Theorem ringcmn 20167

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20166	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19666	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  CMndccmn 19659  Abelcabl 19660  Ringcrg 20118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120

This theorem is referenced by:  ringsrg  20182  gsummulc1OLD  20199  gsummulc2OLD  20200  gsumfsum  21341  nn0srg  21344  rge0srg  21345  freshmansdream  21481  ofldchr  21483  regsumsupp  21529  ip2di  21548  psrlidm  21869  psrridm  21870  psrdir  21873  psrcom  21875  mplmonmul  21941  mplcoe1  21942  evlslem2  21984  evlslem1  21987  evlsgsumadd  21996  mhpmulcl  22034  psropprmul  22120  coe1mul2  22153  coe1fzgsumdlem  22188  gsumsmonply1  22192  gsummoncoe1  22193  lply1binom  22195  evls1gsumadd  22209  evl1gsumdlem  22241  mamucl  22286  mamudi  22288  mamudir  22289  mat1dimmul  22361  dmatmul  22382  mavmulcl  22432  mdetleib2  22473  mdetf  22480  mdetrlin  22487  mdetralt  22493  m2detleib  22516  madugsum  22528  smadiadetlem3lem2  22552  smadiadet  22555  mat2pmatmul  22616  m2pmfzgsumcl  22633  decpmatmul  22657  pmatcollpw1  22661  pmatcollpwfi  22667  pmatcollpw3fi1lem1  22671  pm2mpcl  22682  mply1topmatcl  22690  mp2pm2mplem2  22692  mp2pm2mplem4  22694  mp2pm2mp  22696  pm2mpghm  22701  pm2mpmhmlem2  22704  pm2mp  22710  chfacfscmulgsum  22745  chfacfpmmulgsum  22749  cpmadugsumlemF  22761  cpmadugsumfi  22762  cayhamlem4  22773  tdeglem1  25961  tdeglem3  25962  tdeglem4  25963  plypf1  26115  taylfvallem  26263  taylf  26266  tayl0  26267  taylpfval  26270  jensenlem1  26895  jensenlem2  26896  jensen  26897  amgm  26899  gsummulgc2  33014  elrspunidl  33366  ply1degltdimlem  33595  fedgmullem1  33602  fedgmullem2  33603  mdetpmtr1  33796  zarcmplem  33854  matunitlindflem1  37606  lfladdcl  39060  aks6d1c1  42099  aks6d1c5lem2  42121  mhphflem  42579  ply1mulgsum  48385  amgmwlem  49797