Theorem ringcmn 20562

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20561	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 20052	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  CMndccmn 20045  Abelcabl 20046  Ringcrg 20510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512

This theorem is used by:  ringsrg  20579  gsumfsum  21794  nn0srg  21797  rge0srg  21798  freshmansdream  21935  ofldchr  21937  regsumsupp  21983  ip2di  22002  psrlidm  22324  psrridm  22325  psrdir  22328  psrcom  22330  mplmonmul  22400  mplcoe1  22401  evlslem2  22443  evlslem1  22446  evlsgsumadd  22460  mhpmulcl  22525  psropprmul  22610  coe1mul2  22643  coe1fzgsumdlem  22676  gsumsmonply1  22680  gsummoncoe1  22681  lply1binom  22683  evls1gsumadd  22697  evl1gsumdlem  22729  mamucl  22771  mamudi  22773  mamudir  22774  mat1dimmul  22846  dmatmul  22867  mavmulcl  22917  mdetleib2  22958  mdetf  22965  mdetrlin  22972  mdetralt  22978  m2detleib  23001  madugsum  23013  smadiadetlem3lem2  23037  smadiadet  23040  matunitlindflem1  23049  mat2pmatmul  23104  m2pmfzgsumcl  23121  decpmatmul  23145  pmatcollpw1  23149  pmatcollpwfi  23155  pmatcollpw3fi1lem1  23159  pm2mpcl  23170  mply1topmatcl  23178  mp2pm2mplem2  23180  mp2pm2mplem4  23182  mp2pm2mp  23184  pm2mpghm  23189  pm2mpmhmlem2  23192  pm2mp  23198  chfacfscmulgsum  23233  chfacfpmmulgsum  23237  cpmadugsumlemF  23249  cpmadugsumfi  23250  cayhamlem4  23261  tdeglem1  26431  tdeglem3  26432  tdeglem4  26433  plypf1  26586  taylfvallem  26742  taylf  26745  tayl0  26746  taylpfval  26749  jensenlem1  27371  jensenlem2  27372  jensen  27373  amgm  27375  gsummulgc2  33726  elrspunidl  34082  psrmonprod  34295  esplyfvaln  34317  ply1degltdimlem  34365  fedgmullem1  34372  fedgmullem2  34373  mdetpmtr1  34566  zarcmplem  34624  lfladdcl  40394  aks6d1c1  43432  aks6d1c5lem2  43454  mhphflem  43890  ply1mulgsum  49833  amgmwlem  51415