Theorem ringcmn 20426

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20425	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19917	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  CMndccmn 19910  Abelcabl 19911  Ringcrg 20375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-ring 20377

This theorem is used by:  ringsrg  20442  gsumfsum  21650  nn0srg  21653  rge0srg  21654  freshmansdream  21790  ofldchr  21792  regsumsupp  21838  ip2di  21857  psrlidm  22179  psrridm  22180  psrdir  22183  psrcom  22185  mplmonmul  22255  mplcoe1  22256  evlslem2  22298  evlslem1  22301  evlsgsumadd  22315  mhpmulcl  22380  psropprmul  22465  coe1mul2  22498  coe1fzgsumdlem  22531  gsumsmonply1  22535  gsummoncoe1  22536  lply1binom  22538  evls1gsumadd  22552  evl1gsumdlem  22584  mamucl  22626  mamudi  22628  mamudir  22629  mat1dimmul  22701  dmatmul  22722  mavmulcl  22772  mdetleib2  22813  mdetf  22820  mdetrlin  22827  mdetralt  22833  m2detleib  22856  madugsum  22868  smadiadetlem3lem2  22892  smadiadet  22895  matunitlindflem1  22904  mat2pmatmul  22959  m2pmfzgsumcl  22976  decpmatmul  23000  pmatcollpw1  23004  pmatcollpwfi  23010  pmatcollpw3fi1lem1  23014  pm2mpcl  23025  mply1topmatcl  23033  mp2pm2mplem2  23035  mp2pm2mplem4  23037  mp2pm2mp  23039  pm2mpghm  23044  pm2mpmhmlem2  23047  pm2mp  23053  chfacfscmulgsum  23088  chfacfpmmulgsum  23092  cpmadugsumlemF  23104  cpmadugsumfi  23105  cayhamlem4  23116  tdeglem1  26286  tdeglem3  26287  tdeglem4  26288  plypf1  26441  taylfvallem  26597  taylf  26600  tayl0  26601  taylpfval  26604  jensenlem1  27226  jensenlem2  27227  jensen  27228  amgm  27230  gsummulgc2  33509  elrspunidl  33859  psrmonprod  34065  esplyfvaln  34087  ply1degltdimlem  34135  fedgmullem1  34142  fedgmullem2  34143  mdetpmtr1  34336  zarcmplem  34394  lfladdcl  39947  aks6d1c1  42985  aks6d1c5lem2  43007  mhphflem  43445  ply1mulgsum  49323  amgmwlem  50823