Theorem expmhm 21375

Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expmhm.1	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
expmhm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
expmhm	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcl 13988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 7054	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
3		expadd 14013	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
4	3	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
5		nn0addcl 12423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
7		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))
9		ovex 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6935	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 8, 13	fvmpt 6935	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 8, 16	fvmpt 6935	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	4, 11, 19	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 3176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		0nn0 12403	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑0))
24		ovex 7385	. . . . 5 ⊢ (𝐴↑0) ∈ V
25	23, 8, 24	fvmpt 6935	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
26	22, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27		exp0 13974	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
28	26, 27	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)
29		nn0subm 21361	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30		expmhm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
31	30	submmnd 18723	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
32	29, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ Mnd
33		cnring 21329	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
34		expmhm.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
35	34	ringmgp 20159	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
36	33, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ Mnd
37	32, 36	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
38	30	submbas 18724	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
39	29, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
40		cnfldbas 21297	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
41	34, 40	mgpbas 20065	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
42		cnfldadd 21299	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
43	30, 42	ressplusg 17197	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘𝑁))
44	29, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑁)
45		cnfldmul 21301	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
46	34, 45	mgpplusg 20064	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
47		cnfld0 21331	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
48	30, 47	subm0 18725	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
49	29, 48	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
50		cnfld1 21332	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
51	34, 50	ringidval 20103	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
52	39, 41, 44, 46, 49, 51	ismhm 18695	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)))
53	37, 52	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1))
54	2, 21, 28, 53	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  ℕ₀cn0 12388  ↑cexp 13970  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345  Mndcmnd 18644   MndHom cmhm 18691  SubMndcsubmnd 18692  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153  ℂ_fldccnfld 21293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-addf 11092  ax-mulf 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-seq 13911  df-exp 13971  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-cmn 19696  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-cnfld 21294

This theorem is referenced by: (None)