MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmhm 20286
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1 𝑁 = (ℂflds0)
expmhm.2 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
expmhm (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 13539 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
21fmpttd 6889 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
3 expadd 13563 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
433expb 1121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
5 nn0addcl 12011 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
65adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
7 oveq2 7178 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))
9 ovex 7203 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6775 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7178 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
13 ovex 7203 . . . . . . 7 (𝐴𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 6775 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) = (𝐴𝑦))
15 oveq2 7178 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
16 ovex 7203 . . . . . . 7 (𝐴𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 6775 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧) = (𝐴𝑧))
1814, 17oveqan12d 7189 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
1918adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2783 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
2120ralrimivva 3103 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
22 0nn0 11991 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 oveq2 7178 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
24 ovex 7203 . . . . 5 (𝐴↑0) ∈ V
2523, 8, 24fvmpt 6775 . . . 4 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
2622, 25ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27 exp0 13525 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2826, 27syl5eq 2785 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)
29 nn0subm 20272 . . . . 5 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30 expmhm.1 . . . . . 6 𝑁 = (ℂflds0)
3130submmnd 18094 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
3229, 31ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ Mnd
33 cnring 20239 . . . . 5 fld ∈ Ring
34 expmhm.2 . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
3534ringmgp 19422 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3633, 35ax-mp 5 . . . 4 𝑀 ∈ Mnd
3732, 36pm3.2i 474 . . 3 (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
3830submbas 18095 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
3929, 38ax-mp 5 . . . 4 0 = (Base‘𝑁)
40 cnfldbas 20221 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
4134, 40mgpbas 19364 . . . 4 ℂ = (Base‘𝑀)
42 cnfldadd 20222 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
4330, 42ressplusg 16715 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g𝑁))
4429, 43ax-mp 5 . . . 4 + = (+g𝑁)
45 cnfldmul 20223 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
4634, 45mgpplusg 19362 . . . 4 · = (+g𝑀)
47 cnfld0 20241 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
4830, 47subm0 18096 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g𝑁))
4929, 48ax-mp 5 . . . 4 0 = (0g𝑁)
50 cnfld1 20242 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
5134, 50ringidval 19372 . . . 4 1 = (0g𝑀)
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 18074 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)))
5337, 52mpbiran 709 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1))
542, 21, 28, 53syl3anbrc 1344 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  cmpt 5110  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  0cn0 11976  cexp 13521  Basecbs 16586  s cress 16587  +gcplusg 16668  0gc0g 16816  Mndcmnd 18027   MndHom cmhm 18070  SubMndcsubmnd 18071  mulGrpcmgp 19358  Ringcrg 19416  fldccnfld 20217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-cnfld 20218
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator