Theorem ringcmn 20365

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20364	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19857	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  CMndccmn 19850  Abelcabl 19851  Ringcrg 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317

This theorem is referenced by:  ringsrg  20380  gsumfsum  21553  nn0srg  21556  rge0srg  21557  freshmansdream  21693  ofldchr  21695  regsumsupp  21741  ip2di  21760  psrlidm  22080  psrridm  22081  psrdir  22084  psrcom  22086  mplmonmul  22156  mplcoe1  22157  evlslem2  22199  evlslem1  22202  evlsgsumadd  22216  mhpmulcl  22281  psropprmul  22366  coe1mul2  22399  coe1fzgsumdlem  22432  gsumsmonply1  22436  gsummoncoe1  22437  lply1binom  22439  evls1gsumadd  22453  evl1gsumdlem  22485  mamucl  22527  mamudi  22529  mamudir  22530  mat1dimmul  22602  dmatmul  22623  mavmulcl  22673  mdetleib2  22714  mdetf  22721  mdetrlin  22728  mdetralt  22734  m2detleib  22757  madugsum  22769  smadiadetlem3lem2  22793  smadiadet  22796  mat2pmatmul  22857  m2pmfzgsumcl  22874  decpmatmul  22898  pmatcollpw1  22902  pmatcollpwfi  22908  pmatcollpw3fi1lem1  22912  pm2mpcl  22923  mply1topmatcl  22931  mp2pm2mplem2  22933  mp2pm2mplem4  22935  mp2pm2mp  22937  pm2mpghm  22942  pm2mpmhmlem2  22945  pm2mp  22951  chfacfscmulgsum  22986  chfacfpmmulgsum  22990  cpmadugsumlemF  23002  cpmadugsumfi  23003  cayhamlem4  23014  tdeglem1  26184  tdeglem3  26185  tdeglem4  26186  plypf1  26338  taylfvallem  26487  taylf  26490  tayl0  26491  taylpfval  26494  jensenlem1  27117  jensenlem2  27118  jensen  27119  amgm  27121  gsummulgc2  33327  elrspunidl  33680  psrmonprod  33887  esplyfvaln  33909  ply1degltdimlem  33957  fedgmullem1  33964  fedgmullem2  33965  mdetpmtr1  34158  zarcmplem  34216  matunitlindflem1  38189  lfladdcl  39769  aks6d1c1  42807  aks6d1c5lem2  42829  mhphflem  43254  ply1mulgsum  49089  amgmwlem  50510