Theorem ringcmn 20202

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20201	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19701	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  CMndccmn 19694  Abelcabl 19695  Ringcrg 20153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155

This theorem is referenced by:  ringsrg  20217  gsummulc1OLD  20234  gsummulc2OLD  20235  gsumfsum  21376  nn0srg  21379  rge0srg  21380  freshmansdream  21516  ofldchr  21518  regsumsupp  21564  ip2di  21583  psrlidm  21904  psrridm  21905  psrdir  21908  psrcom  21910  mplmonmul  21976  mplcoe1  21977  evlslem2  22019  evlslem1  22022  evlsgsumadd  22031  mhpmulcl  22069  psropprmul  22155  coe1mul2  22188  coe1fzgsumdlem  22223  gsumsmonply1  22227  gsummoncoe1  22228  lply1binom  22230  evls1gsumadd  22244  evl1gsumdlem  22276  mamucl  22321  mamudi  22323  mamudir  22324  mat1dimmul  22396  dmatmul  22417  mavmulcl  22467  mdetleib2  22508  mdetf  22515  mdetrlin  22522  mdetralt  22528  m2detleib  22551  madugsum  22563  smadiadetlem3lem2  22587  smadiadet  22590  mat2pmatmul  22651  m2pmfzgsumcl  22668  decpmatmul  22692  pmatcollpw1  22696  pmatcollpwfi  22702  pmatcollpw3fi1lem1  22706  pm2mpcl  22717  mply1topmatcl  22725  mp2pm2mplem2  22727  mp2pm2mplem4  22729  mp2pm2mp  22731  pm2mpghm  22736  pm2mpmhmlem2  22739  pm2mp  22745  chfacfscmulgsum  22780  chfacfpmmulgsum  22784  cpmadugsumlemF  22796  cpmadugsumfi  22797  cayhamlem4  22808  tdeglem1  25996  tdeglem3  25997  tdeglem4  25998  plypf1  26150  taylfvallem  26298  taylf  26301  tayl0  26302  taylpfval  26305  jensenlem1  26930  jensenlem2  26931  jensen  26932  amgm  26934  gsummulgc2  33043  elrspunidl  33392  ply1degltdimlem  33611  fedgmullem1  33618  fedgmullem2  33619  mdetpmtr1  33806  zarcmplem  33864  matunitlindflem1  37603  lfladdcl  39057  aks6d1c1  42097  aks6d1c5lem2  42119  mhphflem  42577  ply1mulgsum  48372  amgmwlem  49784