Theorem resipos 49450

Description: A set equipped with an order where no distinct elements are comparable is a poset. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
resipos.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}

Assertion

Ref	Expression
resipos	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem resipos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resipos.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩}
2		prex 5380	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ( I ↾ 𝐵)⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ V)
5	1	resiposbas 49449	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
6		resiexg 7863	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
7		basendxltplendx 17332	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < (le‘ndx)
8		plendxnn 17331	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
9		pleid 17330	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
10	1, 7, 8, 9	2strop 17199	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ V → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
11	6, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐵) = (le‘𝐾))
12		equid 2014	. . . 4 ⊢ 𝑥 = 𝑥
13		resieq 5955	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
14	13	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥))
15	12, 14	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑥)
17		resieq 5955	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
18	17	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 → 𝑥 = 𝑦))
19	18	adantrd 491	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
20	19	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
21		eqtr 2756	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
23		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
25	23, 24, 17	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
26		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
27		resieq 5955	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
28	24, 26, 27	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧))
29	25, 28	anbi12d 633	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑧)))
30		resieq 5955	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
31	23, 26, 30	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
32	22, 29, 31	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥( I ↾ 𝐵)𝑦 ∧ 𝑦( I ↾ 𝐵)𝑧) → 𝑥( I ↾ 𝐵)𝑧))
33	4, 5, 11, 16, 20, 32	isposd 18288	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {cpr 4569  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  lecple 17227  Posetcpo 18273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-poset 18279

This theorem is referenced by:  exbaspos  49451  exbasprs  49452  basresprsfo  49454  discbas  50047  discthin  50048