Theorem smndex2dlinvh 18975

Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dlinvh	⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem smndex2dlinvh

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12517	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		nn0mulcl 12536	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
3		smndex2dbas.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
4		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
5	4	cbvmptv 5216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
6	3, 5	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦)))
8		smndex2hbas.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)))
10		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
11		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝑥 / 2) = ((2 · 𝑦) / 2))
12	10, 11	ifbieq1d 4514	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) = if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
13	2, 7, 9, 12	fmptco 7123	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)))
14	1, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
15		nn0z 12611	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
16		eqidd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦))
17		2teven 16409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦)) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
18	15, 16, 17	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∥ (2 · 𝑦))
19	18	iftrued 4497	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 · 𝑦) / 2))
20	19	mpteq2ia 5207	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2))
21		nn0cn 12510	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
22		2cnd 12315	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23		2ne0 12343	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
25	21, 22, 24	divcan3d 11992	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑦) / 2) = 𝑦)
26	25	mpteq2ia 5207	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
27		smndex2dbas.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
28		nn0ex 12506	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
29		smndex2dbas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
30	29	efmndid 18943	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
32		mptresid 6051	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
33	27, 31, 32	3eqtr2ri 2799	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦) = 0
34	26, 33	eqtri 2792	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = 0
35	20, 34	eqtri 2792	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
36	14, 35	eqtri 2792	1 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ifcif 4489   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5553   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096   · cmul 11101   / cdiv 11867  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587   ∥ cdvds 16306  Basecbs 17265  0_gc0g 17488  EndoFMndcefmnd 18923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-dvds 16307  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-tset 17325  df-0g 17490  df-efmnd 18924

This theorem is referenced by: (None)