MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mndlem 18719
Description: Lemma for smndex1mnd 18720 and smndex1id 18721. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1mndlem (𝑋𝐵 → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smndex1mndlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 4108 . . 3 (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
2 elsni 4603 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝐼} → 𝑋 = 𝐼)
3 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4 smndex1ibas.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
5 smndex1ibas.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
63, 4, 5smndex1iidm 18711 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
7 coeq2 5814 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 → (𝐼𝑋) = (𝐼𝐼))
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼𝑋 = 𝐼)
96, 7, 83eqtr4a 2802 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 → (𝐼𝑋) = 𝑋)
10 coeq1 5813 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 → (𝑋𝐼) = (𝐼𝐼))
116, 10, 83eqtr4a 2802 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 → (𝑋𝐼) = 𝑋)
129, 11jca 512 . . . . 5 (𝑋 = 𝐼 → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
132, 12syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝐼} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
14 eliun 4958 . . . . 5 (𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)})
15 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
1615sneqd 4598 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺𝑛)} = {(𝐺𝑘)})
1716eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ 𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)}))
1817cbvrexvw 3226 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)})
19 elsni 4603 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)} → 𝑋 = (𝐺𝑘))
20 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
213, 4, 5, 20smndex1igid 18714 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
223, 4, 5smndex1ibas 18710 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
233, 4, 5, 20smndex1gid 18713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
2422, 23mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
2521, 24jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘) ∧ ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘)))
26 coeq2 5814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (𝐼𝑋) = (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝐺𝑘) → 𝑋 = (𝐺𝑘))
2826, 27eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝐺𝑘) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ↔ (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘)))
29 coeq1 5813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (𝑋𝐼) = ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼))
3029, 27eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝐺𝑘) → ((𝑋𝐼) = 𝑋 ↔ ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘)))
3128, 30anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋) ↔ ((𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘) ∧ ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))))
3225, 31syl5ibr 245 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋)))
3319, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)} → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋)))
3433impcom 408 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)}) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3534rexlimiva 3144 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3618, 35sylbi 216 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3714, 36sylbi 216 . . . 4 (𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3813, 37jaoi 855 . . 3 ((𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
391, 38sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
40 smndex1mgm.b . 2 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
4139, 40eleq2s 2856 1 (𝑋𝐵 → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  cun 3908  {csn 4586   ciun 4954  cmpt 5188  ccom 5637  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  cn 12153  0cn0 12413  ..^cfzo 13567   mod cmo 13774  Basecbs 17083  s cress 17112  EndoFMndcefmnd 18678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-efmnd 18679
This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18720  smndex1id  18721
  Copyright terms: Public domain W3C validator