Theorem smndex1ibas 18878

Description: The modulo function 𝐼 is an endofunction on ℕ₀. (Contributed by AV, 12-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex1ibas	⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)

Proof of Theorem smndex1ibas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2		nn0z 12613	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
3		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 4	zmodcld 13909	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	fmpti 7102	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0
7		nn0ex 12507	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7, 7	elmap 8885	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)):ℕ0⟶ℕ0)
9	6, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ (ℕ0 ↑m ℕ0)
10		smndex1ibas.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
11		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
12		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
13	11, 12	efmndbas 18849	. 2 ⊢ (Base‘𝑀) = (ℕ0 ↑m ℕ0)
14	9, 10, 13	3eltr4i 2847	1 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501   mod cmo 13886  Basecbs 17228  EndoFMndcefmnd 18846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fl 13809  df-mod 13887  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-tset 17290  df-efmnd 18847

This theorem is referenced by:  smndex1basss  18883  smndex1mgm  18885  smndex1mndlem  18887  smndex1id  18889