Theorem ringcmn 20232

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20231	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19731	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  CMndccmn 19724  Abelcabl 19725  Ringcrg 20183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-ur 20132  df-ring 20185

This theorem is referenced by:  ringsrg  20247  gsummulc1OLD  20264  gsummulc2OLD  20265  gsumfsum  21404  nn0srg  21407  rge0srg  21408  freshmansdream  21544  ofldchr  21546  regsumsupp  21592  ip2di  21611  psrlidm  21932  psrridm  21933  psrdir  21936  psrcom  21938  mplmonmul  22006  mplcoe1  22007  evlslem2  22049  evlslem1  22052  evlsgsumadd  22066  mhpmulcl  22107  psropprmul  22193  coe1mul2  22226  coe1fzgsumdlem  22262  gsumsmonply1  22266  gsummoncoe1  22267  lply1binom  22269  evls1gsumadd  22283  evl1gsumdlem  22315  mamucl  22360  mamudi  22362  mamudir  22363  mat1dimmul  22435  dmatmul  22456  mavmulcl  22506  mdetleib2  22547  mdetf  22554  mdetrlin  22561  mdetralt  22567  m2detleib  22590  madugsum  22602  smadiadetlem3lem2  22626  smadiadet  22629  mat2pmatmul  22690  m2pmfzgsumcl  22707  decpmatmul  22731  pmatcollpw1  22735  pmatcollpwfi  22741  pmatcollpw3fi1lem1  22745  pm2mpcl  22756  mply1topmatcl  22764  mp2pm2mplem2  22766  mp2pm2mplem4  22768  mp2pm2mp  22770  pm2mpghm  22775  pm2mpmhmlem2  22778  pm2mp  22784  chfacfscmulgsum  22819  chfacfpmmulgsum  22823  cpmadugsumlemF  22835  cpmadugsumfi  22836  cayhamlem4  22847  tdeglem1  26034  tdeglem3  26035  tdeglem4  26036  plypf1  26188  taylfvallem  26336  taylf  26339  tayl0  26340  taylpfval  26343  jensenlem1  26968  jensenlem2  26969  jensen  26970  amgm  26972  gsummulgc2  33164  elrspunidl  33525  psrmonprod  33733  esplyfvaln  33755  ply1degltdimlem  33804  fedgmullem1  33811  fedgmullem2  33812  mdetpmtr1  34005  zarcmplem  34063  matunitlindflem1  37871  lfladdcl  39451  aks6d1c1  42490  aks6d1c5lem2  42512  mhphflem  42958  ply1mulgsum  48754  amgmwlem  50165