Theorem ringcmn 20296

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20295	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19820	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  CMndccmn 19813  Abelcabl 19814  Ringcrg 20251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253

This theorem is referenced by:  ringsrg  20311  gsummulc1OLD  20328  gsummulc2OLD  20329  gsumfsum  21470  nn0srg  21473  rge0srg  21474  freshmansdream  21611  regsumsupp  21658  ip2di  21677  psrlidm  22000  psrridm  22001  psrdir  22004  psrcom  22006  mplmonmul  22072  mplcoe1  22073  evlslem2  22121  evlslem1  22124  evlsgsumadd  22133  mhpmulcl  22171  psropprmul  22255  coe1mul2  22288  coe1fzgsumdlem  22323  gsumsmonply1  22327  gsummoncoe1  22328  lply1binom  22330  evls1gsumadd  22344  evl1gsumdlem  22376  mamucl  22421  mamudi  22423  mamudir  22424  mat1dimmul  22498  dmatmul  22519  mavmulcl  22569  mdetleib2  22610  mdetf  22617  mdetrlin  22624  mdetralt  22630  m2detleib  22653  madugsum  22665  smadiadetlem3lem2  22689  smadiadet  22692  mat2pmatmul  22753  m2pmfzgsumcl  22770  decpmatmul  22794  pmatcollpw1  22798  pmatcollpwfi  22804  pmatcollpw3fi1lem1  22808  pm2mpcl  22819  mply1topmatcl  22827  mp2pm2mplem2  22829  mp2pm2mplem4  22831  mp2pm2mp  22833  pm2mpghm  22838  pm2mpmhmlem2  22841  pm2mp  22847  chfacfscmulgsum  22882  chfacfpmmulgsum  22886  cpmadugsumlemF  22898  cpmadugsumfi  22899  cayhamlem4  22910  tdeglem1  26112  tdeglem3  26113  tdeglem4  26114  plypf1  26266  taylfvallem  26414  taylf  26417  tayl0  26418  taylpfval  26421  jensenlem1  27045  jensenlem2  27046  jensen  27047  amgm  27049  gsummulgc2  33046  ofldchr  33324  elrspunidl  33436  ply1degltdimlem  33650  fedgmullem1  33657  fedgmullem2  33658  mdetpmtr1  33784  zarcmplem  33842  matunitlindflem1  37603  lfladdcl  39053  aks6d1c1  42098  aks6d1c5lem2  42120  mhphflem  42583  ply1mulgsum  48236  amgmwlem  49033