Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimalelt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimalelt 46176
Description: If all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (ii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimalelt.x 𝑥𝜑
salpreimalelt.a 𝑎𝜑
salpreimalelt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimalelt.u 𝐴 = 𝑆
salpreimalelt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimalelt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimalelt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimalelt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimalelt
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimalelt.x . 2 𝑥𝜑
2 salpreimalelt.a . 2 𝑎𝜑
3 salpreimalelt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 salpreimalelt.u . 2 𝐴 = 𝑆
5 salpreimalelt.b . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 nfv 1909 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
71, 6nfan 1894 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
8 nfv 1909 . . 3 𝑏(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
93adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
105adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfv 1909 . . . . . 6 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
121, 11nfan 1894 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
13 nfv 1909 . . . . . 6 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
142, 13nfan 1894 . . . . 5 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
153adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
165adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17 salpreimalelt.p . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵𝑎} ∈ 𝑆)
1817adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵𝑎} ∈ 𝑆)
19 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
2012, 14, 15, 4, 16, 18, 19salpreimalegt 46156 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2120adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
22 simpr 483 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
237, 8, 9, 10, 21, 22salpreimagtge 46172 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎𝐵} ∈ 𝑆)
24 salpreimalelt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
251, 2, 3, 4, 5, 23, 24salpreimagelt 46154 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  {crab 3419   cuni 4904   class class class wbr 5144  cr 11132  *cxr 11272   < clt 11273  cle 11274  SAlgcsalg 45755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fl 13784  df-salg 45756
This theorem is referenced by:  issmflelem  46191
  Copyright terms: Public domain W3C validator