Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimagtlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimagtlt 46256
Description: If all the preimages of lef-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimagtlt.x 𝑥𝜑
salpreimagtlt.a 𝑎𝜑
salpreimagtlt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtlt.u 𝐴 = 𝑆
salpreimagtlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtlt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimagtlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtlt
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimagtlt.x . 2 𝑥𝜑
2 salpreimagtlt.a . 2 𝑎𝜑
3 salpreimagtlt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 salpreimagtlt.u . 2 𝐴 = 𝑆
5 salpreimagtlt.b . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 nfv 1909 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
71, 6nfan 1894 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
8 nfv 1909 . . 3 𝑏(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
93adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
105adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfv 1909 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
122, 11nfan 1894 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
13 nfv 1909 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆
1412, 13nfim 1891 . . . . 5 𝑎((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
15 eleq1w 2808 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑏 ∈ ℝ))
1615anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑏 ∈ ℝ)))
17 breq1 5152 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 < 𝐵𝑏 < 𝐵))
1817rabbidv 3426 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵})
1918eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ({𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆))
2016, 19imbi12d 343 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)))
21 salpreimagtlt.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2214, 20, 21chvarfv 2228 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2322adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
24 simpr 483 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
257, 8, 9, 10, 23, 24salpreimagtge 46251 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎𝐵} ∈ 𝑆)
26 salpreimagtlt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
271, 2, 3, 4, 5, 25, 26salpreimagelt 46233 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  {crab 3418   cuni 4909   class class class wbr 5149  cr 11139  *cxr 11279   < clt 11280  SAlgcsalg 45834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-fl 13793  df-salg 45835
This theorem is referenced by:  issmfgtlem  46281
  Copyright terms: Public domain W3C validator