Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimagtlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimagtlt 46750
Description: If all the preimages of lef-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimagtlt.x 𝑥𝜑
salpreimagtlt.a 𝑎𝜑
salpreimagtlt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtlt.u 𝐴 = 𝑆
salpreimagtlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtlt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimagtlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtlt
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimagtlt.x . 2 𝑥𝜑
2 salpreimagtlt.a . 2 𝑎𝜑
3 salpreimagtlt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 salpreimagtlt.u . 2 𝐴 = 𝑆
5 salpreimagtlt.b . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 nfv 1913 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
71, 6nfan 1898 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
8 nfv 1913 . . 3 𝑏(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
93adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
105adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfv 1913 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
122, 11nfan 1898 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
13 nfv 1913 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆
1412, 13nfim 1895 . . . . 5 𝑎((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
15 eleq1w 2823 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑏 ∈ ℝ))
1615anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑏 ∈ ℝ)))
17 breq1 5145 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 < 𝐵𝑏 < 𝐵))
1817rabbidv 3443 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵})
1918eleq1d 2825 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ({𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆))
2016, 19imbi12d 344 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)))
21 salpreimagtlt.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2214, 20, 21chvarfv 2239 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2322adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
24 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
257, 8, 9, 10, 23, 24salpreimagtge 46745 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎𝐵} ∈ 𝑆)
26 salpreimagtlt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
271, 2, 3, 4, 5, 25, 26salpreimagelt 46727 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wnf 1782  wcel 2107  {crab 3435   cuni 4906   class class class wbr 5142  cr 11155  *cxr 11295   < clt 11296  SAlgcsalg 46328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-fl 13833  df-salg 46329
This theorem is referenced by:  issmfgtlem  46775
  Copyright terms: Public domain W3C validator