MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdet1 20898
Description: The determinant of the identity matrix is 1, i.e. the determinant function is normalized, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet1.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet1.n 𝐼 = (1r𝐴)
mdet1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdet1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) = 1 )

Proof of Theorem mdet1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
2 crngring 19002 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32anim1ci 615 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4 mdet1.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
54matring 20740 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6 eqid 2797 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
7 mdet1.n . . . . . 6 𝐼 = (1r𝐴)
86, 7ringidcl 19012 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
93, 5, 83syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10 eqid 2797 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 mdet1.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
1210, 11ringidcl 19012 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 1 ∈ (Base‘𝑅))
1413adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
151, 9, 14jca32 516 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))))
16 eqid 2797 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
17 simplr 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
182adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Ring)
1918adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
20 simprl 767 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
21 simprr 769 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
224, 11, 16, 17, 19, 20, 21, 7mat1ov 20745 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g𝑅)))
2322ralrimivva 3160 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g𝑅)))
24 mdet1.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
25 eqid 2797 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
26 eqid 2797 . . . 4 (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
2724, 4, 6, 25, 16, 10, 26mdetdiagid 20897 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g𝑅)) → (𝐷𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 )))
2815, 23, 27sylc 65 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ))
29 ringsrg 19033 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
302, 29syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
31 hashcl 13571 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
3225, 26, 11srg1expzeq1 18983 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
3330, 31, 32syl2an 595 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
3428, 33eqtrd 2833 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  ifcif 4387  cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  0cn0 11751  chash 13544  Basecbs 16316  0gc0g 16546  .gcmg 17985  mulGrpcmgp 18933  1rcur 18945  SRingcsrg 18949  Ringcrg 18991  CRingccrg 18992   Mat cmat 20704   maDet cmdat 20881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-xor 1497  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-ot 4487  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-sup 8759  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-word 13712  df-lsw 13765  df-concat 13773  df-s1 13798  df-substr 13843  df-pfx 13873  df-splice 13952  df-reverse 13961  df-s2 14050  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-prds 16554  df-pws 16556  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-ghm 18101  df-gim 18144  df-cntz 18192  df-oppg 18219  df-symg 18241  df-pmtr 18305  df-psgn 18354  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-srg 18950  df-ring 18993  df-cring 18994  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116  df-dvr 19127  df-rnghom 19161  df-drng 19198  df-subrg 19227  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-cnfld 20232  df-zring 20304  df-zrh 20337  df-dsmm 20562  df-frlm 20577  df-mamu 20681  df-mat 20705  df-mdet 20882
This theorem is referenced by:  mdetuni0  20918  matunit  20975  cramerimplem1  20980  matunitlindflem2  34441
  Copyright terms: Public domain W3C validator