Theorem salpreimalelt 47308

Description: If all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (ii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimalelt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimalelt.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimalelt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimalelt.u	⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
salpreimalelt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimalelt.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimalelt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimalelt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimalelt

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimalelt.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimalelt.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		salpreimalelt.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		salpreimalelt.u	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
5		salpreimalelt.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		nfv 1936	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
7	1, 6	nfan 1921	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
8		nfv 1936	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
9	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
10	5	adantlr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		nfv 1936	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℝ
12	1, 11	nfan 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
13		nfv 1936	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑏 ∈ ℝ
14	2, 13	nfan 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
15	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
16	5	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17		salpreimalelt.p	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝑎} ∈ 𝑆)
18	17	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝑎} ∈ 𝑆)
19		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
20	12, 14, 15, 4, 16, 18, 19	salpreimalegt 47288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
21	20	adantlr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
22		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	7, 8, 9, 10, 21, 22	salpreimagtge 47304	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)
24		salpreimalelt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
25	1, 2, 3, 4, 5, 23, 24	salpreimagelt 47286	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562  Ⅎwnf 1805   ∈ wcel 2144  {crab 3416  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102  ℝcr 11074  ℝ^*cxr 11217   < clt 11218   ≤ cle 11219  SAlgcsalg 46887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-fl 13804  df-salg 46888

This theorem is referenced by:  issmflelem  47323