Theorem smndex1mndlem 18946

Description: Lemma for smndex1mnd 18947 and smndex1id 18948. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1mndlem	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆   𝑛,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smndex1mndlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4106	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
2		elsni 4599	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝐼} → 𝑋 = 𝐼)
3		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4		smndex1ibas.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5		smndex1ibas.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
6	3, 4, 5	smndex1iidm 18935	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼
7		coeq2 5830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ 𝐼))
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → 𝑋 = 𝐼)
9	6, 7, 8	3eqtr4a 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋)
10		coeq1 5829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝑋 ∘ 𝐼) = (𝐼 ∘ 𝐼))
11	6, 10, 8	3eqtr4a 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)
12	9, 11	jca 519	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝐼 → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
13	2, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {𝐼} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
14		eliun 4953	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)})
15		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
16	15	sneqd 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺‘𝑛)} = {(𝐺‘𝑘)})
17	16	eleq2d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ 𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)}))
18	17	cbvrexvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)})
19		elsni 4599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → 𝑋 = (𝐺‘𝑘))
20		smndex1ibas.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
21	3, 4, 5, 20	smndex1igid 18940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
22	3, 4, 5	smndex1ibas 18934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
23	3, 4, 5, 20	smndex1gid 18938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘))
24	22, 23	mpan 700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘))
25	21, 24	jca 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘)))
26		coeq2 5830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)))
27		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → 𝑋 = (𝐺‘𝑘))
28	26, 27	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ↔ (𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘)))
29		coeq1 5829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (𝑋 ∘ 𝐼) = ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼))
30	29, 27	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → ((𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋 ↔ ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘)))
31	28, 30	anbi12d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋) ↔ ((𝐼 ∘ (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐺‘𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺‘𝑘))))
32	25, 31	imbitrrid 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (𝐺‘𝑘) → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
33	19, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
34	33	impcom 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)}) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
35	34	rexlimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑘)} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
36	18, 35	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(𝐺‘𝑛)} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
37	14, 36	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
38	13, 37	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
39	1, 38	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
40		smndex1mgm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
41	39, 40	eleq2s 2880	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086   ∪ cun 3902  {csn 4582  ∪ ciun 4949   ↦ cmpt 5181   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ..^cfzo 13659   mod cmo 13879  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  EndoFMndcefmnd 18902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-tset 17305  df-efmnd 18903

This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18947  smndex1id  18948