Theorem smndex1ibas 18834

Description: The modulo function 𝐼 is an endofunction on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex1ibas	⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)

Proof of Theorem smndex1ibas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2		nn0z 12561	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
3		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 4	zmodcld 13861	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	fmpti 7087	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0
7		nn0ex 12455	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7, 7	elmap 8847	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0)
10		smndex1ibas.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
11		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
12		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13	11, 12	efmndbas 18805	. 2 ⊢ (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0)
14	9, 10, 13	3eltr4i 2842	1 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449   mod cmo 13838  Basecbs 17186  EndoFMndcefmnd 18802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fl 13761  df-mod 13839  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-efmnd 18803

This theorem is referenced by:  smndex1basss  18839  smndex1mgm  18841  smndex1mndlem  18843  smndex1id  18845