Theorem smndex1gbasOLD 18863

Description: Obsolete version of smndex1gbas 18862 as of 2-Apr-2026. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1gbasOLD	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1gbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzonn0 13654	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	2	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 𝐾 ∈ ℕ0)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
5	4	fmpt 7052	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
6	3, 5	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
7		nn0ex 12435	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7, 7	elmap 8810	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾):ℕ0⟶ℕ0)
9	6, 8	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0))
10		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)))
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → 𝑛 = 𝐾)
13	12	mpteq2dv 5167	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
14	13	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
15		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
16	7	mptex 7168	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V)
18	11, 14, 15, 17	fvmptd 6944	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
19		smndex1ibas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
20		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21	19, 20	efmndbas 18831	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0))
23	9, 18, 22	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5154  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8764  0cc0 11030  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  ..^cfzo 13600   mod cmo 13820  Basecbs 17171  EndoFMndcefmnd 18828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-tset 17231  df-efmnd 18829

This theorem is referenced by: (None)