MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dlinvh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2dlinvh 18728
Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex2dbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
smndex2dbas.0 0 = (0gβ€˜π‘€)
smndex2dbas.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
smndex2hbas.n 𝑁 ∈ β„•0
smndex2hbas.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ π‘₯, (π‘₯ / 2), 𝑁))
Assertion
Ref Expression
smndex2dlinvh (𝐻 ∘ 𝐷) = 0
Distinct variable group:   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝑀(π‘₯)   0 (π‘₯)

Proof of Theorem smndex2dlinvh
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 12431 . . 3 2 ∈ β„•0
2 nn0mulcl 12450 . . . 4 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑦) ∈ β„•0)
3 smndex2dbas.d . . . . . 6 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
4 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑦))
54cbvmptv 5219 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯)) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (2 Β· 𝑦))
63, 5eqtri 2765 . . . . 5 𝐷 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (2 Β· 𝑦))
76a1i 11 . . . 4 (2 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (2 Β· 𝑦)))
8 smndex2hbas.h . . . . 5 𝐻 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ π‘₯, (π‘₯ / 2), 𝑁))
98a1i 11 . . . 4 (2 ∈ β„•0 β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ π‘₯, (π‘₯ / 2), 𝑁)))
10 breq2 5110 . . . . 5 (π‘₯ = (2 Β· 𝑦) β†’ (2 βˆ₯ π‘₯ ↔ 2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦)))
11 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘₯ = (2 Β· 𝑦) β†’ (π‘₯ / 2) = ((2 Β· 𝑦) / 2))
1210, 11ifbieq1d 4511 . . . 4 (π‘₯ = (2 Β· 𝑦) β†’ if(2 βˆ₯ π‘₯, (π‘₯ / 2), 𝑁) = if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁))
132, 7, 9, 12fmptco 7076 . . 3 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁)))
141, 13ax-mp 5 . 2 (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁))
15 nn0z 12525 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ β„€)
16 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· 𝑦))
17 2teven 16238 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· 𝑦)) β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦))
1815, 16, 17syl2anc 585 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦))
1918iftrued 4495 . . . 4 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 Β· 𝑦) / 2))
2019mpteq2ia 5209 . . 3 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑦) / 2))
21 nn0cn 12424 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
22 2cnd 12232 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„‚)
23 2ne0 12258 . . . . . . 7 2 β‰  0
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 2 β‰  0)
2521, 22, 24divcan3d 11937 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑦) / 2) = 𝑦)
2625mpteq2ia 5209 . . . 4 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝑦)
27 smndex2dbas.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘€)
28 nn0ex 12420 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
29 smndex2dbas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
3029efmndid 18699 . . . . . 6 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€))
3128, 30ax-mp 5 . . . . 5 ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€)
32 mptresid 6005 . . . . 5 ( I β†Ύ β„•0) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝑦)
3327, 31, 323eqtr2ri 2772 . . . 4 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝑦) = 0
3426, 33eqtri 2765 . . 3 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑦) / 2)) = 0
3520, 34eqtri 2765 . 2 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
3614, 35eqtri 2765 1 (𝐻 ∘ 𝐷) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3446  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052   Β· cmul 11057   / cdiv 11813  2c2 12209  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500   βˆ₯ cdvds 16137  Basecbs 17084  0gc0g 17322  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-dvds 16138  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-0g 17324  df-efmnd 18680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator