Theorem srafldlvec 33579

Description: Given a subfield 𝐹 of a field 𝐸, 𝐸 may be considered as a vector space over 𝐹, which becomes the field of scalars. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sralvec.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
sralvec.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
srafldlvec	⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ Field ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Proof of Theorem srafldlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 20738	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
3		isfld 20738	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
5		id 22	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸))
6		sralvec.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝐸)‘𝑈)
7		sralvec.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾s 𝑈)
8	6, 7	sralvec 33578	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)
9	2, 4, 5, 8	syl3an 1158	1 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ Field ∧ 𝑈 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝐴 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1535   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425   ↾_s cress 17263  CRingccrg 20237  SubRingcsubrg 20571  DivRingcdr 20727  Fieldcfield 20728  LVecclvec 21100  subringAlg csra 21169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-0g 17477  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18952  df-subg 19139  df-mgp 20138  df-ur 20185  df-ring 20238  df-subrg 20573  df-field 20730  df-lmod 20858  df-lvec 21101  df-sra 21171

This theorem is referenced by: (None)