Theorem ringcmn 20263

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 20262	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 19762	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  CMndccmn 19755  Abelcabl 19756  Ringcrg 20214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216

This theorem is referenced by:  ringsrg  20278  gsumfsum  21414  nn0srg  21417  rge0srg  21418  freshmansdream  21554  ofldchr  21556  regsumsupp  21602  ip2di  21621  psrlidm  21940  psrridm  21941  psrdir  21944  psrcom  21946  mplmonmul  22014  mplcoe1  22015  evlslem2  22057  evlslem1  22060  evlsgsumadd  22074  mhpmulcl  22115  psropprmul  22201  coe1mul2  22234  coe1fzgsumdlem  22268  gsumsmonply1  22272  gsummoncoe1  22273  lply1binom  22275  evls1gsumadd  22289  evl1gsumdlem  22321  mamucl  22366  mamudi  22368  mamudir  22369  mat1dimmul  22441  dmatmul  22462  mavmulcl  22512  mdetleib2  22553  mdetf  22560  mdetrlin  22567  mdetralt  22573  m2detleib  22596  madugsum  22608  smadiadetlem3lem2  22632  smadiadet  22635  mat2pmatmul  22696  m2pmfzgsumcl  22713  decpmatmul  22737  pmatcollpw1  22741  pmatcollpwfi  22747  pmatcollpw3fi1lem1  22751  pm2mpcl  22762  mply1topmatcl  22770  mp2pm2mplem2  22772  mp2pm2mplem4  22774  mp2pm2mp  22776  pm2mpghm  22781  pm2mpmhmlem2  22784  pm2mp  22790  chfacfscmulgsum  22825  chfacfpmmulgsum  22829  cpmadugsumlemF  22841  cpmadugsumfi  22842  cayhamlem4  22853  tdeglem1  26023  tdeglem3  26024  tdeglem4  26025  plypf1  26177  taylfvallem  26323  taylf  26326  tayl0  26327  taylpfval  26330  jensenlem1  26950  jensenlem2  26951  jensen  26952  amgm  26954  gsummulgc2  33127  elrspunidl  33488  psrmonprod  33696  esplyfvaln  33718  ply1degltdimlem  33766  fedgmullem1  33773  fedgmullem2  33774  mdetpmtr1  33967  zarcmplem  34025  matunitlindflem1  37937  lfladdcl  39517  aks6d1c1  42555  aks6d1c5lem2  42577  mhphflem  43029  ply1mulgsum  48866  amgmwlem  50277