Theorem mhpvarcl 22524

Description: A power series variable is a polynomial of degree 1. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpvarcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvarcl.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mhpvarcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mhpvarcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpvarcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mhpvarcl	⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1))

Proof of Theorem mhpvarcl

Dummy variables 𝑑 ℎ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iffalse 4494	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
2		mhpvarcl.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		mhpvarcl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		mhpvarcl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mhpvarcl.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
13	2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12	mvrval2 22345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
14	13	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = (0g‘𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
15	1, 14	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (¬ 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑑) = (0g‘𝑅)))
16	15	necon1ad 2976	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
17		nn0subm 21782	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
18		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
19		cnfld0 21754	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20	18, 19	subm0 19061	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
22	18	submmnd 19059	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
23	17, 22	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
24		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))
25		1nn0 12662	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	18	submbas 19060	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
27	17, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
28	25, 27	eleqtri 2862	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 1 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
30	21, 23, 7, 11, 24, 29	gsummptif1n0 20231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1)
31		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
32	31	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))) = 1))
33	30, 32	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
34	16, 33	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
35	34	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1))
36		mhpvarcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
37		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
38		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
39	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
40	37, 2, 38, 6, 8, 10	mvrcl 22354	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
41	36, 37, 38, 4, 3, 39, 40	ismhp3 22518	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1) ↔ ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝑉‘𝑋)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 1)))
42	35, 41	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (𝐻‘1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  ifcif 4485   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  0cc0 11239  1c1 11240  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661  Mndcmnd 18973  SubMndcsubmnd 19027  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  ℂ_fldccnfld 21729   mVar cmvr 22268   mPoly cmpl 22269   mHomP cmhp 22509

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-cnfld 21730  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-mhp 22512

This theorem is used by: (None)