Theorem mdet1 22823

Description: The determinant of the identity matrix is 1, i.e. the determinant function is normalized, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdet1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet1.n	⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
mdet1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdet1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = 1 )

Proof of Theorem mdet1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
2		crngring 20384	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	anim1ci 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4		mdet1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22665	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
7		mdet1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝐴)
8	6, 7	ringidcl 20406	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
9	3, 5, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ (Base‘𝐴))
10		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		mdet1.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	10, 11	ringidcl 20406	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13	2, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1 ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
15	1, 9, 14	jca32 525	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
18	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
21		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22	4, 11, 16, 17, 19, 20, 21, 7	mat1ov 22670	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
23	22	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)))
24		mdet1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
26		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
27	24, 4, 6, 25, 16, 10, 26	mdetdiagid 22822	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅))) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝐼𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 1 , (0g‘𝑅)) → (𝐷‘𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 )))
28	15, 23, 27	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ))
29		ringsrg 20439	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
30	2, 29	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
31		hashcl 14420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
32	25, 26, 11	srg1expzeq1 20364	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
33	30, 31, 32	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((♯‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘𝑅)) 1 ) = 1 )
34	28, 33	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐼) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ifcif 4482  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℕ₀cn0 12528  ♯chash 14394  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  ._gcmg 19190  mulGrpcmgp 20273  1_rcur 20320  SRingcsrg 20325  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373   Mat cmat 22629   maDet cmdat 22806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-concat 14636  df-s1 14663  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-splice 14819  df-reverse 14828  df-s2 14919  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-efmnd 18978  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-gim 19386  df-cntz 19444  df-oppg 19473  df-symg 19497  df-pmtr 19569  df-psgn 19618  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-srg 20326  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-drng 20892  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-cnfld 21586  df-zring 21660  df-zrh 21716  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-mamu 22613  df-mat 22630  df-mdet 22807

This theorem is used by:  mdetuni0  22843  matunit  22900  matunitlindflem2  22902  cramerimplem1  22908