Theorem mdet1 22539

Description: The determinant of the identity matrix is 1, i.e. the determinant function is normalized, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdet1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet1.n	⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
mdet1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdet1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = 1 )

Proof of Theorem mdet1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
2		crngring 20205	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4		mdet1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22381	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
7		mdet1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
8	6, 7	ringidcl 20225	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
9	3, 5, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		mdet1.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	10, 11	ringidcl 20225	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1 ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
15	1, 9, 14	jca32 515	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
18	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
21		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22	4, 11, 16, 17, 19, 20, 21, 7	mat1ov 22386	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
23	22	ralrimivva 3187	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
24		mdet1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
25		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
26		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
27	24, 4, 6, 25, 16, 10, 26	mdetdiagid 22538	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) → (𝐷‘𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 )))
28	15, 23, 27	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ))
29		ringsrg 20257	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
30	2, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
31		hashcl 14374	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
32	25, 26, 11	srg1expzeq1 20185	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
33	30, 31, 32	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
34	28, 33	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ifcif 4500  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℕ₀cn0 12501  ♯chash 14348  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  ._gcmg 19050  mulGrpcmgp 20100  1_rcur 20141  SRingcsrg 20146  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194   Mat cmat 22345   maDet cmdat 22522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581  df-concat 14589  df-s1 14614  df-substr 14659  df-pfx 14689  df-splice 14768  df-reverse 14777  df-s2 14867  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-efmnd 18847  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-gim 19242  df-cntz 19300  df-oppg 19329  df-symg 19351  df-pmtr 19423  df-psgn 19472  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zrh 21464  df-dsmm 21692  df-frlm 21707  df-mamu 22329  df-mat 22346  df-mdet 22523

This theorem is referenced by:  mdetuni0  22559  matunit  22616  cramerimplem1  22621  matunitlindflem2  37641