Theorem ringcmn 20257

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20256	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19756	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  CMndccmn 19749  Abelcabl 19750  Ringcrg 20208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210

This theorem is referenced by:  ringsrg  20272  gsumfsum  21427  nn0srg  21430  rge0srg  21431  freshmansdream  21567  ofldchr  21569  regsumsupp  21615  ip2di  21634  psrlidm  21953  psrridm  21954  psrdir  21957  psrcom  21959  mplmonmul  22027  mplcoe1  22028  evlslem2  22070  evlslem1  22073  evlsgsumadd  22087  mhpmulcl  22128  psropprmul  22214  coe1mul2  22247  coe1fzgsumdlem  22281  gsumsmonply1  22285  gsummoncoe1  22286  lply1binom  22288  evls1gsumadd  22302  evl1gsumdlem  22334  mamucl  22379  mamudi  22381  mamudir  22382  mat1dimmul  22454  dmatmul  22475  mavmulcl  22525  mdetleib2  22566  mdetf  22573  mdetrlin  22580  mdetralt  22586  m2detleib  22609  madugsum  22621  smadiadetlem3lem2  22645  smadiadet  22648  mat2pmatmul  22709  m2pmfzgsumcl  22726  decpmatmul  22750  pmatcollpw1  22754  pmatcollpwfi  22760  pmatcollpw3fi1lem1  22764  pm2mpcl  22775  mply1topmatcl  22783  mp2pm2mplem2  22785  mp2pm2mplem4  22787  mp2pm2mp  22789  pm2mpghm  22794  pm2mpmhmlem2  22797  pm2mp  22803  chfacfscmulgsum  22838  chfacfpmmulgsum  22842  cpmadugsumlemF  22854  cpmadugsumfi  22855  cayhamlem4  22866  tdeglem1  26036  tdeglem3  26037  tdeglem4  26038  plypf1  26190  taylfvallem  26337  taylf  26340  tayl0  26341  taylpfval  26344  jensenlem1  26967  jensenlem2  26968  jensen  26969  amgm  26971  gsummulgc2  33145  elrspunidl  33506  psrmonprod  33714  esplyfvaln  33736  ply1degltdimlem  33785  fedgmullem1  33792  fedgmullem2  33793  mdetpmtr1  33986  zarcmplem  34044  matunitlindflem1  37954  lfladdcl  39534  aks6d1c1  42572  aks6d1c5lem2  42594  mhphflem  43046  ply1mulgsum  48881  amgmwlem  50292