Theorem resipos 49794

Description: A set equipped with an order where no distinct elements are comparable is a poset. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
resipos.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}

Assertion

Ref	Expression
resipos	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem resipos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resipos.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
2		prex 5414	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2862	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
5	1	resiposbas 49793	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		resiexg 7918	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
7		basendxltplendx 17447	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < (le‘ndx)
8		plendxnn 17446	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
9		pleid 17445	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
10	1, 7, 8, 9	2strop 17314	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ V → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
11	6, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
12		equid 2045	. . . 4 ⊢ 𝑥 = 𝑥
13		resieq 5994	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
14	13	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
15	12, 14	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
16	15	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
17		resieq 5994	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
18	17	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 → 𝑥 = 𝑦))
19	18	adantrd 497	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
20	19	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
21		eqtr 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
23		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
25	23, 24, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
26		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
27		resieq 5994	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
28	24, 26, 27	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
29	25, 28	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧)))
30		resieq 5994	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
31	23, 26, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
32	22, 29, 31	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧))
33	4, 5, 11, 16, 20, 32	isposd 18403	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  {cpr 4596  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   I cid 5560   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  ndxcnx 17278  Basecbs 17294  lecple 17342  Posetcpo 18388

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ple 17355  df-poset 18394

This theorem is used by:  exbaspos  49795  exbasprs  49796  basresprsfo  49798  discbas  50391  discthin  50392