Theorem ringcmn 20198

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20197	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19724	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  CMndccmn 19717  Abelcabl 19718  Ringcrg 20149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151

This theorem is referenced by:  ringsrg  20213  gsummulc1OLD  20230  gsummulc2OLD  20231  gsumfsum  21358  nn0srg  21361  rge0srg  21362  freshmansdream  21491  regsumsupp  21538  ip2di  21557  psrlidm  21878  psrridm  21879  psrdir  21882  psrcom  21884  mplmonmul  21950  mplcoe1  21951  evlslem2  21993  evlslem1  21996  evlsgsumadd  22005  mhpmulcl  22043  psropprmul  22129  coe1mul2  22162  coe1fzgsumdlem  22197  gsumsmonply1  22201  gsummoncoe1  22202  lply1binom  22204  evls1gsumadd  22218  evl1gsumdlem  22250  mamucl  22295  mamudi  22297  mamudir  22298  mat1dimmul  22370  dmatmul  22391  mavmulcl  22441  mdetleib2  22482  mdetf  22489  mdetrlin  22496  mdetralt  22502  m2detleib  22525  madugsum  22537  smadiadetlem3lem2  22561  smadiadet  22564  mat2pmatmul  22625  m2pmfzgsumcl  22642  decpmatmul  22666  pmatcollpw1  22670  pmatcollpwfi  22676  pmatcollpw3fi1lem1  22680  pm2mpcl  22691  mply1topmatcl  22699  mp2pm2mplem2  22701  mp2pm2mplem4  22703  mp2pm2mp  22705  pm2mpghm  22710  pm2mpmhmlem2  22713  pm2mp  22719  chfacfscmulgsum  22754  chfacfpmmulgsum  22758  cpmadugsumlemF  22770  cpmadugsumfi  22771  cayhamlem4  22782  tdeglem1  25970  tdeglem3  25971  tdeglem4  25972  plypf1  26124  taylfvallem  26272  taylf  26275  tayl0  26276  taylpfval  26279  jensenlem1  26904  jensenlem2  26905  jensen  26906  amgm  26908  gsummulgc2  33007  ofldchr  33299  elrspunidl  33406  ply1degltdimlem  33625  fedgmullem1  33632  fedgmullem2  33633  mdetpmtr1  33820  zarcmplem  33878  matunitlindflem1  37617  lfladdcl  39071  aks6d1c1  42111  aks6d1c5lem2  42133  mhphflem  42591  ply1mulgsum  48383  amgmwlem  49795