Theorem expmhm 21402

Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expmhm.1	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
expmhm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
expmhm	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcl 14095	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 7104	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
3		expadd 14120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
4	3	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
5		nn0addcl 12534	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
7		oveq2 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))
9		ovex 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6985	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 8, 13	fvmpt 6985	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 8, 16	fvmpt 6985	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 7422	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	4, 11, 19	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		0nn0 12514	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		oveq2 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑0))
24		ovex 7436	. . . . 5 ⊢ (𝐴↑0) ∈ V
25	23, 8, 24	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
26	22, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27		exp0 14081	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
28	26, 27	eqtrid 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)
29		nn0subm 21388	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30		expmhm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
31	30	submmnd 18789	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
32	29, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ Mnd
33		cnring 21351	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
34		expmhm.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
35	34	ringmgp 20197	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
36	33, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ Mnd
37	32, 36	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
38	30	submbas 18790	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
39	29, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
40		cnfldbas 21317	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
41	34, 40	mgpbas 20103	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
42		cnfldadd 21319	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
43	30, 42	ressplusg 17303	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘𝑁))
44	29, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑁)
45		cnfldmul 21321	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
46	34, 45	mgpplusg 20102	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
47		cnfld0 21353	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
48	30, 47	subm0 18791	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
49	29, 48	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
50		cnfld1 21354	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
51	34, 50	ringidval 20141	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
52	39, 41, 44, 46, 49, 51	ismhm 18761	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)))
53	37, 52	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1))
54	2, 21, 28, 53	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14077  Basecbs 17226   ↾_s cress 17249  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451  Mndcmnd 18710   MndHom cmhm 18757  SubMndcsubmnd 18758  mulGrpcmgp 20098  Ringcrg 20191  ℂ_fldccnfld 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-seq 14018  df-exp 14078  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-cmn 19761  df-mgp 20099  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-cnfld 21314

This theorem is referenced by: (None)