Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem54 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem54 44369
Description: There exists a function π‘₯ as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here 𝐷 is used to represent 𝐴 in the paper, because here 𝐴 is used for the subalgebra of functions. 𝐸 is used to represent Ξ΅ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem54.1 β„²π‘–πœ‘
stoweidlem54.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem54.3 β„²π‘¦πœ‘
stoweidlem54.4 β„²π‘€πœ‘
stoweidlem54.5 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem54.6 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
stoweidlem54.7 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
stoweidlem54.8 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem54.9 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
stoweidlem54.10 𝑉 = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑀 (β„Žβ€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (β„Žβ€˜π‘‘))}
stoweidlem54.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem54.12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem54.13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem54.14 (πœ‘ β†’ π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰)
stoweidlem54.15 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑇)
stoweidlem54.16 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ ran π‘Š)
stoweidlem54.17 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝑇)
stoweidlem54.18 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
stoweidlem54.19 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
stoweidlem54.20 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem54.21 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem54 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖,𝑑,𝑦,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑦   𝐡,𝑓,𝑔,𝑖,𝑦   𝑓,𝐸,𝑔,𝑖,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝑀,𝑔,β„Ž,𝑖,𝑑   𝑓,π‘Š,𝑔,𝑖   𝑓,π‘Œ,𝑔,𝑖   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑀,𝑖,𝑑,𝑦,𝑇   𝐷,𝑖,𝑦   π‘₯,𝑑,𝑦,𝐴   𝑀,𝐡   𝑀,𝐸   𝑀,𝑀   𝑀,π‘Š   𝑀,π‘Œ   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑑,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐴(𝑀,𝑒,𝑖)   𝐡(𝑑,𝑒,β„Ž)   𝐷(𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑃(𝑦,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑇(𝑒)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐸(𝑑,𝑒,β„Ž)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑑,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑀(𝑦,𝑒)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑒,β„Ž)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑒,β„Ž)   𝑍(π‘₯,𝑦,𝑀,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem54
StepHypRef Expression
1 stoweidlem54.3 . . 3 β„²π‘¦πœ‘
2 nfv 1918 . . 3 β„²π‘¦βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
3 stoweidlem54.18 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
4 stoweidlem54.1 . . . . 5 β„²π‘–πœ‘
5 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑖 𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ
6 nfra1 3270 . . . . . 6 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))
75, 6nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑖(𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
84, 7nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
9 stoweidlem54.2 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
10 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑦
11 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(1...𝑀)
12 stoweidlem54.6 . . . . . . . 8 π‘Œ = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
13 nfra1 3270 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)
14 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑𝐴
1513, 14nfrabw 3443 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
1612, 15nfcxfr 2906 . . . . . . 7 β„²π‘‘π‘Œ
1710, 11, 16nff 6669 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ
18 nfra1 3270 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀)
19 nfra1 3270 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)
2018, 19nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))
2111, 20nfralw 3297 . . . . . 6 β„²π‘‘βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))
2217, 21nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
239, 22nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
24 stoweidlem54.4 . . . . 5 β„²π‘€πœ‘
25 nfv 1918 . . . . 5 Ⅎ𝑀(𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
2624, 25nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
27 stoweidlem54.10 . . . . 5 𝑉 = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑀 (β„Žβ€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (β„Žβ€˜π‘‘))}
28 nfrab1 3429 . . . . 5 Ⅎ𝑀{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑀 (β„Žβ€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (β„Žβ€˜π‘‘))}
2927, 28nfcxfr 2906 . . . 4 Ⅎ𝑀𝑉
30 stoweidlem54.7 . . . 4 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
31 eqid 2737 . . . 4 (seq1(𝑃, 𝑦)β€˜π‘€) = (seq1(𝑃, 𝑦)β€˜π‘€)
32 stoweidlem54.8 . . . 4 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
33 stoweidlem54.9 . . . 4 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
34 stoweidlem54.13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3534adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
36 stoweidlem54.14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰)
3736adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ π‘Š:(1...𝑀)βŸΆπ‘‰)
38 simprl 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
39 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
4027reqabi 3432 . . . . . 6 (𝑀 ∈ 𝑉 ↔ (𝑀 ∈ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑀 (β„Žβ€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (β„Žβ€˜π‘‘))))
4140simplbi 499 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ 𝐽)
42 elssuni 4903 . . . . . 6 (𝑀 ∈ 𝐽 β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
43 stoweidlem54.5 . . . . . 6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
4442, 43sseqtrrdi 4000 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝐽 β†’ 𝑀 βŠ† 𝑇)
4539, 41, 443syl 18 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑇)
46 stoweidlem54.16 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ ran π‘Š)
4746adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ ran π‘Š)
48 stoweidlem54.17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝑇)
4948adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝐷 βŠ† 𝑇)
50 stoweidlem54.15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑇)
5150adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑇)
52 r19.26 3115 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
5352simplbi 499 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀))
5453ad2antll 728 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀))
5554r19.21bi 3237 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀))
5652simprbi 498 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))
5756ad2antll 728 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))
5857r19.21bi 3237 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘))
59 stoweidlem54.11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
60593adant1r 1178 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
61 stoweidlem54.12 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
6261adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
63 stoweidlem54.19 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
6463adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑇 ∈ V)
65 stoweidlem54.20 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
6665adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
67 stoweidlem54.21 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
6867adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝐸 < (1 / 3))
698, 23, 26, 29, 12, 30, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 45, 47, 49, 51, 55, 58, 60, 62, 64, 66, 68stoweidlem51 44366 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(βˆ€π‘‘ ∈ (π‘Šβ€˜π‘–)((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘) < (𝐸 / 𝑀) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ (𝐸 / 𝑀)) < ((π‘¦β€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
701, 2, 3, 69exlimdd 2214 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
71 df-rex 3075 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
7270, 71sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  3c3 12216  β„+crp 12922  ...cfz 13431  seqcseq 13913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  stoweidlem57  44372
  Copyright terms: Public domain W3C validator