Theorem smndex1ibas 18996

Description: The modulo function 𝐼 is an endofunction on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex1ibas	⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)

Proof of Theorem smndex1ibas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2		nn0z 12630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
3		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 4	zmodcld 13943	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	fmpti 7111	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0
7		nn0ex 12525	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7, 7	elmap 8875	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0)
9	6, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0)
10		smndex1ibas.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
11		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
12		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13	11, 12	efmndbas 18967	. 2 ⊢ (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0)
14	9, 10, 13	3eltr4i 2878	1 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519   mod cmo 13920  Basecbs 17291  EndoFMndcefmnd 18964

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fl 13843  df-mod 13921  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-tset 17351  df-efmnd 18965

This theorem is used by:  smndex1basss  19004  smndex1mgm  19006  smndex1mndlem  19008  smndex1id  19010