MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtf 14719
Description: Mapping domain and codomain of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqrtf √:ℂ⟶ℂ

Proof of Theorem sqrtf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotaex 7107 . . 3 (𝑦 ∈ ℂ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) ∈ V
2 df-sqrt 14590 . . 3 √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℂ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)))
31, 2fnmpti 6479 . 2 √ Fn ℂ
4 sqrtcl 14717 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
54rgen 3143 . 2 𝑥 ∈ ℂ (√‘𝑥) ∈ ℂ
6 ffnfv 6870 . 2 (√:ℂ⟶ℂ ↔ (√ Fn ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
73, 5, 6mpbir2an 710 1 √:ℂ⟶ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wnel 3118  wral 3133   class class class wbr 5052   Fn wfn 6338  wf 6339  cfv 6343  crio 7102  (class class class)co 7145  cc 10527  0cc0 10529  ici 10531   · cmul 10534  cle 10668  2c2 11685  +crp 12382  cexp 13430  cre 14452  csqrt 14588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-seq 13370  df-exp 13431  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591
This theorem is referenced by:  cphsqrtcl  23785  tcphex  23817  tchnmfval  23828  tcphcph  23837  resqrtcn  25334  sqrtcn  25335  loglesqrt  25343  ex-fpar  28243  rpsqrtcn  31889  ftc1anclem3  35042  rrnval  35175
  Copyright terms: Public domain W3C validator