Theorem smndex1iidm 18835

Description: The modulo function 𝐼 is idempotent. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex1iidm	⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem smndex1iidm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12458	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
2		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnrp 12970	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
5		modabs2 13874	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
6	1, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
7	6	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
8	7	mpteq2ia 5205	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
9		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
10		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
11	10	cbvmptv 5214	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
12	9, 11	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
13		nn0z 12561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
14	13	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
15	14	ancomd 461	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
16		zmodcl 13860	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
18	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)))
19	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)))
20		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
21	17, 18, 19, 20	fmptco 7104	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼 ∘ 𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁)))
22	2, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
23	8, 12, 22	3eqtr4ri 2764	1 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958   mod cmo 13838  EndoFMndcefmnd 18802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18841  smndex1mndlem  18843