Theorem smndex1mndlem 19158

Description: Lemma for smndex1mnd 19159 and smndex1id 19160. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1mndlem	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆   𝑛,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smndex1mndlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4155	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
2		elsni 4601	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝐼} → 𝑋 = 𝐼)
3		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4		smndex1ibas.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		smndex1ibas.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
6	3, 4, 5	smndex1iidm 19147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼
7		coeq2 5847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ 𝐼))
8		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → 𝑋 = 𝐼)
9	6, 7, 8	3eqtr4a 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋)
10		coeq1 5846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝑋 ∘ 𝐼) = (𝐼 ∘ 𝐼))
11	6, 10, 8	3eqtr4a 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)
12	9, 11	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
13	2, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {𝐼} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
14		eliun 4960	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)})
15		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
16	15	sneqd 4596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺‘𝑛)} = {(𝐺‘𝑘)})
17	16	eleq2d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ 𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
18	17	cbvrexvw 3245	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)})
19		elsni 4601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑋 = (𝐺‘𝑘))
20		smndex1ibas.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
21	3, 4, 5, 20	smndex1igid 19152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
22	3, 4, 5	smndex1ibas 19146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
23	3, 4, 5, 20	smndex1gid 19150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘))
24	22, 23	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘))
25	21, 24	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘)))
26		coeq2 5847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)))
27		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → 𝑋 = (𝐺‘𝑘))
28	26, 27	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ↔ (𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘)))
29		coeq1 5846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (𝑋 ∘ 𝐼) = ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼))
30	29, 27	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → ((𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋 ↔ ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘)))
31	28, 30	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋) ↔ ((𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘))))
32	25, 31	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
33	19, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
34	33	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
35	34	rexlimiva 3159	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
36	18, 35	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
37	14, 36	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
38	13, 37	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
39	1, 38	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
40		smndex1mgm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
41	39, 40	eleq2s 2882	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ∪ cun 4152  {csn 4588  ∪ ciun 4956   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ..^cfzo 13828   mod cmo 14049  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  EndoFMndcefmnd 19114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-tset 17492  df-efmnd 19115

This theorem is used by:  smndex1mnd  19159  smndex1id  19160