Theorem resipos 50027

Description: A set equipped with an order where no distinct elements are comparable is a poset. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
resipos.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}

Assertion

Ref	Expression
resipos	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem resipos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resipos.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
2		prex 5396	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
5	1	resiposbas 50026	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		resiexg 7913	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
7		basendxltplendx 17520	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < (le‘ndx)
8		plendxnn 17519	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
9		pleid 17518	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
10	1, 7, 8, 9	2strop 17387	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ V → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
11	6, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
12		equid 2045	. . . 4 ⊢ 𝑥 = 𝑥
13		resieq 5981	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
14	13	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
15	12, 14	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
16	15	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
17		resieq 5981	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
18	17	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 → 𝑥 = 𝑦))
19	18	adantrd 497	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
20	19	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
21		eqtr 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
23		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
25	23, 24, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
26		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
27		resieq 5981	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
28	24, 26, 27	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
29	25, 28	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧)))
30		resieq 5981	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
31	23, 26, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
32	22, 29, 31	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧))
33	4, 5, 11, 16, 20, 32	isposd 18476	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  ndxcnx 17351  Basecbs 17367  lecple 17415  Posetcpo 18461

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ple 17428  df-poset 18467

This theorem is used by:  exbaspos  50028  exbasprs  50029  basresprsfo  50031  discbas  50624  discthin  50625