Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlem1 14600
 Description: Lemma for 01sqrex 14607. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
sqrlem1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ 1)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑆   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sqrlem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 7153 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
21breq1d 5063 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
3 sqrlem1.1 . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
42, 3elrab2 3669 . . 3 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
5 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 𝐴)
6 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≤ 1)
7 rpre 12392 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
87ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
98resqcld 13614 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
10 rpre 12392 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
1110ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 1re 10635 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
13 letr 10728 . . . . . . . . 9 (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
1412, 13mp3an3 1447 . . . . . . . 8 (((𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
159, 11, 14syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (((𝑦↑2) ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝑦↑2) ≤ 1))
165, 6, 15mp2and 698 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ 1)
17 sq1 13561 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1816, 17breqtrrdi 5095 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦↑2) ≤ (1↑2))
19 rpge0 12397 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑦)
2019ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝑦)
21 0le1 11157 . . . . . . 7 0 ≤ 1
22 le2sq 13502 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
2312, 21, 22mpanr12 704 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
248, 20, 23syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → (𝑦 ≤ 1 ↔ (𝑦↑2) ≤ (1↑2)))
2518, 24mpbird 260 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴)) → 𝑦 ≤ 1)
2625ex 416 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝐴) → 𝑦 ≤ 1))
274, 26syl5bi 245 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑦𝑆𝑦 ≤ 1))
2827ralrimiv 3176 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  {crab 3137   class class class wbr 5053  (class class class)co 7146  supcsup 8897  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   < clt 10669   ≤ cle 10670  2c2 11687  ℝ+crp 12384  ↑cexp 13432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-seq 13372  df-exp 13433 This theorem is referenced by:  sqrlem3  14602  sqrlem4  14603
 Copyright terms: Public domain W3C validator