MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dlinvh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2dlinvh 18860
Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex2dbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
smndex2dbas.0 0 = (0gβ€˜π‘€)
smndex2dbas.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
smndex2hbas.n 𝑁 ∈ β„•0
smndex2hbas.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ π‘₯, (π‘₯ / 2), 𝑁))
Assertion
Ref Expression
smndex2dlinvh (𝐻 ∘ 𝐷) = 0
Distinct variable group:   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝑀(π‘₯)   0 (π‘₯)

Proof of Theorem smndex2dlinvh
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 12511 . . 3 2 ∈ β„•0
2 nn0mulcl 12530 . . . 4 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑦) ∈ β„•0)
3 smndex2dbas.d . . . . . 6 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
4 oveq2 7422 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑦))
54cbvmptv 5255 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯)) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (2 Β· 𝑦))
63, 5eqtri 2755 . . . . 5 𝐷 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (2 Β· 𝑦))
76a1i 11 . . . 4 (2 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (2 Β· 𝑦)))
8 smndex2hbas.h . . . . 5 𝐻 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ π‘₯, (π‘₯ / 2), 𝑁))
98a1i 11 . . . 4 (2 ∈ β„•0 β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ π‘₯, (π‘₯ / 2), 𝑁)))
10 breq2 5146 . . . . 5 (π‘₯ = (2 Β· 𝑦) β†’ (2 βˆ₯ π‘₯ ↔ 2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦)))
11 oveq1 7421 . . . . 5 (π‘₯ = (2 Β· 𝑦) β†’ (π‘₯ / 2) = ((2 Β· 𝑦) / 2))
1210, 11ifbieq1d 4548 . . . 4 (π‘₯ = (2 Β· 𝑦) β†’ if(2 βˆ₯ π‘₯, (π‘₯ / 2), 𝑁) = if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁))
132, 7, 9, 12fmptco 7132 . . 3 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁)))
141, 13ax-mp 5 . 2 (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁))
15 nn0z 12605 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ β„€)
16 eqidd 2728 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· 𝑦))
17 2teven 16323 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ (2 Β· 𝑦) = (2 Β· 𝑦)) β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦))
1815, 16, 17syl2anc 583 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦))
1918iftrued 4532 . . . 4 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 Β· 𝑦) / 2))
2019mpteq2ia 5245 . . 3 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑦) / 2))
21 nn0cn 12504 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
22 2cnd 12312 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„‚)
23 2ne0 12338 . . . . . . 7 2 β‰  0
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 2 β‰  0)
2521, 22, 24divcan3d 12017 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑦) / 2) = 𝑦)
2625mpteq2ia 5245 . . . 4 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝑦)
27 smndex2dbas.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘€)
28 nn0ex 12500 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
29 smndex2dbas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
3029efmndid 18831 . . . . . 6 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€))
3128, 30ax-mp 5 . . . . 5 ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€)
32 mptresid 6048 . . . . 5 ( I β†Ύ β„•0) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝑦)
3327, 31, 323eqtr2ri 2762 . . . 4 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ 𝑦) = 0
3426, 33eqtri 2755 . . 3 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑦) / 2)) = 0
3520, 34eqtri 2755 . 2 (𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(2 βˆ₯ (2 Β· 𝑦), ((2 Β· 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
3614, 35eqtri 2755 1 (𝐻 ∘ 𝐷) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130   Β· cmul 11135   / cdiv 11893  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580   βˆ₯ cdvds 16222  Basecbs 17171  0gc0g 17412  EndoFMndcefmnd 18811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-dvds 16223  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-tset 17243  df-0g 17414  df-efmnd 18812
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator