MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mndlem 18720
Description: Lemma for smndex1mnd 18721 and smndex1id 18722. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1mndlem (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆   𝑛,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem smndex1mndlem
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 4109 . . 3 (𝑋 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
2 elsni 4604 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝐼} β†’ 𝑋 = 𝐼)
3 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
4 smndex1ibas.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ β„•
5 smndex1ibas.i . . . . . . . 8 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
63, 4, 5smndex1iidm 18712 . . . . . . 7 (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼
7 coeq2 5815 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 β†’ (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ 𝐼))
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 β†’ 𝑋 = 𝐼)
96, 7, 83eqtr4a 2803 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 β†’ (𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋)
10 coeq1 5814 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝐼 β†’ (𝑋 ∘ 𝐼) = (𝐼 ∘ 𝐼))
116, 10, 83eqtr4a 2803 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐼 β†’ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)
129, 11jca 513 . . . . 5 (𝑋 = 𝐼 β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
132, 12syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝐼} β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
14 eliun 4959 . . . . 5 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘›)})
15 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
1615sneqd 4599 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ {(πΊβ€˜π‘›)} = {(πΊβ€˜π‘˜)})
1716eleq2d 2824 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ 𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}))
1817cbvrexvw 3227 . . . . . 6 (βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
19 elsni 4604 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ 𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜))
20 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
213, 4, 5, 20smndex1igid 18715 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜))
223, 4, 5smndex1ibas 18711 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)
233, 4, 5, 20smndex1gid 18714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
2422, 23mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
2521, 24jca 513 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜) ∧ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜)))
26 coeq2 5815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (𝐼 ∘ 𝑋) = (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ 𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜))
2826, 27eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ↔ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜)))
29 coeq1 5814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (𝑋 ∘ 𝐼) = ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼))
3029, 27eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋 ↔ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜)))
3128, 30anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋) ↔ ((𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜) ∧ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))))
3225, 31syl5ibr 246 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
3319, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋)))
3433impcom 409 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)}) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
3534rexlimiva 3145 . . . . . 6 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
3618, 35sylbi 216 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)𝑋 ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
3714, 36sylbi 216 . . . 4 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
3813, 37jaoi 856 . . 3 ((𝑋 ∈ {𝐼} ∨ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
391, 38sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
40 smndex1mgm.b . 2 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
4139, 40eleq2s 2856 1 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐼 ∘ 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 ∘ 𝐼) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βˆͺ cun 3909  {csn 4587  βˆͺ ciun 4955   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  β„•cn 12154  β„•0cn0 12414  ..^cfzo 13568   mod cmo 13775  Basecbs 17084   β†Ύs cress 17113  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-efmnd 18680
This theorem is referenced by:  smndex1mnd  18721  smndex1id  18722
  Copyright terms: Public domain W3C validator