MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem expmhm 21014
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
expmhm.2 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
expmhm (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯)   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem expmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 14045 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ β„‚)
21fmpttd 7115 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„•0βŸΆβ„‚)
3 expadd 14070 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
433expb 1121 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
5 nn0addcl 12507 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„•0)
65adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„•0)
7 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑧) β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))
9 ovex 7442 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6999 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑦))
13 ovex 7442 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) = (𝐴↑𝑦))
15 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑧))
16 ovex 7442 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§) = (𝐴↑𝑧))
1814, 17oveqan12d 7428 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
1918adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2783 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
2120ralrimivva 3201 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
22 0nn0 12487 . . . 4 0 ∈ β„•0
23 oveq2 7417 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑0))
24 ovex 7442 . . . . 5 (𝐴↑0) ∈ V
2523, 8, 24fvmpt 6999 . . . 4 (0 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = (𝐴↑0))
2622, 25ax-mp 5 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = (𝐴↑0)
27 exp0 14031 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴↑0) = 1)
2826, 27eqtrid 2785 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = 1)
29 nn0subm 21000 . . . . 5 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
30 expmhm.1 . . . . . 6 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
3130submmnd 18694 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
3229, 31ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ Mnd
33 cnring 20967 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
34 expmhm.2 . . . . . 6 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
3534ringmgp 20062 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
3633, 35ax-mp 5 . . . 4 𝑀 ∈ Mnd
3732, 36pm3.2i 472 . . 3 (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
3830submbas 18695 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ β„•0 = (Baseβ€˜π‘))
3929, 38ax-mp 5 . . . 4 β„•0 = (Baseβ€˜π‘)
40 cnfldbas 20948 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
4134, 40mgpbas 19993 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜π‘€)
42 cnfldadd 20949 . . . . . 6 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4330, 42ressplusg 17235 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ + = (+gβ€˜π‘))
4429, 43ax-mp 5 . . . 4 + = (+gβ€˜π‘)
45 cnfldmul 20950 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4634, 45mgpplusg 19991 . . . 4 Β· = (+gβ€˜π‘€)
47 cnfld0 20969 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
4830, 47subm0 18696 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘))
4929, 48ax-mp 5 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘)
50 cnfld1 20970 . . . . 5 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
5134, 50ringidval 20006 . . . 4 1 = (0gβ€˜π‘€)
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 18673 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = 1)))
5337, 52mpbiran 708 . 2 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = 1))
542, 21, 28, 53syl3anbrc 1344 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„•0cn0 12472  β†‘cexp 14027  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  SubMndcsubmnd 18670  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  β„‚fldccnfld 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-cnfld 20945
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator