MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmhm 21471
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1 𝑁 = (ℂflds0)
expmhm.2 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
expmhm (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 14116 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
21fmpttd 7134 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
3 expadd 14141 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
433expb 1119 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
5 nn0addcl 12558 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
7 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))
9 ovex 7463 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 7015 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
13 ovex 7463 . . . . . . 7 (𝐴𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 7015 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) = (𝐴𝑦))
15 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
16 ovex 7463 . . . . . . 7 (𝐴𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 7015 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧) = (𝐴𝑧))
1814, 17oveqan12d 7449 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
1918adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2784 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
2120ralrimivva 3199 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
22 0nn0 12538 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 oveq2 7438 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
24 ovex 7463 . . . . 5 (𝐴↑0) ∈ V
2523, 8, 24fvmpt 7015 . . . 4 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
2622, 25ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27 exp0 14102 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2826, 27eqtrid 2786 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)
29 nn0subm 21457 . . . . 5 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30 expmhm.1 . . . . . 6 𝑁 = (ℂflds0)
3130submmnd 18838 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
3229, 31ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ Mnd
33 cnring 21420 . . . . 5 fld ∈ Ring
34 expmhm.2 . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
3534ringmgp 20256 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3633, 35ax-mp 5 . . . 4 𝑀 ∈ Mnd
3732, 36pm3.2i 470 . . 3 (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
3830submbas 18839 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
3929, 38ax-mp 5 . . . 4 0 = (Base‘𝑁)
40 cnfldbas 21385 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
4134, 40mgpbas 20157 . . . 4 ℂ = (Base‘𝑀)
42 cnfldadd 21387 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
4330, 42ressplusg 17335 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g𝑁))
4429, 43ax-mp 5 . . . 4 + = (+g𝑁)
45 cnfldmul 21389 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
4634, 45mgpplusg 20155 . . . 4 · = (+g𝑀)
47 cnfld0 21422 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
4830, 47subm0 18840 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g𝑁))
4929, 48ax-mp 5 . . . 4 0 = (0g𝑁)
50 cnfld1 21423 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
5134, 50ringidval 20200 . . . 4 1 = (0g𝑀)
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 18810 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)))
5337, 52mpbiran 709 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1))
542, 21, 28, 53syl3anbrc 1342 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  cmpt 5230  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  0cn0 12523  cexp 14098  Basecbs 17244  s cress 17273  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759   MndHom cmhm 18806  SubMndcsubmnd 18807  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-cmn 19814  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator