Theorem ringcmn 20361

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20360	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19852	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  CMndccmn 19845  Abelcabl 19846  Ringcrg 20310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312

This theorem is referenced by:  ringsrg  20376  gsumfsum  21584  nn0srg  21587  rge0srg  21588  freshmansdream  21724  ofldchr  21726  regsumsupp  21772  ip2di  21791  psrlidm  22111  psrridm  22112  psrdir  22115  psrcom  22117  mplmonmul  22187  mplcoe1  22188  evlslem2  22230  evlslem1  22233  evlsgsumadd  22247  mhpmulcl  22312  psropprmul  22397  coe1mul2  22430  coe1fzgsumdlem  22463  gsumsmonply1  22467  gsummoncoe1  22468  lply1binom  22470  evls1gsumadd  22484  evl1gsumdlem  22516  mamucl  22558  mamudi  22560  mamudir  22561  mat1dimmul  22633  dmatmul  22654  mavmulcl  22704  mdetleib2  22745  mdetf  22752  mdetrlin  22759  mdetralt  22765  m2detleib  22788  madugsum  22800  smadiadetlem3lem2  22824  smadiadet  22827  mat2pmatmul  22888  m2pmfzgsumcl  22905  decpmatmul  22929  pmatcollpw1  22933  pmatcollpwfi  22939  pmatcollpw3fi1lem1  22943  pm2mpcl  22954  mply1topmatcl  22962  mp2pm2mplem2  22964  mp2pm2mplem4  22966  mp2pm2mp  22968  pm2mpghm  22973  pm2mpmhmlem2  22976  pm2mp  22982  chfacfscmulgsum  23017  chfacfpmmulgsum  23021  cpmadugsumlemF  23033  cpmadugsumfi  23034  cayhamlem4  23045  tdeglem1  26215  tdeglem3  26216  tdeglem4  26217  plypf1  26369  taylfvallem  26521  taylf  26524  tayl0  26525  taylpfval  26528  jensenlem1  27151  jensenlem2  27152  jensen  27153  amgm  27155  gsummulgc2  33386  elrspunidl  33736  psrmonprod  33942  esplyfvaln  33964  ply1degltdimlem  34012  fedgmullem1  34019  fedgmullem2  34020  mdetpmtr1  34213  zarcmplem  34271  matunitlindflem1  38287  lfladdcl  39865  aks6d1c1  42903  aks6d1c5lem2  42925  mhphflem  43348  ply1mulgsum  49190  amgmwlem  50669