Theorem smndex2hbas 19156

Description: The halving functions 𝐻 are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex2hbas	⊢ 𝐻 ∈ 𝐵

Proof of Theorem smndex2hbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex2hbas.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
2		nn0ehalf 16589	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ0)
3		smndex2hbas.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	2, 4	ifclda 4521	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	fmpti 7142	. 2 ⊢ 𝐻:ℕ0⟶ℕ0
7		nn0ex 12650	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7258	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)) ∈ V
9	1, 8	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
10		smndex2dbas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11		smndex2dbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12	10, 11	elefmndbas2 19111	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ 𝐻:ℕ0⟶ℕ0))
13	9, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ 𝐻:ℕ0⟶ℕ0)
14	6, 13	mpbir 234	1 ⊢ 𝐻 ∈ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   · cmul 11242   / cdiv 12011  2c2 12435  ℕ₀cn0 12644   ∥ cdvds 16463  Basecbs 17428  0_gc0g 17651  EndoFMndcefmnd 19105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-dvds 16464  df-struct 17366  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-plusg 17482  df-tset 17488  df-efmnd 19106

This theorem is used by: (None)