Theorem smndex1iidm 18540

Description: The modulo function 𝐼 is idempotent. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex1iidm	⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem smndex1iidm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12242	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
2		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnrp 12741	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ+
5		modabs2 13625	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
6	1, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
7	6	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
8	7	mpteq2ia 5177	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
9		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
10		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
11	10	cbvmptv 5187	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
12	9, 11	eqtri 2766	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁))
13		nn0z 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
14	13	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
15	14	ancomd 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
16		zmodcl 13611	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
18	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦 mod 𝑁)))
19	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)))
20		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
21	17, 18, 19, 20	fmptco 7001	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼 ∘ 𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁)))
22	2, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑦 mod 𝑁) mod 𝑁))
23	8, 12, 22	3eqtr4ri 2777	1 ⊢ (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730   mod cmo 13589  EndoFMndcefmnd 18507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18546  smndex1mndlem  18548