Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimalelt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimalelt 46030
Description: If all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (ii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimalelt.x 𝑥𝜑
salpreimalelt.a 𝑎𝜑
salpreimalelt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimalelt.u 𝐴 = 𝑆
salpreimalelt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimalelt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimalelt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimalelt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimalelt
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimalelt.x . 2 𝑥𝜑
2 salpreimalelt.a . 2 𝑎𝜑
3 salpreimalelt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 salpreimalelt.u . 2 𝐴 = 𝑆
5 salpreimalelt.b . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 nfv 1910 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
71, 6nfan 1895 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
8 nfv 1910 . . 3 𝑏(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
93adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
105adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfv 1910 . . . . . 6 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
121, 11nfan 1895 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
13 nfv 1910 . . . . . 6 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
142, 13nfan 1895 . . . . 5 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
153adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
165adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17 salpreimalelt.p . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵𝑎} ∈ 𝑆)
1817adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵𝑎} ∈ 𝑆)
19 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
2012, 14, 15, 4, 16, 18, 19salpreimalegt 46010 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2120adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
22 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
237, 8, 9, 10, 21, 22salpreimagtge 46026 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎𝐵} ∈ 𝑆)
24 salpreimalelt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
251, 2, 3, 4, 5, 23, 24salpreimagelt 46008 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  {crab 3427   cuni 4903   class class class wbr 5142  cr 11123  *cxr 11263   < clt 11264  cle 11265  SAlgcsalg 45609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fl 13775  df-salg 45610
This theorem is referenced by:  issmflelem  46045
  Copyright terms: Public domain W3C validator