Theorem crngbinom 20280

Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 20177): (𝐴 + 𝐵)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
crngbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
crngbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
crngbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
crngbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
crngbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
crngbinom	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem crngbinom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20190	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringsrg 20242	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
5		crngbinom.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	crngmgp 20186	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	4, 7, 8	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
10		crngbinom.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
11		crngbinom.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
12		crngbinom.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑅)
13		crngbinom.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
14		crngbinom.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
15	10, 11, 12, 13, 5, 14	csrgbinom 20177	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
16	9, 15	sylan 580	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5198  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  0cc0 11121   − cmin 11458  ℕ₀cn0 12493  ...cfz 13513  Ccbc 14308  Basecbs 17213  +_gcplusg 17256  ._rcmulr 17257   Σ_g cgsu 17439  ._gcmg 19035  CMndccmn 19746  mulGrpcmgp 20085  SRingcsrg 20131  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 13001  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14009  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-mulg 19036  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181

This theorem is referenced by:  freshmansdream  21520  lply1binom  22233