Theorem ringm1expp1 33562

Description: Ring exponentiation of minus one: Adding one to the exponent is the same as taking the additive inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringm1expp1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringm1expp1.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringm1expp1.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
ringm1expp1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringm1expp1.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ringm1expp1	⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘(𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))))

Proof of Theorem ringm1expp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringm1expp1.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 20327	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5		ringm1expp1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		ringm1expp1.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
8	1	ringgrpd 20330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
9		ringm1expp1.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	6, 9, 1	ringidcld 20356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	6, 7, 8, 10	grpinvcld 19061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
12	2, 6	mgpbas 20227	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringm1expp1.3	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15	2, 14	mgpplusg 20226	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	mulgnn0p1 19157	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = ((𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))(.r‘𝑅)(𝑁‘ 1 )))
17	4, 5, 11, 16	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = ((𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))(.r‘𝑅)(𝑁‘ 1 )))
18	12, 13, 4, 5, 11	mulgnn0cld 19167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 )) ∈ (Base‘𝑅))
19	6, 14, 9, 7, 1, 18	ringnegr 20393	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))(.r‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘(𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))))
20	17, 19	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) ↑ (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘(𝐾 ↑ (𝑁‘ 1 ))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  Mndcmnd 18798  inv_gcminusg 19007  ._gcmg 19139  mulGrpcmgp 20222  1_rcur 20269  Ringcrg 20321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-mulg 19140  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323

This theorem is used by:  vietalem  33978