Theorem ringcmn 18935

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 18934	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 18552	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2166  CMndccmn 18546  Abelcabl 18547  Ringcrg 18901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903

This theorem is referenced by:  ringsrg  18943  gsummulc1  18960  gsummulc2  18961  gsumdixp  18963  psrmulcllem  19748  psrlidm  19764  psrridm  19765  psrass1  19766  psrdi  19767  psrdir  19768  psrcom  19770  mplmonmul  19825  mplcoe1  19826  evlslem2  19872  evlslem1  19875  psropprmul  19968  coe1mul2  19999  coe1fzgsumdlem  20031  gsumsmonply1  20033  gsummoncoe1  20034  lply1binom  20036  evls1gsumadd  20049  evl1gsumdlem  20080  gsumfsum  20173  nn0srg  20176  rge0srg  20177  regsumsupp  20329  ip2di  20348  frlmphl  20487  mamucl  20574  mamuass  20575  mamudi  20576  mamudir  20577  mat1dimmul  20650  dmatmul  20671  mavmulcl  20721  mavmulass  20723  mdetleib2  20762  mdetf  20769  mdetrlin  20776  mdetralt  20782  m2detleib  20805  madugsum  20817  smadiadetlem3lem2  20842  smadiadet  20845  mat2pmatmul  20906  m2pmfzgsumcl  20923  decpmatmul  20947  pmatcollpw1  20951  pmatcollpwfi  20957  pmatcollpw3fi1lem1  20961  pm2mpcl  20972  mply1topmatcl  20980  mp2pm2mplem2  20982  mp2pm2mplem4  20984  mp2pm2mp  20986  pm2mpghm  20991  pm2mpmhmlem2  20994  pm2mp  21000  chfacfscmulgsum  21035  chfacfpmmulgsum  21039  cpmadugsumlemF  21051  cpmadugsumfi  21052  cayhamlem4  21063  tdeglem1  24217  tdeglem3  24218  tdeglem4  24219  plypf1  24367  taylfvallem  24511  taylf  24514  tayl0  24515  taylpfval  24518  jensenlem1  25126  jensenlem2  25127  jensen  25128  amgm  25130  ofldchr  30359  mdetpmtr1  30434  matunitlindflem1  33949  lfladdcl  35146  ply1mulgsum  43025  amgmwlem  43444