MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dlinvh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2dlinvh 18785
Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0 0 = (0g𝑀)
smndex2dbas.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
Assertion
Ref Expression
smndex2dlinvh (𝐻𝐷) = 0
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem smndex2dlinvh
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 12476 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 nn0mulcl 12495 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
3 smndex2dbas.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
4 oveq2 7404 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
54cbvmptv 5257 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
63, 5eqtri 2761 . . . . 5 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
76a1i 11 . . . 4 (2 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦)))
8 smndex2hbas.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
98a1i 11 . . . 4 (2 ∈ ℕ0𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)))
10 breq2 5148 . . . . 5 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
11 oveq1 7403 . . . . 5 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝑥 / 2) = ((2 · 𝑦) / 2))
1210, 11ifbieq1d 4548 . . . 4 (𝑥 = (2 · 𝑦) → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) = if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
132, 7, 9, 12fmptco 7114 . . 3 (2 ∈ ℕ0 → (𝐻𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)))
141, 13ax-mp 5 . 2 (𝐻𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
15 nn0z 12570 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
16 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦))
17 2teven 16285 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦)) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
1815, 16, 17syl2anc 585 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∥ (2 · 𝑦))
1918iftrued 4532 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 · 𝑦) / 2))
2019mpteq2ia 5247 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2))
21 nn0cn 12469 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
22 2cnd 12277 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23 2ne0 12303 . . . . . . 7 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
2521, 22, 24divcan3d 11982 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑦) / 2) = 𝑦)
2625mpteq2ia 5247 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ ℕ0𝑦)
27 smndex2dbas.0 . . . . 5 0 = (0g𝑀)
28 nn0ex 12465 . . . . . 6 0 ∈ V
29 smndex2dbas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
3029efmndid 18756 . . . . . 6 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀))
3128, 30ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀)
32 mptresid 6043 . . . . 5 ( I ↾ ℕ0) = (𝑦 ∈ ℕ0𝑦)
3327, 31, 323eqtr2ri 2768 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦) = 0
3426, 33eqtri 2761 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = 0
3520, 34eqtri 2761 . 2 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
3614, 35eqtri 2761 1 (𝐻𝐷) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  ifcif 4524   class class class wbr 5144  cmpt 5227   I cid 5569  cres 5674  ccom 5676  cfv 6535  (class class class)co 7396  0cc0 11097   · cmul 11102   / cdiv 11858  2c2 12254  0cn0 12459  cz 12545  cdvds 16184  Basecbs 17131  0gc0g 17372  EndoFMndcefmnd 18736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-dvds 16185  df-struct 17067  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-plusg 17197  df-tset 17203  df-0g 17374  df-efmnd 18737
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator