MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdet1 21878
Description: The determinant of the identity matrix is 1, i.e. the determinant function is normalized, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet1.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet1.n 𝐼 = (1r𝐴)
mdet1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdet1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) = 1 )

Proof of Theorem mdet1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
2 crngring 19906 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32anim1ci 617 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4 mdet1.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
54matring 21720 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
7 mdet1.n . . . . . 6 𝐼 = (1r𝐴)
86, 7ringidcl 19919 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
93, 5, 83syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 mdet1.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
1210, 11ringidcl 19919 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 1 ∈ (Base‘𝑅))
1413adantr 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
151, 9, 14jca32 517 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))))
16 eqid 2738 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
17 simplr 768 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
182adantr 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Ring)
1918adantr 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
20 simprl 770 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
21 simprr 772 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
224, 11, 16, 17, 19, 20, 21, 7mat1ov 21725 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g𝑅)))
2322ralrimivva 3196 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g𝑅)))
24 mdet1.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
25 eqid 2738 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
26 eqid 2738 . . . 4 (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
2724, 4, 6, 25, 16, 10, 26mdetdiagid 21877 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g𝑅)) → (𝐷𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 )))
2815, 23, 27sylc 65 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ))
29 ringsrg 19942 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
302, 29syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
31 hashcl 14185 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
3225, 26, 11srg1expzeq1 19886 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
3330, 31, 32syl2an 597 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
3428, 33eqtrd 2778 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  ifcif 4485  cfv 6492  (class class class)co 7350  Fincfn 8817  0cn0 12347  chash 14159  Basecbs 17019  0gc0g 17257  .gcmg 18807  mulGrpcmgp 19831  1rcur 19848  SRingcsrg 19852  Ringcrg 19894  CRingccrg 19895   Mat cmat 21682   maDet cmdat 21861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-tpos 8125  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-sup 9312  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-rp 12846  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-seq 13837  df-exp 13898  df-hash 14160  df-word 14332  df-lsw 14380  df-concat 14388  df-s1 14413  df-substr 14462  df-pfx 14492  df-splice 14571  df-reverse 14580  df-s2 14670  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-hom 17093  df-cco 17094  df-0g 17259  df-gsum 17260  df-prds 17265  df-pws 17267  df-mre 17402  df-mrc 17403  df-acs 17405  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-mhm 18537  df-submnd 18538  df-efmnd 18615  df-grp 18687  df-minusg 18688  df-sbg 18689  df-mulg 18808  df-subg 18860  df-ghm 18941  df-gim 18984  df-cntz 19032  df-oppg 19059  df-symg 19084  df-pmtr 19159  df-psgn 19208  df-cmn 19499  df-abl 19500  df-mgp 19832  df-ur 19849  df-srg 19853  df-ring 19896  df-cring 19897  df-oppr 19978  df-dvdsr 19999  df-unit 20000  df-invr 20030  df-dvr 20041  df-rnghom 20075  df-drng 20116  df-subrg 20149  df-lmod 20253  df-lss 20322  df-sra 20562  df-rgmod 20563  df-cnfld 20726  df-zring 20799  df-zrh 20833  df-dsmm 21067  df-frlm 21082  df-mamu 21661  df-mat 21683  df-mdet 21862
This theorem is referenced by:  mdetuni0  21898  matunit  21955  cramerimplem1  21960  matunitlindflem2  36006
  Copyright terms: Public domain W3C validator