MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1ibas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1ibas 18670
Description: The modulo function 𝐼 is an endofunction on 0. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
Assertion
Ref Expression
smndex1ibas 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)

Proof of Theorem smndex1ibas
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2 nn0z 12483 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
3 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)
52, 4zmodcld 13752 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
61, 5fmpti 7057 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0
7 nn0ex 12378 . . . 4 0 ∈ V
87, 7elmap 8768 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0m0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0)
96, 8mpbir 230 . 2 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0m0)
10 smndex1ibas.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
11 smndex1ibas.m . . 3 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
12 eqid 2738 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
1311, 12efmndbas 18641 . 2 (Base‘𝑀) = (ℕ0m0)
149, 10, 133eltr4i 2852 1 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  cmpt 5187  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  m cmap 8724  cn 12112  0cn0 12372   mod cmo 13729  Basecbs 17043  EndoFMndcefmnd 18638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-fz 13380  df-fl 13652  df-mod 13730  df-struct 16979  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-plusg 17106  df-tset 17112  df-efmnd 18639
This theorem is referenced by:  smndex1basss  18675  smndex1mgm  18677  smndex1mndlem  18679  smndex1id  18681
  Copyright terms: Public domain W3C validator