MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1iidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1iidm 18540
Description: The modulo function 𝐼 is idempotent. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
Assertion
Ref Expression
smndex1iidm (𝐼𝐼) = 𝐼
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem smndex1iidm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 12242 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
2 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
3 nnrp 12741 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 𝑁 ∈ ℝ+
5 modabs2 13625 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
61, 4, 5sylancl 586 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
76eqcomd 2744 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
87mpteq2ia 5177 . 2 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
9 smndex1ibas.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
10 oveq1 7282 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
1110cbvmptv 5187 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
129, 11eqtri 2766 . 2 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
13 nn0z 12343 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
1413anim2i 617 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
1514ancomd 462 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
16 zmodcl 13611 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
1812a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)))
199a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)))
20 oveq1 7282 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
2117, 18, 19, 20fmptco 7001 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁)))
222, 21ax-mp 5 . 2 (𝐼𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
238, 12, 223eqtr4ri 2777 1 (𝐼𝐼) = 𝐼
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cmpt 5157  ccom 5593  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  +crp 12730   mod cmo 13589  EndoFMndcefmnd 18507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590
This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18546  smndex1mndlem  18548
  Copyright terms: Public domain W3C validator