MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcmn 19330
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ringcmn (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn
StepHypRef Expression
1 ringabl 19329 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2 ablcmn 18912 . 2 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
31, 2syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  CMndccmn 18905  Abelcabl 18906  Ringcrg 19296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298
This theorem is referenced by:  ringsrg  19338  gsummulc1  19355  gsummulc2  19356  gsumdixp  19358  psrmulcllem  20166  psrlidm  20182  psrridm  20183  psrass1  20184  psrdi  20185  psrdir  20186  psrcom  20188  mplmonmul  20244  mplcoe1  20245  evlslem2  20291  evlslem1  20294  evlsgsumadd  20303  psropprmul  20405  coe1mul2  20436  coe1fzgsumdlem  20468  gsumsmonply1  20470  gsummoncoe1  20471  lply1binom  20473  evls1gsumadd  20486  evl1gsumdlem  20518  gsumfsum  20611  nn0srg  20614  rge0srg  20615  regsumsupp  20765  ip2di  20784  frlmphl  20924  mamucl  21009  mamuass  21010  mamudi  21011  mamudir  21012  mat1dimmul  21084  dmatmul  21105  mavmulcl  21155  mavmulass  21157  mdetleib2  21196  mdetf  21203  mdetrlin  21210  mdetralt  21216  m2detleib  21239  madugsum  21251  smadiadetlem3lem2  21275  smadiadet  21278  mat2pmatmul  21338  m2pmfzgsumcl  21355  decpmatmul  21379  pmatcollpw1  21383  pmatcollpwfi  21389  pmatcollpw3fi1lem1  21393  pm2mpcl  21404  mply1topmatcl  21412  mp2pm2mplem2  21414  mp2pm2mplem4  21416  mp2pm2mp  21418  pm2mpghm  21423  pm2mpmhmlem2  21426  pm2mp  21432  chfacfscmulgsum  21467  chfacfpmmulgsum  21471  cpmadugsumlemF  21483  cpmadugsumfi  21484  cayhamlem4  21495  tdeglem1  24651  tdeglem3  24652  tdeglem4  24653  plypf1  24801  taylfvallem  24945  taylf  24948  tayl0  24949  taylpfval  24952  jensenlem1  25563  jensenlem2  25564  jensen  25565  amgm  25567  freshmansdream  30859  ofldchr  30887  fedgmullem1  31025  fedgmullem2  31026  mdetpmtr1  31088  matunitlindflem1  34887  lfladdcl  36206  ply1mulgsum  44443  amgmwlem  44902
  Copyright terms: Public domain W3C validator