Theorem expmhm 21477

Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expmhm.1	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
expmhm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
expmhm	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcl 14130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 7149	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
3		expadd 14155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
4	3	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
5		nn0addcl 12588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
7		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))
9		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 8, 13	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 8, 16	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	4, 11, 19	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		0nn0 12568	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		oveq2 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑0))
24		ovex 7481	. . . . 5 ⊢ (𝐴↑0) ∈ V
25	23, 8, 24	fvmpt 7029	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
26	22, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27		exp0 14116	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
28	26, 27	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)
29		nn0subm 21463	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30		expmhm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
31	30	submmnd 18848	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
32	29, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ Mnd
33		cnring 21426	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
34		expmhm.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
35	34	ringmgp 20266	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
36	33, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ Mnd
37	32, 36	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
38	30	submbas 18849	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
39	29, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
40		cnfldbas 21391	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
41	34, 40	mgpbas 20167	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
42		cnfldadd 21393	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
43	30, 42	ressplusg 17349	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘𝑁))
44	29, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑁)
45		cnfldmul 21395	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
46	34, 45	mgpplusg 20165	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
47		cnfld0 21428	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
48	30, 47	subm0 18850	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
49	29, 48	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
50		cnfld1 21429	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
51	34, 50	ringidval 20210	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
52	39, 41, 44, 46, 49, 51	ismhm 18820	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)))
53	37, 52	mpbiran 708	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1))
54	2, 21, 28, 53	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Mndcmnd 18772   MndHom cmhm 18816  SubMndcsubmnd 18817  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  ℂ_fldccnfld 21387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-cmn 19824  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-cnfld 21388

This theorem is referenced by: (None)