Theorem ringcmn 19333

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 19332	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 18915	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  CMndccmn 18908  Abelcabl 18909  Ringcrg 19299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301

This theorem is referenced by:  ringsrg  19341  gsummulc1  19358  gsummulc2  19359  gsumdixp  19361  psrmulcllem  20169  psrlidm  20185  psrridm  20186  psrass1  20187  psrdi  20188  psrdir  20189  psrcom  20191  mplmonmul  20247  mplcoe1  20248  evlslem2  20294  evlslem1  20297  evlsgsumadd  20306  psropprmul  20408  coe1mul2  20439  coe1fzgsumdlem  20471  gsumsmonply1  20473  gsummoncoe1  20474  lply1binom  20476  evls1gsumadd  20489  evl1gsumdlem  20521  gsumfsum  20614  nn0srg  20617  rge0srg  20618  regsumsupp  20768  ip2di  20787  frlmphl  20927  mamucl  21012  mamuass  21013  mamudi  21014  mamudir  21015  mat1dimmul  21087  dmatmul  21108  mavmulcl  21158  mavmulass  21160  mdetleib2  21199  mdetf  21206  mdetrlin  21213  mdetralt  21219  m2detleib  21242  madugsum  21254  smadiadetlem3lem2  21278  smadiadet  21281  mat2pmatmul  21341  m2pmfzgsumcl  21358  decpmatmul  21382  pmatcollpw1  21386  pmatcollpwfi  21392  pmatcollpw3fi1lem1  21396  pm2mpcl  21407  mply1topmatcl  21415  mp2pm2mplem2  21417  mp2pm2mplem4  21419  mp2pm2mp  21421  pm2mpghm  21426  pm2mpmhmlem2  21429  pm2mp  21435  chfacfscmulgsum  21470  chfacfpmmulgsum  21474  cpmadugsumlemF  21486  cpmadugsumfi  21487  cayhamlem4  21498  tdeglem1  24654  tdeglem3  24655  tdeglem4  24656  plypf1  24804  taylfvallem  24948  taylf  24951  tayl0  24952  taylpfval  24955  jensenlem1  25566  jensenlem2  25567  jensen  25568  amgm  25570  freshmansdream  30861  ofldchr  30889  fedgmullem1  31027  fedgmullem2  31028  mdetpmtr1  31090  matunitlindflem1  34890  lfladdcl  36209  ply1mulgsum  44451  amgmwlem  44910