Theorem crngbinom 20288

Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 20184): (𝐴 + 𝐵)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
crngbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
crngbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
crngbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
crngbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
crngbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
crngbinom	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem crngbinom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20197	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringsrg 20249	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
5		crngbinom.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	crngmgp 20193	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	4, 7, 8	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
10		crngbinom.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
11		crngbinom.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
12		crngbinom.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑅)
13		crngbinom.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
14		crngbinom.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
15	10, 11, 12, 13, 5, 14	csrgbinom 20184	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
16	9, 15	sylan 581	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040   − cmin 11378  ℕ₀cn0 12415  ...cfz 13437  Ccbc 14239  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  ._rcmulr 17192   Σ_g cgsu 17374  ._gcmg 19014  CMndccmn 19726  mulGrpcmgp 20092  SRingcsrg 20138  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-fac 14211  df-bc 14240  df-hash 14268  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-srg 20139  df-ring 20187  df-cring 20188

This theorem is referenced by:  freshmansdream  21546  lply1binom  22271