Theorem mhpvarcl 22127

Description: A power series variable is a polynomial of degree 1. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpvarcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvarcl.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mhpvarcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mhpvarcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpvarcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mhpvarcl	⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1))

Proof of Theorem mhpvarcl

Dummy variables 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iffalse 4476	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
2		mhpvarcl.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		mhpvarcl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		mhpvarcl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mhpvarcl.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
13	2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12	mvrval2 21974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
14	13	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = (0g‘𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
15	1, 14	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (¬ 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = (0g‘𝑅)))
16	15	necon1ad 2950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
17		nn0subm 21415	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
18		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
19		cnfld0 21385	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20	18, 19	subm0 18777	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
22	18	submmnd 18775	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
23	17, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))
25		1nn0 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	18	submbas 18776	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
27	17, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
28	25, 27	eleqtri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 1 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
30	21, 23, 7, 11, 24, 29	gsummptif1n0 19935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1)
31		oveq2 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
32	31	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1))
33	30, 32	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
34	16, 33	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
35	34	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
36		mhpvarcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
37		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
38		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
39	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
40	37, 2, 38, 6, 8, 10	mvrcl 21983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
41	36, 37, 38, 4, 3, 39, 40	ismhp3 22121	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1) ↔ ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1)))
42	35, 41	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  0cc0 11032  1c1 11033  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  0_gc0g 17396   Σ_g cgsu 17397  Mndcmnd 18696  SubMndcsubmnd 18744  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  ℂ_fldccnfld 21347   mVar cmvr 21898   mPoly cmpl 21899   mHomP cmhp 22108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-cnfld 21348  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-mhp 22115

This theorem is referenced by: (None)