Theorem expmhm 21722

Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expmhm.1	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
expmhm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
expmhm	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcl 14202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 7107	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
3		expadd 14227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
4	3	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
5		nn0addcl 12622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
7		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))
9		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6985	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	6, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 8, 13	fvmpt 6985	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 8, 16	fvmpt 6985	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	4, 11, 19	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		0nn0 12602	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑0))
24		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (𝐴↑0) ∈ V
25	23, 8, 24	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
26	22, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27		exp0 14188	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
28	26, 27	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)
29		nn0subm 21708	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30		expmhm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
31	30	submmnd 18989	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
32	29, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ Mnd
33		cnring 21680	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
34		expmhm.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
35	34	ringmgp 20445	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
36	33, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ Mnd
37	32, 36	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
38	30	submbas 18990	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
39	29, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
40		cnfldbas 21662	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
41	34, 40	mgpbas 20345	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
42		cnfldadd 21664	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
43	30, 42	ressplusg 17442	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘𝑁))
44	29, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑁)
45		cnfldmul 21666	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
46	34, 45	mgpplusg 20344	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
47		cnfld0 21682	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
48	30, 47	subm0 18991	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
49	29, 48	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
50		cnfld1 21683	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
51	34, 50	ringidval 20389	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
52	39, 41, 44, 46, 49, 51	ismhm 18960	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)))
53	37, 52	mpbiran 722	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1))
54	2, 21, 28, 53	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  ℕ₀cn0 12587  ↑cexp 14184  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903   MndHom cmhm 18956  SubMndcsubmnd 18957  mulGrpcmgp 20340  Ringcrg 20439  ℂ_fldccnfld 21658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-seq 14125  df-exp 14185  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-cmn 19976  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-cnfld 21659

This theorem is used by: (None)