Theorem smndex1mndlem 18825

Description: Lemma for smndex1mnd 18826 and smndex1id 18827. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1mndlem	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆   𝑛,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smndex1mndlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4102	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
2		elsni 4594	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝐼} → 𝑋 = 𝐼)
3		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4		smndex1ibas.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		smndex1ibas.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
6	3, 4, 5	smndex1iidm 18817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼
7		coeq2 5804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ 𝐼))
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → 𝑋 = 𝐼)
9	6, 7, 8	3eqtr4a 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋)
10		coeq1 5803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝑋 ∘ 𝐼) = (𝐼 ∘ 𝐼))
11	6, 10, 8	3eqtr4a 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)
12	9, 11	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
13	2, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {𝐼} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
14		eliun 4947	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)})
15		fveq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
16	15	sneqd 4589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺‘𝑛)} = {(𝐺‘𝑘)})
17	16	eleq2d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ 𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
18	17	cbvrexvw 3212	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)})
19		elsni 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑋 = (𝐺‘𝑘))
20		smndex1ibas.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
21	3, 4, 5, 20	smndex1igid 18820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
22	3, 4, 5	smndex1ibas 18816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
23	3, 4, 5, 20	smndex1gid 18819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘))
24	22, 23	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘))
25	21, 24	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘)))
26		coeq2 5804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)))
27		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → 𝑋 = (𝐺‘𝑘))
28	26, 27	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ↔ (𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘)))
29		coeq1 5803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (𝑋 ∘ 𝐼) = ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼))
30	29, 27	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → ((𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋 ↔ ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘)))
31	28, 30	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋) ↔ ((𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘))))
32	25, 31	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
33	19, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
34	33	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
35	34	rexlimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
36	18, 35	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
37	14, 36	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
38	13, 37	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
39	1, 38	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
40		smndex1mgm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
41	39, 40	eleq2s 2851	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   ∪ cun 3896  {csn 4577  ∪ ciun 4943   ↦ cmpt 5176   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  ..^cfzo 13561   mod cmo 13780  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  EndoFMndcefmnd 18784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-tset 17187  df-efmnd 18785

This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18826  smndex1id  18827