Theorem ringcmn 20017

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20016	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19583	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  CMndccmn 19576  Abelcabl 19577  Ringcrg 19978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-plusg 17160  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-cmn 19578  df-abl 19579  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980

This theorem is referenced by:  ringsrg  20027  gsummulc1  20044  gsummulc2  20045  gsumdixp  20047  gsumfsum  20901  nn0srg  20904  rge0srg  20905  regsumsupp  21063  ip2di  21082  frlmphl  21224  psrlidm  21409  psrridm  21410  psrass1  21411  psrdi  21412  psrdir  21413  psrcom  21415  mplmonmul  21474  mplcoe1  21475  evlslem2  21526  evlslem1  21529  evlsgsumadd  21538  mhpmulcl  21576  psropprmul  21646  coe1mul2  21677  coe1fzgsumdlem  21709  gsumsmonply1  21711  gsummoncoe1  21712  lply1binom  21714  evls1gsumadd  21727  evl1gsumdlem  21759  mamucl  21785  mamuass  21786  mamudi  21787  mamudir  21788  mat1dimmul  21862  dmatmul  21883  mavmulcl  21933  mavmulass  21935  mdetleib2  21974  mdetf  21981  mdetrlin  21988  mdetralt  21994  m2detleib  22017  madugsum  22029  smadiadetlem3lem2  22053  smadiadet  22056  mat2pmatmul  22117  m2pmfzgsumcl  22134  decpmatmul  22158  pmatcollpw1  22162  pmatcollpwfi  22168  pmatcollpw3fi1lem1  22172  pm2mpcl  22183  mply1topmatcl  22191  mp2pm2mplem2  22193  mp2pm2mplem4  22195  mp2pm2mp  22197  pm2mpghm  22202  pm2mpmhmlem2  22205  pm2mp  22211  chfacfscmulgsum  22246  chfacfpmmulgsum  22250  cpmadugsumlemF  22262  cpmadugsumfi  22263  cayhamlem4  22274  tdeglem1  25457  tdeglem1OLD  25458  tdeglem3  25459  tdeglem3OLD  25460  tdeglem4  25461  tdeglem4OLD  25462  plypf1  25610  taylfvallem  25754  taylf  25757  tayl0  25758  taylpfval  25761  jensenlem1  26373  jensenlem2  26374  jensen  26375  amgm  26377  freshmansdream  32137  ofldchr  32180  elrspunidl  32279  ply1degltdimlem  32404  fedgmullem1  32411  fedgmullem2  32412  mdetpmtr1  32493  zarcmplem  32551  matunitlindflem1  36147  lfladdcl  37606  mhphflem  40828  ply1mulgsum  46591  amgmwlem  47369