MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mndlem 18852
Description: Lemma for smndex1mnd 18853 and smndex1id 18854. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1mndlem (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem smndex1mndlem
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 4144 . . 3 (𝑋 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
2 elsni 4641 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝐼} β†’ 𝑋 = 𝐼)
3 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
4 smndex1ibas.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ β„•
5 smndex1ibas.i . . . . . . . 8 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
63, 4, 5smndex1iidm 18844 . . . . . . 7 (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼
7 coeq2 5855 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 β†’ (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ 𝐼))
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 β†’ 𝑋 = 𝐼)
96, 7, 83eqtr4a 2793 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 β†’ (𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋)
10 coeq1 5854 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 β†’ (𝑋 ∘ 𝐼) = (𝐼 ∘ 𝐼))
116, 10, 83eqtr4a 2793 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 β†’ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)
129, 11jca 511 . . . . 5 (𝑋 = 𝐼 β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
132, 12syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝐼} β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
14 eliun 4995 . . . . 5 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘›)})
15 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
1615sneqd 4636 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ {(πΊβ€˜π‘›)} = {(πΊβ€˜π‘˜)})
1716eleq2d 2814 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ 𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}))
1817cbvrexvw 3230 . . . . . 6 (βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
19 elsni 4641 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ 𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜))
20 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
213, 4, 5, 20smndex1igid 18847 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜))
223, 4, 5smndex1ibas 18843 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)
233, 4, 5, 20smndex1gid 18846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
2422, 23mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
2521, 24jca 511 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜) ∧ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜)))
26 coeq2 5855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ 𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜))
2826, 27eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ↔ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜)))
29 coeq1 5854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (𝑋 ∘ 𝐼) = ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼))
3029, 27eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋 ↔ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜)))
3128, 30anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋) ↔ ((𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜) ∧ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))))
3225, 31imbitrrid 245 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
3319, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
3433impcom 407 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
3534rexlimiva 3142 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
3618, 35sylbi 216 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
3714, 36sylbi 216 . . . 4 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
3813, 37jaoi 856 . . 3 ((𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
391, 38sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
40 smndex1mgm.b . 2 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
4139, 40eleq2s 2846 1 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065   βˆͺ cun 3942  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  ..^cfzo 13651   mod cmo 13858  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  EndoFMndcefmnd 18811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-tset 17243  df-efmnd 18812
This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18853  smndex1id  18854
  Copyright terms: Public domain W3C validator