Theorem smndex2dlinvh 19122

Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dlinvh	⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem smndex2dlinvh

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12627	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		nn0mulcl 12646	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
3		smndex2dbas.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
4		oveq2 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
5	4	cbvmptv 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
6	3, 5	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦)))
8		smndex2hbas.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)))
10		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
11		oveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝑥 / 2) = ((2 · 𝑦) / 2))
12	10, 11	ifbieq1d 4506	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) = if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
13	2, 7, 9, 12	fmptco 7131	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)))
14	1, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
15		nn0z 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
16		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦))
17		2teven 16531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦)) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∥ (2 · 𝑦))
19	18	iftrued 4489	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 · 𝑦) / 2))
20	19	mpteq2ia 5199	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2))
21		nn0cn 12620	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
22		2cnd 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23		2ne0 12453	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
25	21, 22, 24	divcan3d 12102	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑦) / 2) = 𝑦)
26	25	mpteq2ia 5199	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
27		smndex2dbas.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
28		nn0ex 12616	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
29		smndex2dbas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
30	29	efmndid 19090	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
32		mptresid 6042	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
33	27, 31, 32	3eqtr2ri 2790	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦) = 0
34	26, 33	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = 0
35	20, 34	eqtri 2783	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
36	14, 35	eqtri 2783	1 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204   · cmul 11209   / cdiv 11977  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697   ∥ cdvds 16428  Basecbs 17393  0_gc0g 17616  EndoFMndcefmnd 19070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-dvds 16429  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-tset 17453  df-0g 17618  df-efmnd 19071

This theorem is used by: (None)