Theorem ringm1expp1 33265

Description: Ring exponentiation of minus one: Adding one to the exponent is the same as taking the additive inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringm1expp1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringm1expp1.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringm1expp1.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
ringm1expp1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringm1expp1.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ringm1expp1	⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘(𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))))

Proof of Theorem ringm1expp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringm1expp1.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 20172	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5		ringm1expp1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		ringm1expp1.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
8	1	ringgrpd 20175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
9		ringm1expp1.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	6, 9, 1	ringidcld 20199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	6, 7, 8, 10	grpinvcld 18916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
12	2, 6	mgpbas 20078	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringm1expp1.3	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	2, 14	mgpplusg 20077	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	mulgnn0p1 19013	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = ((𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))(.r‘𝑅)(𝑁‘ 1 )))
17	4, 5, 11, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = ((𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))(.r‘𝑅)(𝑁‘ 1 )))
18	12, 13, 4, 5, 11	mulgnn0cld 19023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑅))
19	6, 14, 9, 7, 1, 18	ringnegr 20236	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))(.r‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘(𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))))
20	17, 19	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘(𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  Mndcmnd 18657  inv_gcminusg 18862  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20073  1_rcur 20114  Ringcrg 20166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-seq 13923  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18996  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168

This theorem is referenced by:  vietalem  33684