Theorem ringm1expp1 33660

Description: Ring exponentiation of minus one: Adding one to the exponent is the same as taking the additive inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringm1expp1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringm1expp1.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringm1expp1.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
ringm1expp1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringm1expp1.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ringm1expp1	⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘(𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))))

Proof of Theorem ringm1expp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringm1expp1.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 20379	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5		ringm1expp1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		ringm1expp1.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
8	1	ringgrpd 20382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
9		ringm1expp1.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	6, 9, 1	ringidcld 20408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	6, 7, 8, 10	grpinvcld 19113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
12	2, 6	mgpbas 20279	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringm1expp1.3	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	2, 14	mgpplusg 20278	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	mulgnn0p1 19209	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = ((𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))(.r‘𝑅)(𝑁‘ 1 )))
17	4, 5, 11, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = ((𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))(.r‘𝑅)(𝑁‘ 1 )))
18	12, 13, 4, 5, 11	mulgnn0cld 19219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑅))
19	6, 14, 9, 7, 1, 18	ringnegr 20446	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))(.r‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘(𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))))
20	17, 19	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘(𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11128   + caddc 11130  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  Mndcmnd 18838  inv_gcminusg 19059  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  1_rcur 20321  Ringcrg 20373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-seq 14068  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375

This theorem is used by:  vietalem  34076