Theorem smndex2hbas 18901

Description: The halving functions 𝐻 are endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex2hbas	⊢ 𝐻 ∈ 𝐵

Proof of Theorem smndex2hbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex2hbas.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
2		nn0ehalf 16375	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ0)
3		smndex2hbas.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	2, 4	ifclda 4558	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	fmpti 7118	. 2 ⊢ 𝐻:ℕ0⟶ℕ0
7		nn0ex 12524	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7232	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)) ∈ V
9	1, 8	eqeltri 2822	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
10		smndex2dbas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11		smndex2dbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12	10, 11	elefmndbas2 18859	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ 𝐻:ℕ0⟶ℕ0))
13	9, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ 𝐻:ℕ0⟶ℕ0)
14	6, 13	mpbir 230	1 ⊢ 𝐻 ∈ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  ifcif 4523   class class class wbr 5145   ↦ cmpt 5228  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416   · cmul 11154   / cdiv 11912  2c2 12313  ℕ₀cn0 12518   ∥ cdvds 16251  Basecbs 17208  0_gc0g 17449  EndoFMndcefmnd 18853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-dvds 16252  df-struct 17144  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-tset 17280  df-efmnd 18854

This theorem is referenced by: (None)