Theorem smndex1ibas 18961

Description: The modulo function 𝐼 is an endofunction on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex1ibas	⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)

Proof of Theorem smndex1ibas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2		nn0z 12617	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
3		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 4	zmodcld 13927	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	fmpti 7110	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0
7		nn0ex 12512	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7, 7	elmap 8871	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0)
9	6, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0)
10		smndex1ibas.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
11		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
12		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13	11, 12	efmndbas 18932	. 2 ⊢ (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0)
14	9, 10, 13	3eltr4i 2882	1 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  ℕcn 12235  ℕ₀cn0 12506   mod cmo 13904  Basecbs 17271  EndoFMndcefmnd 18929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-rp 13019  df-fz 13538  df-fl 13827  df-mod 13905  df-struct 17209  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-plusg 17325  df-tset 17331  df-efmnd 18930

This theorem is referenced by:  smndex1basss  18969  smndex1mgm  18971  smndex1mndlem  18973  smndex1id  18975