MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngbinom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngbinom 19097
Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 19022): (𝐴 + 𝐵)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴𝑘) · (𝐵↑(𝑁𝑘)). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
crngbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
crngbinom.m × = (.r𝑅)
crngbinom.t · = (.g𝑅)
crngbinom.a + = (+g𝑅)
crngbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
crngbinom.e = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
crngbinom (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   + ,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem crngbinom
StepHypRef Expression
1 crngring 19034 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ringsrg 19065 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
43adantr 473 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
5 crngbinom.g . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
65crngmgp 19031 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
76adantr 473 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
8 simpr 477 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
94, 7, 83jca 1108 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
10 crngbinom.s . . 3 𝑆 = (Base‘𝑅)
11 crngbinom.m . . 3 × = (.r𝑅)
12 crngbinom.t . . 3 · = (.g𝑅)
13 crngbinom.a . . 3 + = (+g𝑅)
14 crngbinom.e . . 3 = (.g𝐺)
1510, 11, 12, 13, 5, 14csrgbinom 19022 . 2 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
169, 15sylan 572 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cmpt 5009  cfv 6190  (class class class)co 6978  0cc0 10337  cmin 10672  0cn0 11710  ...cfz 12711  Ccbc 13480  Basecbs 16342  +gcplusg 16424  .rcmulr 16425   Σg cgsu 16573  .gcmg 18014  CMndccmn 18669  mulGrpcmgp 18965  SRingcsrg 18981  Ringcrg 19023  CRingccrg 19024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-fac 13452  df-bc 13481  df-hash 13509  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-mulg 18015  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-srg 18982  df-ring 19025  df-cring 19026
This theorem is referenced by:  lply1binom  20180  freshmansdream  30538
  Copyright terms: Public domain W3C validator