Theorem ringcmn 20523

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20522	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 20013	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  CMndccmn 20006  Abelcabl 20007  Ringcrg 20471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-ur 20420  df-ring 20473

This theorem is used by:  ringsrg  20540  gsumfsum  21752  nn0srg  21755  rge0srg  21756  freshmansdream  21892  ofldchr  21894  regsumsupp  21940  ip2di  21959  psrlidm  22281  psrridm  22282  psrdir  22285  psrcom  22287  mplmonmul  22357  mplcoe1  22358  evlslem2  22400  evlslem1  22403  evlsgsumadd  22417  mhpmulcl  22482  psropprmul  22567  coe1mul2  22600  coe1fzgsumdlem  22633  gsumsmonply1  22637  gsummoncoe1  22638  lply1binom  22640  evls1gsumadd  22654  evl1gsumdlem  22686  mamucl  22728  mamudi  22730  mamudir  22731  mat1dimmul  22803  dmatmul  22824  mavmulcl  22874  mdetleib2  22915  mdetf  22922  mdetrlin  22929  mdetralt  22935  m2detleib  22958  madugsum  22970  smadiadetlem3lem2  22994  smadiadet  22997  matunitlindflem1  23006  mat2pmatmul  23061  m2pmfzgsumcl  23078  decpmatmul  23102  pmatcollpw1  23106  pmatcollpwfi  23112  pmatcollpw3fi1lem1  23116  pm2mpcl  23127  mply1topmatcl  23135  mp2pm2mplem2  23137  mp2pm2mplem4  23139  mp2pm2mp  23141  pm2mpghm  23146  pm2mpmhmlem2  23149  pm2mp  23155  chfacfscmulgsum  23190  chfacfpmmulgsum  23194  cpmadugsumlemF  23206  cpmadugsumfi  23207  cayhamlem4  23218  tdeglem1  26388  tdeglem3  26389  tdeglem4  26390  plypf1  26543  taylfvallem  26697  taylf  26700  tayl0  26701  taylpfval  26704  jensenlem1  27326  jensenlem2  27327  jensen  27328  amgm  27330  gsummulgc2  33680  elrspunidl  34031  psrmonprod  34237  esplyfvaln  34259  ply1degltdimlem  34307  fedgmullem1  34314  fedgmullem2  34315  mdetpmtr1  34508  zarcmplem  34566  lfladdcl  40268  aks6d1c1  43306  aks6d1c5lem2  43328  mhphflem  43764  ply1mulgsum  49641  amgmwlem  51201