Theorem mhpvarcl 22363

Description: A power series variable is a polynomial of degree 1. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpvarcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvarcl.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mhpvarcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mhpvarcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpvarcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mhpvarcl	⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1))

Proof of Theorem mhpvarcl

Dummy variables 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iffalse 4498	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
2		mhpvarcl.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		mhpvarcl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		mhpvarcl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mhpvarcl.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
13	2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12	mvrval2 22184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
14	13	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = (0g‘𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
15	1, 14	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (¬ 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = (0g‘𝑅)))
16	15	necon1ad 2977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
17		nn0subm 21624	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
18		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
19		cnfld0 21598	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20	18, 19	subm0 18913	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
22	18	submmnd 18911	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
23	17, 22	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
24		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))
25		1nn0 12537	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	18	submbas 18912	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
27	17, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
28	25, 27	eleqtri 2863	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 1 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
30	21, 23, 7, 11, 24, 29	gsummptif1n0 20082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1)
31		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
32	31	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1))
33	30, 32	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
34	16, 33	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
35	34	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
36		mhpvarcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
37		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
38		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
39	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
40	37, 2, 38, 6, 8, 10	mvrcl 22193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
41	36, 37, 38, 4, 3, 39, 40	ismhp3 22357	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1) ↔ ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1)))
42	35, 41	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  {crab 3418  ifcif 4489   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  0cc0 11117  1c1 11118  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  0_gc0g 17516   Σ_g cgsu 17517  Mndcmnd 18826  SubMndcsubmnd 18879  1_rcur 20309  Ringcrg 20361  ℂ_fldccnfld 21574   mVar cmvr 22107   mPoly cmpl 22108   mHomP cmhp 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-mgp 20263  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-cnfld 21575  df-psr 22111  df-mvr 22112  df-mpl 22113  df-mhp 22351

This theorem is used by: (None)