Theorem smndex2hbas 18832

Description: The halving functions 𝐻 are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex2hbas	⊢ 𝐻 ∈ 𝐵

Proof of Theorem smndex2hbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex2hbas.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
2		nn0ehalf 16296	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ0)
3		smndex2hbas.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	2, 4	ifclda 4512	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	fmpti 7054	. 2 ⊢ 𝐻:ℕ0⟶ℕ0
7		nn0ex 12398	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7166	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)) ∈ V
9	1, 8	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
10		smndex2dbas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11		smndex2dbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12	10, 11	elefmndbas2 18790	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ 𝐻:ℕ0⟶ℕ0))
13	9, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ 𝐻:ℕ0⟶ℕ0)
14	6, 13	mpbir 231	1 ⊢ 𝐻 ∈ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ifcif 4476   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   · cmul 11022   / cdiv 11785  2c2 12191  ℕ₀cn0 12392   ∥ cdvds 16170  Basecbs 17127  0_gc0g 17350  EndoFMndcefmnd 18784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-dvds 16171  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-tset 17187  df-efmnd 18785

This theorem is referenced by: (None)