Theorem ringcmn 20305

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20304	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19829	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  CMndccmn 19822  Abelcabl 19823  Ringcrg 20260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262

This theorem is referenced by:  ringsrg  20320  gsummulc1OLD  20337  gsummulc2OLD  20338  gsumfsum  21475  nn0srg  21478  rge0srg  21479  freshmansdream  21616  regsumsupp  21663  ip2di  21682  psrlidm  22005  psrridm  22006  psrdir  22009  psrcom  22011  mplmonmul  22077  mplcoe1  22078  evlslem2  22126  evlslem1  22129  evlsgsumadd  22138  mhpmulcl  22176  psropprmul  22260  coe1mul2  22293  coe1fzgsumdlem  22328  gsumsmonply1  22332  gsummoncoe1  22333  lply1binom  22335  evls1gsumadd  22349  evl1gsumdlem  22381  mamucl  22426  mamudi  22428  mamudir  22429  mat1dimmul  22503  dmatmul  22524  mavmulcl  22574  mdetleib2  22615  mdetf  22622  mdetrlin  22629  mdetralt  22635  m2detleib  22658  madugsum  22670  smadiadetlem3lem2  22694  smadiadet  22697  mat2pmatmul  22758  m2pmfzgsumcl  22775  decpmatmul  22799  pmatcollpw1  22803  pmatcollpwfi  22809  pmatcollpw3fi1lem1  22813  pm2mpcl  22824  mply1topmatcl  22832  mp2pm2mplem2  22834  mp2pm2mplem4  22836  mp2pm2mp  22838  pm2mpghm  22843  pm2mpmhmlem2  22846  pm2mp  22852  chfacfscmulgsum  22887  chfacfpmmulgsum  22891  cpmadugsumlemF  22903  cpmadugsumfi  22904  cayhamlem4  22915  tdeglem1  26117  tdeglem3  26118  tdeglem4  26119  plypf1  26271  taylfvallem  26417  taylf  26420  tayl0  26421  taylpfval  26424  jensenlem1  27048  jensenlem2  27049  jensen  27050  amgm  27052  ofldchr  33309  elrspunidl  33421  ply1degltdimlem  33635  fedgmullem1  33642  fedgmullem2  33643  mdetpmtr1  33769  zarcmplem  33827  matunitlindflem1  37576  lfladdcl  39027  aks6d1c1  42073  aks6d1c5lem2  42095  mhphflem  42551  ply1mulgsum  48119  amgmwlem  48896