Theorem crngbinom 20565

Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 20458): (𝐴 + 𝐵)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑𝑘) · (𝐵↑(𝑁 − 𝑘)). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
crngbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
crngbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
crngbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
crngbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
crngbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
crngbinom	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem crngbinom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20472	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringsrg 20528	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ SRing)
5		crngbinom.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	crngmgp 20467	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	4, 7, 8	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
10		crngbinom.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
11		crngbinom.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
12		crngbinom.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑅)
13		crngbinom.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
14		crngbinom.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
15	10, 11, 12, 13, 5, 14	csrgbinom 20458	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
16	9, 15	sylan 592	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200   − cmin 11541  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  Ccbc 14446  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429   Σ_g cgsu 17611  ._gcmg 19277  CMndccmn 19994  mulGrpcmgp 20360  SRingcsrg 20412  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462

This theorem is used by:  freshmansdream  21880  lply1binom  22628