Theorem expmhm 21391

Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expmhm.1	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
expmhm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
expmhm	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcl 14002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 7060	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
3		expadd 14027	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
4	3	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
5		nn0addcl 12436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
7		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))
9		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 8, 13	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 8, 16	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	4, 11, 19	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		0nn0 12416	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑0))
24		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (𝐴↑0) ∈ V
25	23, 8, 24	fvmpt 6941	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
26	22, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27		exp0 13988	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
28	26, 27	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)
29		nn0subm 21377	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30		expmhm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
31	30	submmnd 18738	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
32	29, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ Mnd
33		cnring 21345	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
34		expmhm.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
35	34	ringmgp 20174	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
36	33, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ Mnd
37	32, 36	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
38	30	submbas 18739	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
39	29, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
40		cnfldbas 21313	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
41	34, 40	mgpbas 20080	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
42		cnfldadd 21315	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
43	30, 42	ressplusg 17211	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g‘𝑁))
44	29, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑁)
45		cnfldmul 21317	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
46	34, 45	mgpplusg 20079	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
47		cnfld0 21347	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
48	30, 47	subm0 18740	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
49	29, 48	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
50		cnfld1 21348	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
51	34, 50	ringidval 20118	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
52	39, 41, 44, 46, 49, 51	ismhm 18710	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1)))
53	37, 52	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥))‘0) = 1))
54	2, 21, 28, 53	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18706  SubMndcsubmnd 18707  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168  ℂ_fldccnfld 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-cmn 19711  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-cnfld 21310

This theorem is referenced by: (None)