MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmhm 21454
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1 𝑁 = (ℂflds0)
expmhm.2 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
expmhm (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 14120 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
21fmpttd 7135 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
3 expadd 14145 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
433expb 1121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
5 nn0addcl 12561 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
7 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))
9 ovex 7464 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
13 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐴𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) = (𝐴𝑦))
15 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
16 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐴𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧) = (𝐴𝑧))
1814, 17oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
1918adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
2120ralrimivva 3202 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
22 0nn0 12541 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
24 ovex 7464 . . . . 5 (𝐴↑0) ∈ V
2523, 8, 24fvmpt 7016 . . . 4 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
2622, 25ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27 exp0 14106 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2826, 27eqtrid 2789 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)
29 nn0subm 21440 . . . . 5 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30 expmhm.1 . . . . . 6 𝑁 = (ℂflds0)
3130submmnd 18826 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
3229, 31ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ Mnd
33 cnring 21403 . . . . 5 fld ∈ Ring
34 expmhm.2 . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
3534ringmgp 20236 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3633, 35ax-mp 5 . . . 4 𝑀 ∈ Mnd
3732, 36pm3.2i 470 . . 3 (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
3830submbas 18827 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
3929, 38ax-mp 5 . . . 4 0 = (Base‘𝑁)
40 cnfldbas 21368 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
4134, 40mgpbas 20142 . . . 4 ℂ = (Base‘𝑀)
42 cnfldadd 21370 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
4330, 42ressplusg 17334 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g𝑁))
4429, 43ax-mp 5 . . . 4 + = (+g𝑁)
45 cnfldmul 21372 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
4634, 45mgpplusg 20141 . . . 4 · = (+g𝑀)
47 cnfld0 21405 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
4830, 47subm0 18828 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g𝑁))
4929, 48ax-mp 5 . . . 4 0 = (0g𝑁)
50 cnfld1 21406 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
5134, 50ringidval 20180 . . . 4 1 = (0g𝑀)
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 18798 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)))
5337, 52mpbiran 709 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1))
542, 21, 28, 53syl3anbrc 1344 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  0cn0 12526  cexp 14102  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  SubMndcsubmnd 18795  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator