Theorem salpreimalelt 47544

Description: If all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (ii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimalelt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimalelt.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimalelt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimalelt.u	⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
salpreimalelt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimalelt.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimalelt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimalelt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimalelt

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimalelt.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimalelt.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		salpreimalelt.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		salpreimalelt.u	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
5		salpreimalelt.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
7	1, 6	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
8		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
9	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
10	5	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℝ
12	1, 11	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
13		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑏 ∈ ℝ
14	2, 13	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
15	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
16	5	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17		salpreimalelt.p	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝑎} ∈ 𝑆)
18	17	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝑎} ∈ 𝑆)
19		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
20	12, 14, 15, 4, 16, 18, 19	salpreimalegt 47524	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
21	20	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
22		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	7, 8, 9, 10, 21, 22	salpreimagtge 47540	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)
24		salpreimalelt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
25	1, 2, 3, 4, 5, 23, 24	salpreimagelt 47522	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  {crab 3414  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  SAlgcsalg 47123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-fl 13855  df-salg 47124

This theorem is used by:  issmflelem  47559