Theorem ringcmn 20511

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20510	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 20001	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  CMndccmn 19994  Abelcabl 19995  Ringcrg 20459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461

This theorem is used by:  ringsrg  20528  gsumfsum  21740  nn0srg  21743  rge0srg  21744  freshmansdream  21880  ofldchr  21882  regsumsupp  21928  ip2di  21947  psrlidm  22269  psrridm  22270  psrdir  22273  psrcom  22275  mplmonmul  22345  mplcoe1  22346  evlslem2  22388  evlslem1  22391  evlsgsumadd  22405  mhpmulcl  22470  psropprmul  22555  coe1mul2  22588  coe1fzgsumdlem  22621  gsumsmonply1  22625  gsummoncoe1  22626  lply1binom  22628  evls1gsumadd  22642  evl1gsumdlem  22674  mamucl  22716  mamudi  22718  mamudir  22719  mat1dimmul  22791  dmatmul  22812  mavmulcl  22862  mdetleib2  22903  mdetf  22910  mdetrlin  22917  mdetralt  22923  m2detleib  22946  madugsum  22958  smadiadetlem3lem2  22982  smadiadet  22985  matunitlindflem1  22994  mat2pmatmul  23049  m2pmfzgsumcl  23066  decpmatmul  23090  pmatcollpw1  23094  pmatcollpwfi  23100  pmatcollpw3fi1lem1  23104  pm2mpcl  23115  mply1topmatcl  23123  mp2pm2mplem2  23125  mp2pm2mplem4  23127  mp2pm2mp  23129  pm2mpghm  23134  pm2mpmhmlem2  23137  pm2mp  23143  chfacfscmulgsum  23178  chfacfpmmulgsum  23182  cpmadugsumlemF  23194  cpmadugsumfi  23195  cayhamlem4  23206  tdeglem1  26376  tdeglem3  26377  tdeglem4  26378  plypf1  26531  taylfvallem  26685  taylf  26688  tayl0  26689  taylpfval  26692  jensenlem1  27314  jensenlem2  27315  jensen  27316  amgm  27318  gsummulgc2  33627  elrspunidl  33978  psrmonprod  34184  esplyfvaln  34206  ply1degltdimlem  34254  fedgmullem1  34261  fedgmullem2  34262  mdetpmtr1  34455  zarcmplem  34513  lfladdcl  40128  aks6d1c1  43166  aks6d1c5lem2  43188  mhphflem  43624  ply1mulgsum  49501  amgmwlem  50986