Theorem crngbinom 20526

Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 20419): (𝐴 + 𝐵)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
crngbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
crngbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
crngbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
crngbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
crngbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
crngbinom	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem crngbinom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20433	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringsrg 20489	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
5		crngbinom.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	crngmgp 20428	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	4, 7, 8	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
10		crngbinom.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
11		crngbinom.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
12		crngbinom.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑅)
13		crngbinom.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
14		crngbinom.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
15	10, 11, 12, 13, 5, 14	csrgbinom 20419	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
16	9, 15	sylan 592	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171   − cmin 11512  ℕ₀cn0 12575  ...cfz 13608  Ccbc 14413  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389  ._rcmulr 17390   Σ_g cgsu 17572  ._gcmg 19238  CMndccmn 19955  mulGrpcmgp 20321  SRingcsrg 20373  Ringcrg 20420  CRingccrg 20421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-fac 14385  df-bc 14414  df-hash 14442  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-srg 20374  df-ring 20422  df-cring 20423

This theorem is used by:  freshmansdream  21841  lply1binom  22589