Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimagtlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimagtlt 43230
 Description: If all the preimages of lef-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimagtlt.x 𝑥𝜑
salpreimagtlt.a 𝑎𝜑
salpreimagtlt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtlt.u 𝐴 = 𝑆
salpreimagtlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtlt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimagtlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtlt
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimagtlt.x . 2 𝑥𝜑
2 salpreimagtlt.a . 2 𝑎𝜑
3 salpreimagtlt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 salpreimagtlt.u . 2 𝐴 = 𝑆
5 salpreimagtlt.b . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 nfv 1916 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
71, 6nfan 1901 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
8 nfv 1916 . . 3 𝑏(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
93adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
105adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfv 1916 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
122, 11nfan 1901 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
13 nfv 1916 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆
1412, 13nfim 1898 . . . . 5 𝑎((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
15 eleq1w 2898 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑏 ∈ ℝ))
1615anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑏 ∈ ℝ)))
17 breq1 5056 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 < 𝐵𝑏 < 𝐵))
1817rabbidv 3466 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵})
1918eleq1d 2900 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ({𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆))
2016, 19imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)))
21 salpreimagtlt.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2214, 20, 21chvarfv 2244 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2322adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
24 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
257, 8, 9, 10, 23, 24salpreimagtge 43225 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎𝐵} ∈ 𝑆)
26 salpreimagtlt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
271, 2, 3, 4, 5, 25, 26salpreimagelt 43209 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2115  {crab 3137  ∪ cuni 4825   class class class wbr 5053  ℝcr 10530  ℝ*cxr 10668   < clt 10669  SAlgcsalg 42816 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8899  df-inf 8900  df-card 9361  df-acn 9364  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-fl 13164  df-salg 42817 This theorem is referenced by:  issmfgtlem  43255
 Copyright terms: Public domain W3C validator