31	23, 26, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
32	22, 29, 31	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧))
33	4, 5, 11, 16, 20, 32	isposd 18225	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {cpr 4578  ⟨cop 4582   class class class wbr 5091   I cid 5510   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  ndxcnx 17101  Basecbs 17117  lecple 17165  Posetcpo 18210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ple 17178  df-poset 18216

This theorem is referenced by:  exbaspos  49006  exbasprs  49007  basresprsfo  49009  discbas  49603  discthin  49604