Theorem ringcmn 20217

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20216	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19716	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  CMndccmn 19709  Abelcabl 19710  Ringcrg 20168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170

This theorem is referenced by:  ringsrg  20232  gsummulc1OLD  20249  gsummulc2OLD  20250  gsumfsum  21389  nn0srg  21392  rge0srg  21393  freshmansdream  21529  ofldchr  21531  regsumsupp  21577  ip2di  21596  psrlidm  21917  psrridm  21918  psrdir  21921  psrcom  21923  mplmonmul  21991  mplcoe1  21992  evlslem2  22034  evlslem1  22037  evlsgsumadd  22051  mhpmulcl  22092  psropprmul  22178  coe1mul2  22211  coe1fzgsumdlem  22247  gsumsmonply1  22251  gsummoncoe1  22252  lply1binom  22254  evls1gsumadd  22268  evl1gsumdlem  22300  mamucl  22345  mamudi  22347  mamudir  22348  mat1dimmul  22420  dmatmul  22441  mavmulcl  22491  mdetleib2  22532  mdetf  22539  mdetrlin  22546  mdetralt  22552  m2detleib  22575  madugsum  22587  smadiadetlem3lem2  22611  smadiadet  22614  mat2pmatmul  22675  m2pmfzgsumcl  22692  decpmatmul  22716  pmatcollpw1  22720  pmatcollpwfi  22726  pmatcollpw3fi1lem1  22730  pm2mpcl  22741  mply1topmatcl  22749  mp2pm2mplem2  22751  mp2pm2mplem4  22753  mp2pm2mp  22755  pm2mpghm  22760  pm2mpmhmlem2  22763  pm2mp  22769  chfacfscmulgsum  22804  chfacfpmmulgsum  22808  cpmadugsumlemF  22820  cpmadugsumfi  22821  cayhamlem4  22832  tdeglem1  26019  tdeglem3  26020  tdeglem4  26021  plypf1  26173  taylfvallem  26321  taylf  26324  tayl0  26325  taylpfval  26328  jensenlem1  26953  jensenlem2  26954  jensen  26955  amgm  26957  gsummulgc2  33149  elrspunidl  33509  ply1degltdimlem  33779  fedgmullem1  33786  fedgmullem2  33787  mdetpmtr1  33980  zarcmplem  34038  matunitlindflem1  37817  lfladdcl  39341  aks6d1c1  42380  aks6d1c5lem2  42402  mhphflem  42849  ply1mulgsum  48646  amgmwlem  50057