Theorem smndex2dlinvh 18879

Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dlinvh	⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem smndex2dlinvh

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12445	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		nn0mulcl 12464	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
3		smndex2dbas.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
4		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
5	4	cbvmptv 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
6	3, 5	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦)))
8		smndex2hbas.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)))
10		breq2 5076	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
11		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝑥 / 2) = ((2 · 𝑦) / 2))
12	10, 11	ifbieq1d 4479	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) = if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
13	2, 7, 9, 12	fmptco 7071	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)))
14	1, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
15		nn0z 12539	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
16		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦))
17		2teven 16315	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦)) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
18	15, 16, 17	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∥ (2 · 𝑦))
19	18	iftrued 4462	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 · 𝑦) / 2))
20	19	mpteq2ia 5167	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2))
21		nn0cn 12438	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
22		2cnd 12250	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23		2ne0 12276	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
25	21, 22, 24	divcan3d 11927	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑦) / 2) = 𝑦)
26	25	mpteq2ia 5167	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
27		smndex2dbas.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
28		nn0ex 12434	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
29		smndex2dbas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
30	29	efmndid 18847	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
32		mptresid 6003	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
33	27, 31, 32	3eqtr2ri 2769	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦) = 0
34	26, 33	eqtri 2762	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = 0
35	20, 34	eqtri 2762	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
36	14, 35	eqtri 2762	1 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431  ifcif 4454   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   I cid 5512   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029   · cmul 11034   / cdiv 11798  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515   ∥ cdvds 16212  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  EndoFMndcefmnd 18827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-dvds 16213  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-0g 17395  df-efmnd 18828

This theorem is referenced by: (None)