MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mndlem 18922
Description: Lemma for smndex1mnd 18923 and smndex1id 18924. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1mndlem (𝑋𝐵 → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smndex1mndlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 4153 . . 3 (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
2 elsni 4643 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝐼} → 𝑋 = 𝐼)
3 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4 smndex1ibas.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
5 smndex1ibas.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
63, 4, 5smndex1iidm 18914 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
7 coeq2 5869 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 → (𝐼𝑋) = (𝐼𝐼))
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼𝑋 = 𝐼)
96, 7, 83eqtr4a 2803 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 → (𝐼𝑋) = 𝑋)
10 coeq1 5868 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 → (𝑋𝐼) = (𝐼𝐼))
116, 10, 83eqtr4a 2803 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 → (𝑋𝐼) = 𝑋)
129, 11jca 511 . . . . 5 (𝑋 = 𝐼 → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
132, 12syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝐼} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
14 eliun 4995 . . . . 5 (𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)})
15 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
1615sneqd 4638 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺𝑛)} = {(𝐺𝑘)})
1716eleq2d 2827 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ 𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)}))
1817cbvrexvw 3238 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)})
19 elsni 4643 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)} → 𝑋 = (𝐺𝑘))
20 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
213, 4, 5, 20smndex1igid 18917 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
223, 4, 5smndex1ibas 18913 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
233, 4, 5, 20smndex1gid 18916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
2422, 23mpan 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
2521, 24jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘) ∧ ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘)))
26 coeq2 5869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (𝐼𝑋) = (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝐺𝑘) → 𝑋 = (𝐺𝑘))
2826, 27eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝐺𝑘) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ↔ (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘)))
29 coeq1 5868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (𝑋𝐼) = ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼))
3029, 27eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝐺𝑘) → ((𝑋𝐼) = 𝑋 ↔ ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘)))
3128, 30anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋) ↔ ((𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘) ∧ ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))))
3225, 31imbitrrid 246 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋)))
3319, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)} → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋)))
3433impcom 407 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)}) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3534rexlimiva 3147 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3618, 35sylbi 217 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3714, 36sylbi 217 . . . 4 (𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3813, 37jaoi 858 . . 3 ((𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
391, 38sylbi 217 . 2 (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
40 smndex1mgm.b . 2 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
4139, 40eleq2s 2859 1 (𝑋𝐵 → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cun 3949  {csn 4626   ciun 4991  cmpt 5225  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  Basecbs 17247  s cress 17274  EndoFMndcefmnd 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882
This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18923  smndex1id  18924
  Copyright terms: Public domain W3C validator