Theorem ringcmn 20230

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20229	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19754	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  CMndccmn 19747  Abelcabl 19748  Ringcrg 20185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187

This theorem is referenced by:  ringsrg  20245  gsummulc1OLD  20262  gsummulc2OLD  20263  gsumfsum  21384  nn0srg  21387  rge0srg  21388  freshmansdream  21525  regsumsupp  21571  ip2di  21590  psrlidm  21924  psrridm  21925  psrdir  21928  psrcom  21930  mplmonmul  21996  mplcoe1  21997  evlslem2  22047  evlslem1  22050  evlsgsumadd  22059  mhpmulcl  22096  psropprmul  22180  coe1mul2  22213  coe1fzgsumdlem  22247  gsumsmonply1  22251  gsummoncoe1  22252  lply1binom  22254  evls1gsumadd  22268  evl1gsumdlem  22300  mamucl  22345  mamudi  22347  mamudir  22348  mat1dimmul  22422  dmatmul  22443  mavmulcl  22493  mdetleib2  22534  mdetf  22541  mdetrlin  22548  mdetralt  22554  m2detleib  22577  madugsum  22589  smadiadetlem3lem2  22613  smadiadet  22616  mat2pmatmul  22677  m2pmfzgsumcl  22694  decpmatmul  22718  pmatcollpw1  22722  pmatcollpwfi  22728  pmatcollpw3fi1lem1  22732  pm2mpcl  22743  mply1topmatcl  22751  mp2pm2mplem2  22753  mp2pm2mplem4  22755  mp2pm2mp  22757  pm2mpghm  22762  pm2mpmhmlem2  22765  pm2mp  22771  chfacfscmulgsum  22806  chfacfpmmulgsum  22810  cpmadugsumlemF  22822  cpmadugsumfi  22823  cayhamlem4  22834  tdeglem1  26035  tdeglem1OLD  26036  tdeglem3  26037  tdeglem3OLD  26038  tdeglem4  26039  tdeglem4OLD  26040  plypf1  26191  taylfvallem  26337  taylf  26340  tayl0  26341  taylpfval  26344  jensenlem1  26964  jensenlem2  26965  jensen  26966  amgm  26968  ofldchr  33128  elrspunidl  33240  ply1degltdimlem  33451  fedgmullem1  33458  fedgmullem2  33459  mdetpmtr1  33555  zarcmplem  33613  matunitlindflem1  37220  lfladdcl  38673  aks6d1c1  41719  aks6d1c5lem2  41741  mhphflem  41964  ply1mulgsum  47644  amgmwlem  48421