MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dlinvh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2dlinvh 18930
Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0 0 = (0g𝑀)
smndex2dbas.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
Assertion
Ref Expression
smndex2dlinvh (𝐻𝐷) = 0
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem smndex2dlinvh
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 12543 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 nn0mulcl 12562 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
3 smndex2dbas.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
4 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
54cbvmptv 5255 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
63, 5eqtri 2765 . . . . 5 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
76a1i 11 . . . 4 (2 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦)))
8 smndex2hbas.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
98a1i 11 . . . 4 (2 ∈ ℕ0𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)))
10 breq2 5147 . . . . 5 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
11 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝑥 / 2) = ((2 · 𝑦) / 2))
1210, 11ifbieq1d 4550 . . . 4 (𝑥 = (2 · 𝑦) → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) = if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
132, 7, 9, 12fmptco 7149 . . 3 (2 ∈ ℕ0 → (𝐻𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)))
141, 13ax-mp 5 . 2 (𝐻𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
15 nn0z 12638 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
16 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦))
17 2teven 16392 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦)) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∥ (2 · 𝑦))
1918iftrued 4533 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 · 𝑦) / 2))
2019mpteq2ia 5245 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2))
21 nn0cn 12536 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
22 2cnd 12344 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23 2ne0 12370 . . . . . . 7 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
2521, 22, 24divcan3d 12048 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑦) / 2) = 𝑦)
2625mpteq2ia 5245 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ ℕ0𝑦)
27 smndex2dbas.0 . . . . 5 0 = (0g𝑀)
28 nn0ex 12532 . . . . . 6 0 ∈ V
29 smndex2dbas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
3029efmndid 18901 . . . . . 6 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀))
3128, 30ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀)
32 mptresid 6069 . . . . 5 ( I ↾ ℕ0) = (𝑦 ∈ ℕ0𝑦)
3327, 31, 323eqtr2ri 2772 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦) = 0
3426, 33eqtri 2765 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = 0
3520, 34eqtri 2765 . 2 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
3614, 35eqtri 2765 1 (𝐻𝐷) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   · cmul 11160   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cdvds 16290  Basecbs 17247  0gc0g 17484  EndoFMndcefmnd 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-0g 17486  df-efmnd 18882
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator