MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dlinvh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2dlinvh 18201
Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0 0 = (0g𝑀)
smndex2dbas.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
Assertion
Ref Expression
smndex2dlinvh (𝐻𝐷) = 0
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem smndex2dlinvh
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 11996 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 nn0mulcl 12015 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
3 smndex2dbas.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
4 oveq2 7181 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
54cbvmptv 5134 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
63, 5eqtri 2762 . . . . 5 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
76a1i 11 . . . 4 (2 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦)))
8 smndex2hbas.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
98a1i 11 . . . 4 (2 ∈ ℕ0𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)))
10 breq2 5035 . . . . 5 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
11 oveq1 7180 . . . . 5 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝑥 / 2) = ((2 · 𝑦) / 2))
1210, 11ifbieq1d 4439 . . . 4 (𝑥 = (2 · 𝑦) → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) = if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
132, 7, 9, 12fmptco 6904 . . 3 (2 ∈ ℕ0 → (𝐻𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)))
141, 13ax-mp 5 . 2 (𝐻𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
15 nn0z 12089 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
16 eqidd 2740 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦))
17 2teven 15803 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦)) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
1815, 16, 17syl2anc 587 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∥ (2 · 𝑦))
1918iftrued 4423 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 · 𝑦) / 2))
2019mpteq2ia 5122 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2))
21 nn0cn 11989 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
22 2cnd 11797 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23 2ne0 11823 . . . . . . 7 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
2521, 22, 24divcan3d 11502 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑦) / 2) = 𝑦)
2625mpteq2ia 5122 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ ℕ0𝑦)
27 smndex2dbas.0 . . . . 5 0 = (0g𝑀)
28 nn0ex 11985 . . . . . 6 0 ∈ V
29 smndex2dbas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
3029efmndid 18172 . . . . . 6 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀))
3128, 30ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀)
32 mptresid 5893 . . . . 5 ( I ↾ ℕ0) = (𝑦 ∈ ℕ0𝑦)
3327, 31, 323eqtr2ri 2769 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦) = 0
3426, 33eqtri 2762 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = 0
3520, 34eqtri 2762 . 2 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
3614, 35eqtri 2762 1 (𝐻𝐷) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  Vcvv 3399  ifcif 4415   class class class wbr 5031  cmpt 5111   I cid 5429  cres 5528  ccom 5530  cfv 6340  (class class class)co 7173  0cc0 10618   · cmul 10623   / cdiv 11378  2c2 11774  0cn0 11979  cz 12065  cdvds 15702  Basecbs 16589  0gc0g 16819  EndoFMndcefmnd 18152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-dvds 15703  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-plusg 16684  df-tset 16690  df-0g 16821  df-efmnd 18153
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator