Theorem smndex2dlinvh 18556

Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dlinvh	⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem smndex2dlinvh

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12250	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		nn0mulcl 12269	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
3		smndex2dbas.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
4		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
5	4	cbvmptv 5187	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
6	3, 5	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦)))
8		smndex2hbas.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)))
10		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
11		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝑥 / 2) = ((2 · 𝑦) / 2))
12	10, 11	ifbieq1d 4483	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) = if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
13	2, 7, 9, 12	fmptco 7001	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)))
14	1, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
15		nn0z 12343	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
16		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦))
17		2teven 16064	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦)) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∥ (2 · 𝑦))
19	18	iftrued 4467	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 · 𝑦) / 2))
20	19	mpteq2ia 5177	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2))
21		nn0cn 12243	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
22		2cnd 12051	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23		2ne0 12077	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
25	21, 22, 24	divcan3d 11756	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑦) / 2) = 𝑦)
26	25	mpteq2ia 5177	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
27		smndex2dbas.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
28		nn0ex 12239	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
29		smndex2dbas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
30	29	efmndid 18527	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
32		mptresid 5958	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
33	27, 31, 32	3eqtr2ri 2773	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦) = 0
34	26, 33	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = 0
35	20, 34	eqtri 2766	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
36	14, 35	eqtri 2766	1 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   · cmul 10876   / cdiv 11632  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  EndoFMndcefmnd 18507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-dvds 15964  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-0g 17152  df-efmnd 18508

This theorem is referenced by: (None)