Theorem salpreimalelt 46725

Description: If all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (ii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimalelt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimalelt.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimalelt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimalelt.u	⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
salpreimalelt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimalelt.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimalelt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimalelt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimalelt

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimalelt.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimalelt.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		salpreimalelt.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		salpreimalelt.u	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
5		salpreimalelt.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
7	1, 6	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
8		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
9	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
10	5	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℝ
12	1, 11	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
13		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑏 ∈ ℝ
14	2, 13	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
15	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
16	5	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17		salpreimalelt.p	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝑎} ∈ 𝑆)
18	17	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝑎} ∈ 𝑆)
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
20	12, 14, 15, 4, 16, 18, 19	salpreimalegt 46705	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
21	20	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
22		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	7, 8, 9, 10, 21, 22	salpreimagtge 46721	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)
24		salpreimalelt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
25	1, 2, 3, 4, 5, 23, 24	salpreimagelt 46703	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  {crab 3420  ∪ cuni 4888   class class class wbr 5124  ℝcr 11133  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   ≤ cle 11275  SAlgcsalg 46304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-fl 13814  df-salg 46305

This theorem is referenced by:  issmflelem  46740