Theorem ringcmn 20247

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20246	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19773	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  CMndccmn 19766  Abelcabl 19767  Ringcrg 20198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-plusg 17286  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200

This theorem is referenced by:  ringsrg  20262  gsummulc1OLD  20279  gsummulc2OLD  20280  gsumfsum  21414  nn0srg  21417  rge0srg  21418  freshmansdream  21547  regsumsupp  21594  ip2di  21613  psrlidm  21936  psrridm  21937  psrdir  21940  psrcom  21942  mplmonmul  22008  mplcoe1  22009  evlslem2  22051  evlslem1  22054  evlsgsumadd  22063  mhpmulcl  22101  psropprmul  22187  coe1mul2  22220  coe1fzgsumdlem  22255  gsumsmonply1  22259  gsummoncoe1  22260  lply1binom  22262  evls1gsumadd  22276  evl1gsumdlem  22308  mamucl  22353  mamudi  22355  mamudir  22356  mat1dimmul  22430  dmatmul  22451  mavmulcl  22501  mdetleib2  22542  mdetf  22549  mdetrlin  22556  mdetralt  22562  m2detleib  22585  madugsum  22597  smadiadetlem3lem2  22621  smadiadet  22624  mat2pmatmul  22685  m2pmfzgsumcl  22702  decpmatmul  22726  pmatcollpw1  22730  pmatcollpwfi  22736  pmatcollpw3fi1lem1  22740  pm2mpcl  22751  mply1topmatcl  22759  mp2pm2mplem2  22761  mp2pm2mplem4  22763  mp2pm2mp  22765  pm2mpghm  22770  pm2mpmhmlem2  22773  pm2mp  22779  chfacfscmulgsum  22814  chfacfpmmulgsum  22818  cpmadugsumlemF  22830  cpmadugsumfi  22831  cayhamlem4  22842  tdeglem1  26033  tdeglem3  26034  tdeglem4  26035  plypf1  26187  taylfvallem  26335  taylf  26338  tayl0  26339  taylpfval  26342  jensenlem1  26966  jensenlem2  26967  jensen  26968  amgm  26970  gsummulgc2  33002  ofldchr  33284  elrspunidl  33391  ply1degltdimlem  33608  fedgmullem1  33615  fedgmullem2  33616  mdetpmtr1  33781  zarcmplem  33839  matunitlindflem1  37582  lfladdcl  39031  aks6d1c1  42076  aks6d1c5lem2  42098  mhphflem  42569  ply1mulgsum  48265  amgmwlem  49329