Theorem mdet1 22623

Description: The determinant of the identity matrix is 1, i.e. the determinant function is normalized, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdet1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet1.n	⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
mdet1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdet1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = 1 )

Proof of Theorem mdet1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
2		crngring 20263	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4		mdet1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22465	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
7		mdet1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
8	6, 7	ringidcl 20280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
9	3, 5, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		mdet1.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	10, 11	ringidcl 20280	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1 ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
15	1, 9, 14	jca32 515	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
18	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
21		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22	4, 11, 16, 17, 19, 20, 21, 7	mat1ov 22470	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
23	22	ralrimivva 3200	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
24		mdet1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
25		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
26		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
27	24, 4, 6, 25, 16, 10, 26	mdetdiagid 22622	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) → (𝐷‘𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 )))
28	15, 23, 27	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ))
29		ringsrg 20311	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
30	2, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
31		hashcl 14392	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
32	25, 26, 11	srg1expzeq1 20243	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
33	30, 31, 32	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
34	28, 33	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ifcif 4531  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14366  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  ._gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  1_rcur 20199  SRingcsrg 20204  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   Mat cmat 22427   maDet cmdat 22606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-mdet 22607

This theorem is referenced by:  mdetuni0  22643  matunit  22700  cramerimplem1  22705  matunitlindflem2  37604