MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem expmhm 21007
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
expmhm.2 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
expmhm (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯)   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem expmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 14042 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ β„‚)
21fmpttd 7112 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„•0βŸΆβ„‚)
3 expadd 14067 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
433expb 1121 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
5 nn0addcl 12504 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„•0)
65adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„•0)
7 oveq2 7414 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑧) β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))
9 ovex 7439 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6996 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7414 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑦))
13 ovex 7439 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 6996 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) = (𝐴↑𝑦))
15 oveq2 7414 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑧))
16 ovex 7439 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 6996 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§) = (𝐴↑𝑧))
1814, 17oveqan12d 7425 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
1918adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2783 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ β„•0)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
2120ralrimivva 3201 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
22 0nn0 12484 . . . 4 0 ∈ β„•0
23 oveq2 7414 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑0))
24 ovex 7439 . . . . 5 (𝐴↑0) ∈ V
2523, 8, 24fvmpt 6996 . . . 4 (0 ∈ β„•0 β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = (𝐴↑0))
2622, 25ax-mp 5 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = (𝐴↑0)
27 exp0 14028 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴↑0) = 1)
2826, 27eqtrid 2785 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = 1)
29 nn0subm 20993 . . . . 5 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
30 expmhm.1 . . . . . 6 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
3130submmnd 18691 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
3229, 31ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ Mnd
33 cnring 20960 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
34 expmhm.2 . . . . . 6 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
3534ringmgp 20056 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
3633, 35ax-mp 5 . . . 4 𝑀 ∈ Mnd
3732, 36pm3.2i 472 . . 3 (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
3830submbas 18692 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ β„•0 = (Baseβ€˜π‘))
3929, 38ax-mp 5 . . . 4 β„•0 = (Baseβ€˜π‘)
40 cnfldbas 20941 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
4134, 40mgpbas 19988 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜π‘€)
42 cnfldadd 20942 . . . . . 6 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4330, 42ressplusg 17232 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ + = (+gβ€˜π‘))
4429, 43ax-mp 5 . . . 4 + = (+gβ€˜π‘)
45 cnfldmul 20943 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4634, 45mgpplusg 19986 . . . 4 Β· = (+gβ€˜π‘€)
47 cnfld0 20962 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
4830, 47subm0 18693 . . . . 5 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘))
4929, 48ax-mp 5 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘)
50 cnfld1 20963 . . . . 5 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
5134, 50ringidval 20001 . . . 4 1 = (0gβ€˜π‘€)
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 18670 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = 1)))
5337, 52mpbiran 708 . 2 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘§ ∈ β„•0 ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) ∧ ((π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜0) = 1))
542, 21, 28, 53syl3anbrc 1344 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„•0cn0 12469  β†‘cexp 14024  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  +gcplusg 17194  0gc0g 17382  Mndcmnd 18622   MndHom cmhm 18666  SubMndcsubmnd 18667  mulGrpcmgp 19982  Ringcrg 20050  β„‚fldccnfld 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-cmn 19645  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-cnfld 20938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator