MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcmn 20011
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ringcmn (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn
StepHypRef Expression
1 ringabl 20010 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2 ablcmn 19577 . 2 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
31, 2syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  CMndccmn 19570  Abelcabl 19571  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  ringsrg  20021  gsummulc1  20038  gsummulc2  20039  gsumdixp  20041  gsumfsum  20887  nn0srg  20890  rge0srg  20891  regsumsupp  21049  ip2di  21068  frlmphl  21210  psrlidm  21395  psrridm  21396  psrass1  21397  psrdi  21398  psrdir  21399  psrcom  21401  mplmonmul  21460  mplcoe1  21461  evlslem2  21512  evlslem1  21515  evlsgsumadd  21524  mhpmulcl  21562  psropprmul  21632  coe1mul2  21663  coe1fzgsumdlem  21695  gsumsmonply1  21697  gsummoncoe1  21698  lply1binom  21700  evls1gsumadd  21713  evl1gsumdlem  21745  mamucl  21771  mamuass  21772  mamudi  21773  mamudir  21774  mat1dimmul  21848  dmatmul  21869  mavmulcl  21919  mavmulass  21921  mdetleib2  21960  mdetf  21967  mdetrlin  21974  mdetralt  21980  m2detleib  22003  madugsum  22015  smadiadetlem3lem2  22039  smadiadet  22042  mat2pmatmul  22103  m2pmfzgsumcl  22120  decpmatmul  22144  pmatcollpw1  22148  pmatcollpwfi  22154  pmatcollpw3fi1lem1  22158  pm2mpcl  22169  mply1topmatcl  22177  mp2pm2mplem2  22179  mp2pm2mplem4  22181  mp2pm2mp  22183  pm2mpghm  22188  pm2mpmhmlem2  22191  pm2mp  22197  chfacfscmulgsum  22232  chfacfpmmulgsum  22236  cpmadugsumlemF  22248  cpmadugsumfi  22249  cayhamlem4  22260  tdeglem1  25443  tdeglem1OLD  25444  tdeglem3  25445  tdeglem3OLD  25446  tdeglem4  25447  tdeglem4OLD  25448  plypf1  25596  taylfvallem  25740  taylf  25743  tayl0  25744  taylpfval  25747  jensenlem1  26359  jensenlem2  26360  jensen  26361  amgm  26363  freshmansdream  32123  ofldchr  32163  elrspunidl  32258  ply1degltdimlem  32381  fedgmullem1  32388  fedgmullem2  32389  mdetpmtr1  32468  zarcmplem  32526  matunitlindflem1  36124  lfladdcl  37583  mhphflem  40817  ply1mulgsum  46561  amgmwlem  47339
  Copyright terms: Public domain W3C validator