Theorem ringcmn 20215

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20214	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19714	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  CMndccmn 19707  Abelcabl 19708  Ringcrg 20166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168

This theorem is referenced by:  ringsrg  20230  gsummulc1OLD  20247  gsummulc2OLD  20248  gsumfsum  21387  nn0srg  21390  rge0srg  21391  freshmansdream  21527  ofldchr  21529  regsumsupp  21575  ip2di  21594  psrlidm  21915  psrridm  21916  psrdir  21919  psrcom  21921  mplmonmul  21989  mplcoe1  21990  evlslem2  22032  evlslem1  22035  evlsgsumadd  22049  mhpmulcl  22090  psropprmul  22176  coe1mul2  22209  coe1fzgsumdlem  22245  gsumsmonply1  22249  gsummoncoe1  22250  lply1binom  22252  evls1gsumadd  22266  evl1gsumdlem  22298  mamucl  22343  mamudi  22345  mamudir  22346  mat1dimmul  22418  dmatmul  22439  mavmulcl  22489  mdetleib2  22530  mdetf  22537  mdetrlin  22544  mdetralt  22550  m2detleib  22573  madugsum  22585  smadiadetlem3lem2  22609  smadiadet  22612  mat2pmatmul  22673  m2pmfzgsumcl  22690  decpmatmul  22714  pmatcollpw1  22718  pmatcollpwfi  22724  pmatcollpw3fi1lem1  22728  pm2mpcl  22739  mply1topmatcl  22747  mp2pm2mplem2  22749  mp2pm2mplem4  22751  mp2pm2mp  22753  pm2mpghm  22758  pm2mpmhmlem2  22761  pm2mp  22767  chfacfscmulgsum  22802  chfacfpmmulgsum  22806  cpmadugsumlemF  22818  cpmadugsumfi  22819  cayhamlem4  22830  tdeglem1  26017  tdeglem3  26018  tdeglem4  26019  plypf1  26171  taylfvallem  26319  taylf  26322  tayl0  26323  taylpfval  26326  jensenlem1  26951  jensenlem2  26952  jensen  26953  amgm  26955  gsummulgc2  33098  elrspunidl  33458  ply1degltdimlem  33728  fedgmullem1  33735  fedgmullem2  33736  mdetpmtr1  33929  zarcmplem  33987  matunitlindflem1  37756  lfladdcl  39270  aks6d1c1  42309  aks6d1c5lem2  42331  mhphflem  42781  ply1mulgsum  48578  amgmwlem  49989