Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimalelt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimalelt 46685
Description: If all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (ii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimalelt.x 𝑥𝜑
salpreimalelt.a 𝑎𝜑
salpreimalelt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimalelt.u 𝐴 = 𝑆
salpreimalelt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimalelt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimalelt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimalelt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimalelt
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimalelt.x . 2 𝑥𝜑
2 salpreimalelt.a . 2 𝑎𝜑
3 salpreimalelt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 salpreimalelt.u . 2 𝐴 = 𝑆
5 salpreimalelt.b . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 nfv 1912 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
71, 6nfan 1897 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
8 nfv 1912 . . 3 𝑏(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
93adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
105adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfv 1912 . . . . . 6 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
121, 11nfan 1897 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
13 nfv 1912 . . . . . 6 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
142, 13nfan 1897 . . . . 5 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
153adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
165adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17 salpreimalelt.p . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵𝑎} ∈ 𝑆)
1817adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵𝑎} ∈ 𝑆)
19 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
2012, 14, 15, 4, 16, 18, 19salpreimalegt 46665 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2120adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
22 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
237, 8, 9, 10, 21, 22salpreimagtge 46681 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎𝐵} ∈ 𝑆)
24 salpreimalelt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
251, 2, 3, 4, 5, 23, 24salpreimagelt 46663 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  {crab 3433   cuni 4912   class class class wbr 5148  cr 11152  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  SAlgcsalg 46264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13829  df-salg 46265
This theorem is referenced by:  issmflelem  46700
  Copyright terms: Public domain W3C validator