MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngbinom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngbinom 19858
Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 19780): (𝐴 + 𝐵)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
crngbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
crngbinom.m × = (.r𝑅)
crngbinom.t · = (.g𝑅)
crngbinom.a + = (+g𝑅)
crngbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
crngbinom.e = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
crngbinom (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   + ,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem crngbinom
StepHypRef Expression
1 crngring 19793 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ringsrg 19826 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
43adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
5 crngbinom.g . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
65crngmgp 19789 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
76adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
8 simpr 485 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
94, 7, 83jca 1127 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
10 crngbinom.s . . 3 𝑆 = (Base‘𝑅)
11 crngbinom.m . . 3 × = (.r𝑅)
12 crngbinom.t . . 3 · = (.g𝑅)
13 crngbinom.a . . 3 + = (+g𝑅)
14 crngbinom.e . . 3 = (.g𝐺)
1510, 11, 12, 13, 5, 14csrgbinom 19780 . 2 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
169, 15sylan 580 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cmpt 5159  cfv 6435  (class class class)co 7277  0cc0 10869  cmin 11203  0cn0 12231  ...cfz 13237  Ccbc 14014  Basecbs 16910  +gcplusg 16960  .rcmulr 16961   Σg cgsu 17149  .gcmg 18698  CMndccmn 19384  mulGrpcmgp 19718  SRingcsrg 19739  Ringcrg 19781  CRingccrg 19782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-map 8615  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fsupp 9127  df-oi 9267  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-rp 12729  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-seq 13720  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-srg 19740  df-ring 19783  df-cring 19784
This theorem is referenced by:  lply1binom  21475  freshmansdream  31481
  Copyright terms: Public domain W3C validator