Theorem mhpvarcl 20876

Description: A power series variable is a polynomial of degree 1. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpvarcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvarcl.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mhpvarcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mhpvarcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpvarcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mhpvarcl	⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1))

Proof of Theorem mhpvarcl

Dummy variables 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iffalse 4422	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
2		mhpvarcl.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		mhpvarcl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		mhpvarcl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mhpvarcl.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
11	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
12		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
13	2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12	mvrval2 20735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
14	13	eqeq1d 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = (0g‘𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
15	1, 14	syl5ibr 249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (¬ 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = (0g‘𝑅)))
16	15	necon1ad 2966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
17		nn0subm 20206	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
18		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
19		cnfld0 20175	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20	18, 19	subm0 18031	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
22	18	submmnd 18029	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
23	17, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
24		eqid 2759	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))
25		1nn0 11935	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	18	submbas 18030	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
27	17, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
28	25, 27	eleqtri 2849	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 1 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
30	21, 23, 7, 11, 24, 29	gsummptif1n0 19139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1)
31		oveq2 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
32	31	eqeq1d 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1))
33	30, 32	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
34	16, 33	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
35	34	ralrimiva 3111	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
36		mhpvarcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
37		eqid 2759	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
38		eqid 2759	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
39	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
40	37, 2, 38, 6, 8, 10	mvrcl 20765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
41	36, 37, 38, 4, 3, 6, 8, 39, 40	ismhp3 20871	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1) ↔ ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1)))
42	35, 41	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ∀wral 3068  {crab 3072  ifcif 4413   ↦ cmpt 5105  ^◡ccnv 5516   “ cima 5520  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   ↑_m cmap 8409  Fincfn 8520  0cc0 10560  1c1 10561  ℕcn 11659  ℕ₀cn0 11919  Basecbs 16526   ↾_s cress 16527  0_gc0g 16756   Σ_g cgsu 16757  Mndcmnd 17962  SubMndcsubmnd 18006  1_rcur 19304  Ringcrg 19350  ℂ_fldccnfld 20151   mVar cmvr 20652   mPoly cmpl 20653   mHomP cmhp 20857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-addf 10639  ax-mulf 10640

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-of 7398  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-oi 8992  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-seq 13404  df-hash 13726  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-starv 16623  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-unif 16631  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-mre 16900  df-mrc 16901  df-acs 16903  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-submnd 18008  df-grp 18157  df-mulg 18277  df-cntz 18499  df-cmn 18960  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-cring 19353  df-cnfld 20152  df-psr 20656  df-mvr 20657  df-mpl 20658  df-mhp 20861

This theorem is referenced by: (None)