Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mndlem 18063
 Description: Lemma for smndex1mnd 18064 and smndex1id 18065. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1mndlem (𝑋𝐵 → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smndex1mndlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 4109 . . 3 (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
2 elsni 4565 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝐼} → 𝑋 = 𝐼)
3 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4 smndex1ibas.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
5 smndex1ibas.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
63, 4, 5smndex1iidm 18055 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
7 coeq2 5710 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 → (𝐼𝑋) = (𝐼𝐼))
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼𝑋 = 𝐼)
96, 7, 83eqtr4a 2885 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 → (𝐼𝑋) = 𝑋)
10 coeq1 5709 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 → (𝑋𝐼) = (𝐼𝐼))
116, 10, 83eqtr4a 2885 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 → (𝑋𝐼) = 𝑋)
129, 11jca 515 . . . . 5 (𝑋 = 𝐼 → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
132, 12syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝐼} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
14 eliun 4904 . . . . 5 (𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)})
15 fveq2 6651 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
1615sneqd 4560 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺𝑛)} = {(𝐺𝑘)})
1716eleq2d 2901 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ 𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)}))
1817cbvrexvw 3435 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)})
19 elsni 4565 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)} → 𝑋 = (𝐺𝑘))
20 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
213, 4, 5, 20smndex1igid 18058 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
223, 4, 5smndex1ibas 18054 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
233, 4, 5, 20smndex1gid 18057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
2422, 23mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
2521, 24jca 515 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘) ∧ ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘)))
26 coeq2 5710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (𝐼𝑋) = (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝐺𝑘) → 𝑋 = (𝐺𝑘))
2826, 27eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝐺𝑘) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ↔ (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘)))
29 coeq1 5709 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (𝑋𝐼) = ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼))
3029, 27eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝐺𝑘) → ((𝑋𝐼) = 𝑋 ↔ ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘)))
3128, 30anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋) ↔ ((𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘) ∧ ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))))
3225, 31syl5ibr 249 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (𝐺𝑘) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋)))
3319, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)} → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋)))
3433impcom 411 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)}) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3534rexlimiva 3273 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑘)} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3618, 35sylbi 220 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺𝑛)} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3714, 36sylbi 220 . . . 4 (𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
3813, 37jaoi 854 . . 3 ((𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
391, 38sylbi 220 . 2 (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
40 smndex1mgm.b . 2 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
4139, 40eleq2s 2934 1 (𝑋𝐵 → ((𝐼𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋𝐼) = 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3133   ∪ cun 3916  {csn 4548  ∪ ciun 4900   ↦ cmpt 5127   ∘ ccom 5540  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522  ℕcn 11623  ℕ0cn0 11883  ..^cfzo 13026   mod cmo 13230  Basecbs 16472   ↾s cress 16473  EndoFMndcefmnd 18022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-plusg 16567  df-tset 16573  df-efmnd 18023 This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18064  smndex1id  18065
 Copyright terms: Public domain W3C validator