Theorem ringcmn 19327

Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ringcmn	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Proof of Theorem ringcmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringabl 19326	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2		ablcmn 18905	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  CMndccmn 18898  Abelcabl 18899  Ringcrg 19290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292

This theorem is referenced by:  ringsrg  19335  gsummulc1  19352  gsummulc2  19353  gsumdixp  19355  gsumfsum  20158  nn0srg  20161  rge0srg  20162  regsumsupp  20311  ip2di  20330  frlmphl  20470  psrmulcllem  20625  psrlidm  20641  psrridm  20642  psrass1  20643  psrdi  20644  psrdir  20645  psrcom  20647  mplmonmul  20704  mplcoe1  20705  evlslem2  20751  evlslem1  20754  evlsgsumadd  20763  psropprmul  20867  coe1mul2  20898  coe1fzgsumdlem  20930  gsumsmonply1  20932  gsummoncoe1  20933  lply1binom  20935  evls1gsumadd  20948  evl1gsumdlem  20980  mamucl  21006  mamuass  21007  mamudi  21008  mamudir  21009  mat1dimmul  21081  dmatmul  21102  mavmulcl  21152  mavmulass  21154  mdetleib2  21193  mdetf  21200  mdetrlin  21207  mdetralt  21213  m2detleib  21236  madugsum  21248  smadiadetlem3lem2  21272  smadiadet  21275  mat2pmatmul  21336  m2pmfzgsumcl  21353  decpmatmul  21377  pmatcollpw1  21381  pmatcollpwfi  21387  pmatcollpw3fi1lem1  21391  pm2mpcl  21402  mply1topmatcl  21410  mp2pm2mplem2  21412  mp2pm2mplem4  21414  mp2pm2mp  21416  pm2mpghm  21421  pm2mpmhmlem2  21424  pm2mp  21430  chfacfscmulgsum  21465  chfacfpmmulgsum  21469  cpmadugsumlemF  21481  cpmadugsumfi  21482  cayhamlem4  21493  tdeglem1  24659  tdeglem3  24660  tdeglem4  24661  plypf1  24809  taylfvallem  24953  taylf  24956  tayl0  24957  taylpfval  24960  jensenlem1  25572  jensenlem2  25573  jensen  25574  amgm  25576  freshmansdream  30909  ofldchr  30938  elrspunidl  31014  fedgmullem1  31113  fedgmullem2  31114  mdetpmtr1  31176  zarcmplem  31234  matunitlindflem1  35053  lfladdcl  36367  ply1mulgsum  44798  amgmwlem  45330