Theorem salpreimagtlt 47684

Description: If all the preimages of lef-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimagtlt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimagtlt.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimagtlt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtlt.u	⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
salpreimagtlt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtlt.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtlt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimagtlt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtlt

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimagtlt.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimagtlt.a	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
3		salpreimagtlt.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		salpreimagtlt.u	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
5		salpreimagtlt.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
7	1, 6	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
8		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
9	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
10	5	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑏 ∈ ℝ
12	2, 11	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)
13		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆
14	12, 13	nfim 1929	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
15		eleq1w 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑏 ∈ ℝ))
16	15	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
17		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 < 𝐵 ↔ 𝑏 < 𝐵))
18	17	rabbidv 3420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵})
19	18	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆))
20	16, 19	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)))
21		salpreimagtlt.p	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
22	14, 20, 21	chvarfv 2277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
23	22	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
24		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
25	7, 8, 9, 10, 23, 24	salpreimagtge 47679	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)
26		salpreimagtlt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
27	1, 2, 3, 4, 5, 25, 26	salpreimagelt 47661	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  {crab 3413  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  SAlgcsalg 47262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-fl 13912  df-salg 47263

This theorem is used by:  issmfgtlem  47709