Theorem mdet1 22628

Description: The determinant of the identity matrix is 1, i.e. the determinant function is normalized, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdet1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet1.n	⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
mdet1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdet1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = 1 )

Proof of Theorem mdet1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
2		crngring 20272	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	anim1ci 615	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4		mdet1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22470	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
7		mdet1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
8	6, 7	ringidcl 20289	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
9	3, 5, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		mdet1.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	10, 11	ringidcl 20289	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1 ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
15	1, 9, 14	jca32 515	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
18	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
21		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22	4, 11, 16, 17, 19, 20, 21, 7	mat1ov 22475	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
23	22	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
24		mdet1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
25		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
26		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
27	24, 4, 6, 25, 16, 10, 26	mdetdiagid 22627	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) → (𝐷‘𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 )))
28	15, 23, 27	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ))
29		ringsrg 20320	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
30	2, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
31		hashcl 14405	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
32	25, 26, 11	srg1expzeq1 20252	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
33	30, 31, 32	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
34	28, 33	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ifcif 4548  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℕ₀cn0 12553  ♯chash 14379  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  SRingcsrg 20213  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261   Mat cmat 22432   maDet cmdat 22611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-reverse 14807  df-s2 14897  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-efmnd 18904  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-symg 19411  df-pmtr 19484  df-psgn 19533  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-mamu 22416  df-mat 22433  df-mdet 22612

This theorem is referenced by:  mdetuni0  22648  matunit  22705  cramerimplem1  22710  matunitlindflem2  37577