Theorem ringcmn 20242

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20241	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19768	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  CMndccmn 19761  Abelcabl 19762  Ringcrg 20193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195

This theorem is referenced by:  ringsrg  20257  gsummulc1OLD  20274  gsummulc2OLD  20275  gsumfsum  21402  nn0srg  21405  rge0srg  21406  freshmansdream  21535  regsumsupp  21582  ip2di  21601  psrlidm  21922  psrridm  21923  psrdir  21926  psrcom  21928  mplmonmul  21994  mplcoe1  21995  evlslem2  22037  evlslem1  22040  evlsgsumadd  22049  mhpmulcl  22087  psropprmul  22173  coe1mul2  22206  coe1fzgsumdlem  22241  gsumsmonply1  22245  gsummoncoe1  22246  lply1binom  22248  evls1gsumadd  22262  evl1gsumdlem  22294  mamucl  22339  mamudi  22341  mamudir  22342  mat1dimmul  22414  dmatmul  22435  mavmulcl  22485  mdetleib2  22526  mdetf  22533  mdetrlin  22540  mdetralt  22546  m2detleib  22569  madugsum  22581  smadiadetlem3lem2  22605  smadiadet  22608  mat2pmatmul  22669  m2pmfzgsumcl  22686  decpmatmul  22710  pmatcollpw1  22714  pmatcollpwfi  22720  pmatcollpw3fi1lem1  22724  pm2mpcl  22735  mply1topmatcl  22743  mp2pm2mplem2  22745  mp2pm2mplem4  22747  mp2pm2mp  22749  pm2mpghm  22754  pm2mpmhmlem2  22757  pm2mp  22763  chfacfscmulgsum  22798  chfacfpmmulgsum  22802  cpmadugsumlemF  22814  cpmadugsumfi  22815  cayhamlem4  22826  tdeglem1  26015  tdeglem3  26016  tdeglem4  26017  plypf1  26169  taylfvallem  26317  taylf  26320  tayl0  26321  taylpfval  26324  jensenlem1  26949  jensenlem2  26950  jensen  26951  amgm  26953  gsummulgc2  33054  ofldchr  33336  elrspunidl  33443  ply1degltdimlem  33662  fedgmullem1  33669  fedgmullem2  33670  mdetpmtr1  33854  zarcmplem  33912  matunitlindflem1  37640  lfladdcl  39089  aks6d1c1  42129  aks6d1c5lem2  42151  mhphflem  42619  ply1mulgsum  48366  amgmwlem  49666