Theorem ringcmn 20200

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20199	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19699	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  CMndccmn 19692  Abelcabl 19693  Ringcrg 20151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153

This theorem is referenced by:  ringsrg  20215  gsummulc1OLD  20232  gsummulc2OLD  20233  gsumfsum  21371  nn0srg  21374  rge0srg  21375  freshmansdream  21511  ofldchr  21513  regsumsupp  21559  ip2di  21578  psrlidm  21899  psrridm  21900  psrdir  21903  psrcom  21905  mplmonmul  21971  mplcoe1  21972  evlslem2  22014  evlslem1  22017  evlsgsumadd  22026  mhpmulcl  22064  psropprmul  22150  coe1mul2  22183  coe1fzgsumdlem  22218  gsumsmonply1  22222  gsummoncoe1  22223  lply1binom  22225  evls1gsumadd  22239  evl1gsumdlem  22271  mamucl  22316  mamudi  22318  mamudir  22319  mat1dimmul  22391  dmatmul  22412  mavmulcl  22462  mdetleib2  22503  mdetf  22510  mdetrlin  22517  mdetralt  22523  m2detleib  22546  madugsum  22558  smadiadetlem3lem2  22582  smadiadet  22585  mat2pmatmul  22646  m2pmfzgsumcl  22663  decpmatmul  22687  pmatcollpw1  22691  pmatcollpwfi  22697  pmatcollpw3fi1lem1  22701  pm2mpcl  22712  mply1topmatcl  22720  mp2pm2mplem2  22722  mp2pm2mplem4  22724  mp2pm2mp  22726  pm2mpghm  22731  pm2mpmhmlem2  22734  pm2mp  22740  chfacfscmulgsum  22775  chfacfpmmulgsum  22779  cpmadugsumlemF  22791  cpmadugsumfi  22792  cayhamlem4  22803  tdeglem1  25990  tdeglem3  25991  tdeglem4  25992  plypf1  26144  taylfvallem  26292  taylf  26295  tayl0  26296  taylpfval  26299  jensenlem1  26924  jensenlem2  26925  jensen  26926  amgm  26928  gsummulgc2  33040  elrspunidl  33393  ply1degltdimlem  33635  fedgmullem1  33642  fedgmullem2  33643  mdetpmtr1  33836  zarcmplem  33894  matunitlindflem1  37666  lfladdcl  39180  aks6d1c1  42219  aks6d1c5lem2  42241  mhphflem  42699  ply1mulgsum  48501  amgmwlem  49913