Theorem ringcmn 19735

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 19734	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19308	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  CMndccmn 19301  Abelcabl 19302  Ringcrg 19698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700

This theorem is referenced by:  ringsrg  19743  gsummulc1  19760  gsummulc2  19761  gsumdixp  19763  gsumfsum  20577  nn0srg  20580  rge0srg  20581  regsumsupp  20739  ip2di  20758  frlmphl  20898  psrmulcllem  21066  psrlidm  21082  psrridm  21083  psrass1  21084  psrdi  21085  psrdir  21086  psrcom  21088  mplmonmul  21147  mplcoe1  21148  evlslem2  21199  evlslem1  21202  evlsgsumadd  21211  mhpmulcl  21249  psropprmul  21319  coe1mul2  21350  coe1fzgsumdlem  21382  gsumsmonply1  21384  gsummoncoe1  21385  lply1binom  21387  evls1gsumadd  21400  evl1gsumdlem  21432  mamucl  21458  mamuass  21459  mamudi  21460  mamudir  21461  mat1dimmul  21533  dmatmul  21554  mavmulcl  21604  mavmulass  21606  mdetleib2  21645  mdetf  21652  mdetrlin  21659  mdetralt  21665  m2detleib  21688  madugsum  21700  smadiadetlem3lem2  21724  smadiadet  21727  mat2pmatmul  21788  m2pmfzgsumcl  21805  decpmatmul  21829  pmatcollpw1  21833  pmatcollpwfi  21839  pmatcollpw3fi1lem1  21843  pm2mpcl  21854  mply1topmatcl  21862  mp2pm2mplem2  21864  mp2pm2mplem4  21866  mp2pm2mp  21868  pm2mpghm  21873  pm2mpmhmlem2  21876  pm2mp  21882  chfacfscmulgsum  21917  chfacfpmmulgsum  21921  cpmadugsumlemF  21933  cpmadugsumfi  21934  cayhamlem4  21945  tdeglem1  25125  tdeglem1OLD  25126  tdeglem3  25127  tdeglem3OLD  25128  tdeglem4  25129  tdeglem4OLD  25130  plypf1  25278  taylfvallem  25422  taylf  25425  tayl0  25426  taylpfval  25429  jensenlem1  26041  jensenlem2  26042  jensen  26043  amgm  26045  freshmansdream  31386  ofldchr  31415  elrspunidl  31508  fedgmullem1  31612  fedgmullem2  31613  mdetpmtr1  31675  zarcmplem  31733  matunitlindflem1  35700  lfladdcl  37012  mhphflem  40207  ply1mulgsum  45619  amgmwlem  46392