Theorem smndex2dlinvh 18797

Description: The halving functions 𝐻 are left inverses of the doubling function 𝐷. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
smndex2hbas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
smndex2hbas.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dlinvh	⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem smndex2dlinvh

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12488	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		nn0mulcl 12507	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
3		smndex2dbas.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
4		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
5	4	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
6	3, 5	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑦)))
8		smndex2hbas.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁)))
10		breq2 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
11		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝑥 / 2) = ((2 · 𝑦) / 2))
12	10, 11	ifbieq1d 4552	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑦) → if(2 ∥ 𝑥, (𝑥 / 2), 𝑁) = if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
13	2, 7, 9, 12	fmptco 7126	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)))
14	1, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁))
15		nn0z 12582	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
16		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦))
17		2teven 16297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑦)) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∥ (2 · 𝑦))
19	18	iftrued 4536	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁) = ((2 · 𝑦) / 2))
20	19	mpteq2ia 5251	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2))
21		nn0cn 12481	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
22		2cnd 12289	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
23		2ne0 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
25	21, 22, 24	divcan3d 11994	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑦) / 2) = 𝑦)
26	25	mpteq2ia 5251	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
27		smndex2dbas.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
28		nn0ex 12477	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
29		smndex2dbas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
30	29	efmndid 18768	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
32		mptresid 6050	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦)
33	27, 31, 32	3eqtr2ri 2767	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ 𝑦) = 0
34	26, 33	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑦) / 2)) = 0
35	20, 34	eqtri 2760	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(2 ∥ (2 · 𝑦), ((2 · 𝑦) / 2), 𝑁)) = 0
36	14, 35	eqtri 2760	1 ⊢ (𝐻 ∘ 𝐷) = 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109   · cmul 11114   / cdiv 11870  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557   ∥ cdvds 16196  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  EndoFMndcefmnd 18748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-dvds 16197  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-0g 17386  df-efmnd 18749

This theorem is referenced by: (None)