Theorem ringcmn 20279

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20278	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19805	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  CMndccmn 19798  Abelcabl 19799  Ringcrg 20230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232

This theorem is referenced by:  ringsrg  20294  gsummulc1OLD  20311  gsummulc2OLD  20312  gsumfsum  21452  nn0srg  21455  rge0srg  21456  freshmansdream  21593  regsumsupp  21640  ip2di  21659  psrlidm  21982  psrridm  21983  psrdir  21986  psrcom  21988  mplmonmul  22054  mplcoe1  22055  evlslem2  22103  evlslem1  22106  evlsgsumadd  22115  mhpmulcl  22153  psropprmul  22239  coe1mul2  22272  coe1fzgsumdlem  22307  gsumsmonply1  22311  gsummoncoe1  22312  lply1binom  22314  evls1gsumadd  22328  evl1gsumdlem  22360  mamucl  22405  mamudi  22407  mamudir  22408  mat1dimmul  22482  dmatmul  22503  mavmulcl  22553  mdetleib2  22594  mdetf  22601  mdetrlin  22608  mdetralt  22614  m2detleib  22637  madugsum  22649  smadiadetlem3lem2  22673  smadiadet  22676  mat2pmatmul  22737  m2pmfzgsumcl  22754  decpmatmul  22778  pmatcollpw1  22782  pmatcollpwfi  22788  pmatcollpw3fi1lem1  22792  pm2mpcl  22803  mply1topmatcl  22811  mp2pm2mplem2  22813  mp2pm2mplem4  22815  mp2pm2mp  22817  pm2mpghm  22822  pm2mpmhmlem2  22825  pm2mp  22831  chfacfscmulgsum  22866  chfacfpmmulgsum  22870  cpmadugsumlemF  22882  cpmadugsumfi  22883  cayhamlem4  22894  tdeglem1  26097  tdeglem3  26098  tdeglem4  26099  plypf1  26251  taylfvallem  26399  taylf  26402  tayl0  26403  taylpfval  26406  jensenlem1  27030  jensenlem2  27031  jensen  27032  amgm  27034  gsummulgc2  33063  ofldchr  33344  elrspunidl  33456  ply1degltdimlem  33673  fedgmullem1  33680  fedgmullem2  33681  mdetpmtr1  33822  zarcmplem  33880  matunitlindflem1  37623  lfladdcl  39072  aks6d1c1  42117  aks6d1c5lem2  42139  mhphflem  42606  ply1mulgsum  48307  amgmwlem  49321