MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2hbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2hbas 18685
Description: The halving functions 𝐻 are endofunctions on 0. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0 0 = (0g𝑀)
smndex2dbas.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
Assertion
Ref Expression
smndex2hbas 𝐻𝐵

Proof of Theorem smndex2hbas
StepHypRef Expression
1 smndex2hbas.h . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
2 nn0ehalf 16219 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ0)
3 smndex2hbas.n . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) → 𝑁 ∈ ℕ0)
52, 4ifclda 4519 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) ∈ ℕ0)
61, 5fmpti 7056 . 2 𝐻:ℕ0⟶ℕ0
7 nn0ex 12377 . . . . 5 0 ∈ V
87mptex 7169 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)) ∈ V
91, 8eqeltri 2834 . . 3 𝐻 ∈ V
10 smndex2dbas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11 smndex2dbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
1210, 11elefmndbas2 18643 . . 3 (𝐻 ∈ V → (𝐻𝐵𝐻:ℕ0⟶ℕ0))
139, 12ax-mp 5 . 2 (𝐻𝐵𝐻:ℕ0⟶ℕ0)
146, 13mpbir 230 1 𝐻𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  ifcif 4484   class class class wbr 5103  cmpt 5186  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351   · cmul 11014   / cdiv 11770  2c2 12166  0cn0 12371  cdvds 16095  Basecbs 17042  0gc0g 17280  EndoFMndcefmnd 18637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-dvds 16096  df-struct 16978  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-plusg 17105  df-tset 17111  df-efmnd 18638
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator