Theorem ringcmn 20254

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20253	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19753	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  CMndccmn 19746  Abelcabl 19747  Ringcrg 20205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207

This theorem is referenced by:  ringsrg  20269  gsumfsum  21409  nn0srg  21412  rge0srg  21413  freshmansdream  21549  ofldchr  21551  regsumsupp  21597  ip2di  21616  psrlidm  21936  psrridm  21937  psrdir  21940  psrcom  21942  mplmonmul  22012  mplcoe1  22013  evlslem2  22055  evlslem1  22058  evlsgsumadd  22072  mhpmulcl  22137  psropprmul  22222  coe1mul2  22255  coe1fzgsumdlem  22289  gsumsmonply1  22293  gsummoncoe1  22294  lply1binom  22296  evls1gsumadd  22310  evl1gsumdlem  22342  mamucl  22384  mamudi  22386  mamudir  22387  mat1dimmul  22459  dmatmul  22480  mavmulcl  22530  mdetleib2  22571  mdetf  22578  mdetrlin  22585  mdetralt  22591  m2detleib  22614  madugsum  22626  smadiadetlem3lem2  22650  smadiadet  22653  mat2pmatmul  22714  m2pmfzgsumcl  22731  decpmatmul  22755  pmatcollpw1  22759  pmatcollpwfi  22765  pmatcollpw3fi1lem1  22769  pm2mpcl  22780  mply1topmatcl  22788  mp2pm2mplem2  22790  mp2pm2mplem4  22792  mp2pm2mp  22794  pm2mpghm  22799  pm2mpmhmlem2  22802  pm2mp  22808  chfacfscmulgsum  22843  chfacfpmmulgsum  22847  cpmadugsumlemF  22859  cpmadugsumfi  22860  cayhamlem4  22871  tdeglem1  26041  tdeglem3  26042  tdeglem4  26043  plypf1  26195  taylfvallem  26341  taylf  26344  tayl0  26345  taylpfval  26348  jensenlem1  26968  jensenlem2  26969  jensen  26970  amgm  26972  gsummulgc2  33147  elrspunidl  33511  psrmonprod  33736  esplyfvaln  33758  ply1degltdimlem  33806  fedgmullem1  33813  fedgmullem2  33814  mdetpmtr1  34007  zarcmplem  34065  matunitlindflem1  37983  lfladdcl  39563  aks6d1c1  42601  aks6d1c5lem2  42623  mhphflem  43046  ply1mulgsum  48881  amgmwlem  50292