Theorem smndex1iidm 18914

Description: The modulo function 𝐼 is idempotent. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex1iidm	⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem smndex1iidm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12535	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
2		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnrp 13046	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
5		modabs2 13945	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
6	1, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
7	6	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
8	7	mpteq2ia 5245	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
9		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
10		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
11	10	cbvmptv 5255	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
12	9, 11	eqtri 2765	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
13		nn0z 12638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
14	13	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
15	14	ancomd 461	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
16		zmodcl 13931	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
18	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)))
19	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)))
20		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
21	17, 18, 19, 20	fmptco 7149	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼 ∘ 𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁)))
22	2, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
23	8, 12, 22	3eqtr4ri 2776	1 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13909  EndoFMndcefmnd 18881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18920  smndex1mndlem  18922