Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpvarcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpvarcl 20837
 Description: A power series variable is a polynomial of degree 1. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpvarcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvarcl.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mhpvarcl.i (𝜑𝐼𝑊)
mhpvarcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mhpvarcl.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
mhpvarcl (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ (𝐻‘1))

Proof of Theorem mhpvarcl
Dummy variables 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iffalse 4437 . . . . . 6 𝑑 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → if(𝑑 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2 mhpvarcl.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3 eqid 2798 . . . . . . . 8 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
4 eqid 2798 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2798 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
6 mhpvarcl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
76adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼𝑊)
8 mhpvarcl.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
98adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mhpvarcl.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐼)
1110adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋𝐼)
12 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
132, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12mvrval2 20696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑉𝑋)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))
1413eqeq1d 2800 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉𝑋)‘𝑑) = (0g𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
151, 14syl5ibr 249 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (¬ 𝑑 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((𝑉𝑋)‘𝑑) = (0g𝑅)))
1615necon1ad 3004 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉𝑋)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → 𝑑 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
17 nn0subm 20167 . . . . . . 7 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
18 eqid 2798 . . . . . . . 8 (ℂflds0) = (ℂflds0)
19 cnfld0 20136 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℂfld)
2018, 19subm0 17992 . . . . . . 7 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
2117, 20ax-mp 5 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℂflds0))
2218submmnd 17990 . . . . . . 7 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
2317, 22mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
24 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))
25 1nn0 11919 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2618submbas 17991 . . . . . . . . 9 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂflds0)))
2717, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 = (Base‘(ℂflds0))
2825, 27eleqtri 2888 . . . . . . 7 1 ∈ (Base‘(ℂflds0))
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 1 ∈ (Base‘(ℂflds0)))
3021, 23, 7, 11, 24, 29gsummptif1n0 19100 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂflds0) Σg (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1)
31 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = ((ℂflds0) Σg (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
3231eqeq1d 2800 . . . . 5 (𝑑 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → (((ℂflds0) Σg 𝑑) = 1 ↔ ((ℂflds0) Σg (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1))
3330, 32syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 1))
3416, 33syld 47 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉𝑋)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 1))
3534ralrimiva 3149 . 2 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉𝑋)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 1))
36 mhpvarcl.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
37 eqid 2798 . . 3 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
38 eqid 2798 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
3925a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4037, 2, 38, 6, 8, 10mvrcl 20726 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
4136, 37, 38, 4, 3, 6, 8, 39, 40ismhp3 20832 . 2 (𝜑 → ((𝑉𝑋) ∈ (𝐻‘1) ↔ ∀𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉𝑋)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 1)))
4235, 41mpbird 260 1 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ (𝐻‘1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  ifcif 4428   ↦ cmpt 5114  ◡ccnv 5522   “ cima 5526  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↑m cmap 8407  Fincfn 8510  0cc0 10544  1c1 10545  ℕcn 11643  ℕ0cn0 11903  Basecbs 16495   ↾s cress 16496  0gc0g 16725   Σg cgsu 16726  Mndcmnd 17923  SubMndcsubmnd 17967  1rcur 19265  Ringcrg 19311  ℂfldccnfld 20112   mVar cmvr 20613   mPoly cmpl 20614   mHomP cmhp 20818 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-hash 13707  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-cring 19314  df-cnfld 20113  df-psr 20617  df-mvr 20618  df-mpl 20619  df-mhp 20822 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator