Theorem smndex1iidm 18886

Description: The modulo function 𝐼 is idempotent. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex1iidm	⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem smndex1iidm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12527	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
2		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnrp 13033	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
5		modabs2 13919	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
6	1, 4, 5	sylancl 584	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
7	6	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
8	7	mpteq2ia 5248	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
9		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
10		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
11	10	cbvmptv 5258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
12	9, 11	eqtri 2754	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
13		nn0z 12629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
14	13	anim2i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
15	14	ancomd 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
16		zmodcl 13905	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
18	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)))
19	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)))
20		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
21	17, 18, 19, 20	fmptco 7135	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼 ∘ 𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁)))
22	2, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
23	8, 12, 22	3eqtr4ri 2765	1 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5228   ∘ ccom 5678  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ℝ⁺crp 13022   mod cmo 13883  EndoFMndcefmnd 18853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13806  df-mod 13884

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18892  smndex1mndlem  18894